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2.1 TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD1

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MITZY FRANCO MORALES

on 5 March 2015

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2.1 TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD
2.2 PROBABILIDAD DE EVENTOS:
°DEFINICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL
°DEFINICIÓN DE EVENTO
°SIMBOLIGÍA
°UNIÓN
°INTERSECCIÓN
°DIAGRAMAS DE VENN

Teoría elemental de probabilidad
La definición clásica se debe a Laplace que en su monumental libro “Theorie análitique des probabilités“ 1812, establece la definición de probabilidad de un suceso que puede ocurrir sólo un número finito de veces, como la proporción del número de “ casos favorables” entre el número total de “casos posibles”. Destacar por otra parte que la axiomática del Cálculo de Probabilidades se debe a Kolmogorov (1933).
Espacio muestral
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.
Definición de evento
Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones.
Simbología
Tipos de eventos
Evento simple o suceso elemental
Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.
Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ \mathbb R.
Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.
Tipos de espacio muestral
Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.
Discretos
Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable.
Continuos
Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable.
Ejemplo
El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Se simboliza con la letra E. Los elementos que lo forman se escriben entre llaves: { }

Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, los posibles resultado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Por tanto: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Unión de conjuntos
La unión de dos o mas conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.
Ejemplo, el conjunto de los números naturales (N) es la unión del conjunto de los números pares positivos (P) y el conjunto de los números impares positivos (I):

P= {2,4,6,8….}

I={1,3,5,7…}

PUI={1,2,3,4,5,6,7,8…}
Ejemplo
Si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la unión de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en alguno de los dos conjuntos, esto es:

AUB = { a, b, c, d, e, i, o} 
Intersección de conjuntos
Diagramas de Venn
La teoría de la probabilidad es una parte de las matemáticas, análoga al álgebra o la geometría y su construcción será por tanto semejante. Para la construcción de una teoría matemática se parte de un conjunto de aseveraciones, que se designan con el nombre de axiomas, y mediante la lógica se deducen una sucesión de afirmaciones que se designan con el nombre de teoremas. La forma en que se eligen los axiomas no es aleatoria ni categórica, lo que se intenta con estos postulados es “Idealizar la Realidad”.
Los fenómenos determinísticos, están caracterizados por obtener los mismos resultados cuando se realiza el experimento en idénticas condiciones. Estos no van a ser objeto de interés puesto que se conoce el resultado final antes de realizarlo (se corresponden por ejemplo con el estudio de las leyes físicas clásicas: velocidad, rozamiento, etc.). Por otra parte están los fenómenos aleatorios caracterizados por no obtener los mismos resultados aunque se realice el experimento en idénticas condiciones (lotería primitiva…). Concretamente, la definición de fenómeno o experimento aleatorio es la siguiente:
Los fenómenos que se pueden estudiar y que están asociados con la realización de cualquier experimento (acción bien definida que produce un resultado único y bien definido) pueden ser de una tipología muy variada, pero una sencilla clasificación de los mismos, que además, va a ser de gran interés para la Estadística es aquella que distingue entre fenómenos determinísticos y aleatorios.
Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Fueron presentados en julio de 1880.
La intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.
La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :
Propiedades de Intersección
Indempondencia. A∩A=A A={a,b,c}
Identidad. A∩Ø=Ø
A∩u=A
Conmutativa. A∩B=B∩A
Asociativa. A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
Distributiva. AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
Propiedades de Unión
Idempotencia: La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
Tanto A como B son subconjuntos de su unión:
Propiedad asociativa: La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual a la unión de los conjuntos A∪ B y C
Propiedad conmutativa: La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :
Elemento neutro: La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A
(A∩B)∩C
A∩(B∩C)
=
AU(B∩C)
(AUB)∩(AUC)
=
Ejemplo
A={1,6,9,10,12}
B={2,5,6,9,11,15}
A∩B={6,9}
El gran matemático suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notación clara y sencilla.
Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:
En ellos no aparecen las regiones vacías
El conjunto universal no se representa.
Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.
Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersección de ambos.
A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 3; 5; 15}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}
Intersección
Disyunción
Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.
Inclusión
Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que está incluido en el segundo. cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías), la situación se indica anulándolas.
 A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 2; 3; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
Unión de conjuntos
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) 
conjuntos es una operación que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son los elementos de
los conjuntos iníciales.
X ejemplo: si
A = { a, b, c, d, e} y
B = { a, e, i, o}, entonces!
AUB = { a, b, c, d, e, i, o}
Ejercicio
Unión
A={16,19,22,25,29,35,67,90}
B={22,27,35,58,67,100}
C={16,23,56,64,67,90}
Intersección
A={1,5,8,34,67,89,90,97,100,107}
B={5,7,34,38,55,67,73,81,89,97,107}
C={3,7,38,44,67,77,88,90,100,166}
Eventos complementarios
Si A ∩B=Ø y AUB=E , se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B
y Bc = A
Ejemplo
BARAJA DE 56 CARTAS
¿Qué pasa si de esa baraja quiero sacar 3 cartas a mi favor ?
la probabilida de sacar esas cartas son de 18.66 la probabilidad de sacar 3 cartas no cambia , pero ahora ya tomando esas 3 cartas , ahora queremos sacar 7 cartas a nuestro favor, entonces la probabilidad de asertar las cartas ira creciendo ya que las cartas disminuyen, a esto se le llama dependiente.
Independientes
Un evento independiente son todos aquellos eventos que no tienen una relacion entre sí, que no tendra influencia uno con otro.
Extra
Objetivo
Dar a entender el conocimiento básico de la teoría de la probabilidad y probabilidad de un evento, ya que con ellos podemos entender mas la probabilidad.
Misión
Dar a conocer los siguientes temas: teoría elemental de probabilidad y la probabilidad de eventos.
Visión
Conceptualizar los temas ya mencionados en la exposición ya que ellos son parte del entendimiento a futuro
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