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Área de una región entre dos curvas

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by

Gisel Hernandez

on 14 May 2017

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Transcript of Área de una región entre dos curvas

Área de una región entre dos curvas
*Se considera área a cierta superficie que está marcada por límites, además de estar etiquetada como específica para algo
*zona o campo de conocimiento en el que una persona u objeto tiene bastante influencia
¿Una integral definida?
La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva).
Área entre dos curvas
Podemos calcular el área que hay entre dos curvas. Consideremos dos funciones:
f y g
Definidas en un intervalo [a, b] tales que f(x) > g(x) para todo valor x de [a, b]. Entonces el área de la región.
Pasos.
- Límites de la integración, para ello igualamos las funciones y resolvemos la ecuación resultante.
- Calculamos la función diferencia de las dos funciones.
- Hallamos una primitiva de la función diferencia G(x).
- Área del recinto, sustituimos los valores de los límites de la integración en la primitiva de la función diferencia G(x) y los restamos.

Ejemplos.
Para recordar...
*Si la gráfica de la función está por debajo del eje, entonces el resultado de la integral es negativo, por tanto, el área es el valor absoluto de la integral.
*Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, para calcular el área se deben calcular dos (o más) integrales: una para la región positiva y otra para la negativa (en valor absoluto).
*El integrando debe ser la función cuya gráfica es mayor menos la función cuya gráfica es menor.
Volumen,Método de discos.
Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos
Área Transversal
Será dada por el área de un circulo , y el ancho será el cambio de su distancia.
Es importante que se conozca el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente



1. Se traza un diagrama indicando el área generatriz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo genérico.

2. Se halla el volumen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos.

3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.

Método.
Pasos
Ejemplos.
Volumen, El método de capas.
Es una forma alternativa de de calcular volúmenes de sólidos revolución.

Regla General
Cálculos de Volumen
Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción.
Volumen por casquete cilíndrico
Proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Ejemplos.
Longitud de Arco
La longitud de arco de las curvas y las áreas de superficie se obtiene mediante las integrales definidas
Ejemplos
Superficie revolución
Es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.
Tipo de superficie revolución.
*Superficie revolución cónica
*Superficie revolución esférica.
*Superficie revolución Toroidal
Superficie revolución cilindrica
Es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
Superficie revolución cónica
Es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Superficie revolución toroidal.
Generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
Superficie revolución Esférica
Generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera
Ejemplos.
Aplicaciones.
La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.
La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

área de una superficie revolución
Si la curva está definida por las funciones y , perteneciendo a un intervalo y siendo el eje de revolución el eje coordenado , el área estará dada, entonces, por la integral siendo siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencia del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco.
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