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Aplicación de las ecuaciones en la ingeniería industrial

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maynor mendoza

on 17 February 2014

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Transcript of Aplicación de las ecuaciones en la ingeniería industrial

Los sistemas de ecuaciones de acuerdo a su posibilidad de solución se podrán clasificar en:
Aplicación de las ecuaciones en la ingeniería industrial
Objetivo general:
Conocer la importancia de los sistemas de ecuaciones lineales aplicada en la ingeniería industrial.
Objetivos específicos:
Estudiar las técnicas de resolución y el análisis de los sistemas de ecuaciones aplicadas a la Ingeniería como herramientas fundamentales
Comprender, analizar y plantear los conceptos de las ecuaciones, para poder resolver los problemas que se presentan en ingeniería.
Fomentar la unión, la responsabilidad, el respeto y la solidaridad entre compañeros al realizar el trabajo de investigación.

1. INTRODUCCION
2.Desarrollo
1. SISTEMA DE ECUACIONES
Se llama sistema de ecuaciones, o, sistema de ecuaciones simultáneas al conjunto de dos ó más ecuaciones que se verifican para un mismo valor de la, o, las incógnitas.

Por ejemplo:
El sistema consta de dos incógnitas y cuya solución es x=1, y=2

Presentado por:
Gixson Usiel Zambrana Blandón
Lucila Karely Pérez Cardoza
Maynor Alí Mendoza Gutiérrez
Isaías Efraín Torres Gutiérrez
Silvia Marrely Hernández Méndez
Mario Edgardo Herrera
María Mercedes Urbina Torres
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente
a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A lo largo del tiempo se ha demostrado que la dinámica de muchos sistemas sean mecánicos, electrónicos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describen en estos términos. Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, se utilizan diversos recursos analíticos para estudiarlos y sintetizarlos.

En el centro del álgebra lineal, y en gran parte de la matemática aplicada, se halla el problema de la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Estudiaremos las técnicas de resolución y el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales como herramientas fundamentales para comprender los conceptos del álgebra lineal y plantear muchos de los problemas que se presentan en ingeniería y otras ciencias. Por ejemplo: el análisis de circuitos eléctricos, las estructuras de redes y sus posibles flujos en el área de transporte, de comunicaciones, económicas, las cargas que pueden soportar distintas estructuras, el balanceo de reacciones químicas, etc.
En matemática para resolver un problema es importante la solución de un problema de ecuaciones.


El siguiente trabajo trata de la aplicación y utilidad de las ecuaciones para la resolución de problemas con modelos matemáticos relacionados a la ingeniería, específicamente a la ingeniería industrial, en la cual veremos la aplicación de las mismas para el análisis y diseño del comportamiento de sistemas dinámicos.

1. Clasificación
1. SISTEMAS COMPATIBLES
Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su vez podrán ser:
Sistema Compatible Determinado:
si presenta un número finito de soluciones. Puede observarse que en estos sistemas existen igual número de ecuaciones que de incógnitas.
Sistema Compatible Indeterminado:
si presenta un número infinito de

Soluciones. Un sistema de este tipo se reconoce cuando existen más incógnitas que ecuaciones.

2. SISTEMAS INCOMPATIBLES
Son aquellos que no admiten solución alguna. Generalmente en estos sistemas el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas.
3. SISTEMAS EQUIVALENTES
Se llamaran sistemas equivalentes a aquellos sistemas que siendo diferentes, admiten las mismas soluciones.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Es aquel sistema que se encuentra formado por dos o más ecuaciones de primer grado, independiente el número de incógnitas que en ellas se presenten.
1. Método de sustitución
Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas en función de la(s) otra(s), para luego reemplazarla en cualquier otra ecuación del sistema, con la finalidad de obtener una nueva ecuación con una incógnita menos. De existir solo dos ecuaciones corresponde aquí encontrar el valor de una incógnita; si existen más ecuaciones entonces, se debe proceder del mismo modo hasta
Obtener una sola ecuación con una sola incógnita. Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas, se procederá a reemplazar en las otras ecuaciones para poder encontrar los valores de las demás incógnitas.

2. METODO DE IGUALACION
3. METODO DE REDUCCION
Consiste en multiplicar a una de las ecuaciones del sistema (o a veces más de una) por un factor no nulo para luego sumarlas o retarlas con otra ecuación, con la finalidad de eliminar una o más incógnitas, de este modo se logran obtener una nueva ecuación en función de una sola incógnita, la cual al ser hallada se deberá de reemplazar en cualquiera de las ecuaciones del sistema para así hallar el valor de la otra incógnita.
2. METODOS DE RESOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL
Este método es recomendable para aquellos sistemas formados por dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita para luego igualarlas, y obtener una nueva ecuación en función de una sola incógnita.
De esta última ecuación se obtiene el valor de la incógnita, para luego reemplazarla en cualquiera de las ecuaciones del sistema con la finalidad de encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo.- Resolver el sistema
y 3x-2y = 7..(I)
2x + y =5..(II)
Resolución.-
Teniendo en cuenta el método de igualación, el sistema se resolverá así: De (I) despejamos "x":
X: = 7 + 2y—
3
De (II) despejamos "x":
X = 5 – y
2
Igualando, obtenemos:
7 + 2y = 5 -y = 14 + 4y = 15-3y
3 2

Es decir:
y = 1
7
Finalmente reemplazando y = 1, en la ecuación (II), se consigue:
7
2X + 1 = = X = 17
7 7

C.S.= 17 ; 1
7 7
APLICACIONES

los bonos de corto plazo dan un rendimiento de 4% anual, y los bonos de plazo intermedio 5% y los de largo plazo, 6%. La inversionista desea tener un ingreso anual total de 5.1%, con cantidades iguales invertidas en bonos de corto plazo y de plazo intermedio.

Ejemplo.- Resolver el sistema
x- 2y = 5…… (I)
X + Y =……..(II)
Resolución.

Teniendo en cuenta el método de reducción, el sistema se resolverá así: Multiplicamos por 2 a la ecuación (II) y se obtiene: 2x + 2y = 8
Recordando que la ecuación (I) es: x - 2y = 5


Sumando miembro a miembro estas dos últimas ecuaciones, se obtiene:


3x = 13 X= 3
3
Finalmente, reemplazando X= 3 en (II), se consigue 13 + y = 4 → y = -1
3 3 3

4. METODO DE LOS DETERMINANTES
Este método permite emplear el concepto de determinante especialmente para la resolución de aquellos sistemas en donde existen 3 o más incógnitas, mediante un conocido procedimiento llamado la regla de Cramer.
Regla de cramer: en todo sistema lineal de “n” ecuaciones con “n” incógnitas, el valor de cada incógnita es fracción, cuyo denominador es el determinante del sistema, y numerador es ese mismo determinante en el que se ha reemplazado la columna de los coeficientes de la de la Incógnita por los términos independientes, es decir, por aquellos términos ubicados en el 2do miembro de cada ecuación
3. Aplicación de las ecuaciones lineales en las diferentes disciplinas y en la ingeniería industrial
Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I
El 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre.
¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?

Solución:
¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?
Queremos saber el número de toneladas de mineral q hay que extraer de cada mina, asignemos literales a esos números.
Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I.
Y el número de toneladas que se extrae de la mina II. Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales.
¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I? 0.01x.
¿Y de la mina II? 0.02 y luego. 0.01x+0.02y=4
Análogamente para el cobre tenemos: 0.0x+0.05y=9
Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
0.01x+0.02y=4
0.02x+0.05y=9
Los bonos de corto plazo dan un rendimiento del 4% anual. Los bonos de las intermedias 5%. Y los de largo plazo el 6%, la inversionista desea tener un ingreso anual total del 5.1% con cantidades iguales invertidas en bonos de cortos plazo y de plazo intermedios.
Los bonos de corto plazo dan un rendimiento de 4% al año, los bonos de plazo intermedio dan del 6% y los de largo plazo dan 8%. La inversionista desea tener una utilidad anual total de 6,700 dólares de su inversión, en la que invertiría cantidades iguales en los bonos de plazo intermedio y de largo plazo.
Electricidad. Por medio de la leyes de KIRCHHOFF se puede demostrar que las corrientes I1, I2 e I3 que pasan por las tres ramas del circuito de la figura cumplen con el sistema lineal dado resuelva el sistema para determinar I1, I2 e I3.

I1 + I2 - I3 =0
16I1-8 I2 =4
8 I2 +7I3 =5

Agricultura. Un granjero tiene 1,200 acres de tierra en los que cultiva Maíz, trigo y soya. Le cuesta 45 dólares por cada acre cultivar maíz, 60 dólares cultivar trigo y 50 dólares si quiere Soya. Debido a la demanda del mercado cultivara el doble de acres de trigo que de Maíz, ya destino de 63, 750 dólares para los costos del cultivo de sus cereales. ¿Cantos acres de cada cereal debe plantar?
En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2,3 cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado, y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote del tipo 1 se necesitan 30 min. Para cortarlas, 40 min., para coserlas y 50min. Para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min. Para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Solución:

Queremos saber cuántos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemos literales.
Sea X el número de lotes de camisas del tipo 1 que se puede producir. Sea y el número de lotes de camisas del tipo 2 que se puede producir. Sea Z el número de lotes de camisas del tipo 3 que se puede producir. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.

Nutrición. Una bióloga está efectuando un experimento sobre los efectos de varias combinaciones de vitaminas. Quiere alimentar a cada uno de sus conejos de laboratorios en una dieta que contenga exactamente 9 mg de niacina, 14mg de tiamina y 33 mg de riboflabina. Tiene tres tipos distintos de marca comerciales de alimentos; su contenido vitamínico por onza se proporciona en la tabla ¿cuantas onzas de cada tipo de alimentos deben comer todos los días los conejos para cumplir con los requisitos del experimento?
El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30X, del tipo 2 es 50 y, y del tipo 3 es de 65z. El número total de min. Que se emplea en cortar todas las camisetas es: 36x+50y+65z
Y tiene que ser igual a 480min. Que son las ochos horas que se trabajan en cortar 36x+50y+65z=480
Análogamente en coser se tiene 40x+50y+40z=480 En planchar y empaquetar tenemos: 50+50+15z=480
Luego si queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
30x+50y+65z=480
40x+50y+40z=480
50x+50y+15z=480
Tres compuesto se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requerido 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B, y 60 kg del compuesto C. una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y
50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del C. Si hay disponibles 1600
kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo material químico disponible?

Leyes de Kirchhoff
Los circuitos eléctricos se rigen por las leyes de Kirchhoff que son:
-Primera ley de Kirchhoff.
La suma algebraica de corrientes en un nodo es igual a cero.
-Segunda ley de Kirchhoff
En una malla cerrada la suma de caídas de tensión es igual a la suma de fuerzas eléctricas aplicadas.
Para el siguiente circuito obtenga el valor de las corrientes i1 ,i2,13

Una mesa grande para una sala de conferencias debe tener forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos (véase la figura). Encuentre la longitud y el ancho de la parte rectangular, suponiendo que el perímetro de la mesa es de 30 metros y que el área de la parte rectangular debe ser el doble de la suma de las tareas de los extremos.
Para llenar un tanque de almacenamiento de agua de 300 litros se emplea un tubo único de entrada; para proveer de agua de riego a los campos de los alrededores se pueden utilizar dos tubos idénticos de salida (véase la figura) se nece4sita 5 horas para llenar el tanque, cuando los dos tubos de salida están abiertos. Cuando uno de ellos se halla cerrado, solo toma 3 horas el llenado del tanque. Encuentra los flujos (en litros por hora) de entrada y de salida del tanque.
Solución:
Queremos saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, asignemos literales. Sea x el número de unidades del fertilizante del tipo I. Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II. Sea z el número de unidades del fertilizante del III. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.
La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I es
10x, del tipo II es 20y, y del tipo III es 50z. El número total de kilogramos del compuesto A es: 10x+20y+50z Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A. 10x+20y+50z=1600
Análogamente para el compuesto B se tiene 30x+30y=1200
Para el compuesto C se tiene 60x+50y+50z=3200
Así, para saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se puede producir, hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
10x+20y+50z=1600
30x+30y=1200
60x+50y+50z=3200
Si dos resistencias R1 y R2 de un circuito están conectados en paralelo, se encuentra la resistencia total R con la fórmula 1/R= (1/R1) + (1/R2). Dada tres resistencias A, B, C y sabiendo que la resistencia total de Ay B conectadas al paralelo en de 48ohms, la de, B y C es de 80 ohms y la de A y C es de 60 ohms, encuentre A, B Y C (Nótese que al plantear las ecuaciones para resolver el ejercicio, dichas ecuaciones no son lineales, pero si se usan la situación x = ; y= ; z= Se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que se pueden resolver por Gauss- Jordan.

4. Conclusiones
La aplicación de las ecuaciones es muy utilizada en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales apareció como una parte importante en cualquier campo de la ciencia y de la ingeniería, como por ejemplo, la resolución de balances de materia en un sistema. Los ingenieros industriales se enfocan en los sistemas de producción.

La ingeniería industrial se centra en la " manera " en que esos productos y servicios se hacen, usando los mismos acercamientos que otros ingenieros aplican en el desarrollo del producto o del servicio, y para el mismo propósito.
En general, la ingeniería es la aplicación de la ciencia y de las matemáticas al desarrollo de los productos y de los servicios útiles a la humanidad

5. Recomendaciones
• Instruirse y darle mayor importancia al algebra lineal para lograr una excelente eficiencia como futuros profesionales y así ayudar al desarrollo del país.

• Se exhorta hacer un mayor énfasis en enseñar las técnicas de resolución y el análisis de los sistemas de ecuaciones aplicadas a la Ingeniería.

• Perfeccionar el trabajo en equipo colaborativo en futuros trabajos.

6. Bibliografía
James stewart, L. R. Precalculo quinta edicion, Matematicas para el calculo.
Jose Becerril Espinoza, L. e. solucion de sistemas de ecuaciones linealesmediante el metodo de Gauss-Jordan.
Loza, P. A. (2012). Problemas de algebra y como resolverlos.

Anexos
"muchas gracias"
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