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프랙탈

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by

안홍 정

on 12 February 2013

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Transcript of 프랙탈

프랙탈 지도교사 정치남 프랙탈
차원 프랙탈
문제 프랙탈 21031 정안홍
21034 조아란
21036 주혜미 프랙탈이란?
처음의 물체나 패턴이 같은 패턴으로 점점 더 작은 크기로 영원히 복제되거나
다른 패턴으로 복제되면서 계속 발전하고 성장하는 물체.

‘프랙탈’이란 이름은 1975년 B.B.만델브로트 박사에 의해 지어짐 차원? 한 점의 위치를 정하기위해
필요한 수치의 갯수 평면 공간 프랙탈 차원 0.7차원 , 1.3차원 칸토어집합 1. 처음 구간은 [0,1]에서 시작한다.
2. [0,1] 구간을 3등분한 후, 가운데 개구간(⅓, ⅔)을 제외한다. 그러면 [0, ⅓]∪[⅔, 1]이 남는다.
3. 2에서와 같이 두 구간 [0, ⅓], [⅔, 1]의 각각의 가운데 구간을 제외한다.
4. 이와 같은 과정을 계속해서 반복한다. 집합을 만드는 과정중, 각 단계에서 빠지는 길이는 차례로 1/3, 2/9 ,4/27, 8/81…이다.
이 빠진 길이들을 모두 합하게 되면 초항이 1/3이고 공비가 2/3인 등비수열이므로 그 합은 1이다
무한번 시행한 후 칸토어 집합의 길이는 0이 된다.

칸토어 집합은 직선에서 시작했으므로 1차원 이상은 되지 않고,
점이 무한개 있으므로 점 하나의 차원인 0차원 이상일 것이다. 시어핀스키 삼각형 1. 정삼각형 하나를 그린다.
2. 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다.
이때 가운데에 있는 작은 정삼각형 하나를 제거한다.
3. 남아있는 3개의 작은 정삼각형 각각에 대하여 2와 같은 과정을 시행한다.
4. 3과 같은 과정을 무한히 반복한다. 이 과정을 무한번 반복하는 경우, 남아있는 정삼각형의 넓이의 합은 0이 나온다.

2차원인 평면에서 시작한 시어핀스키 삼각형은 몇 개의 직선만이 남아있는것처럼 보임
->시어핀스키 삼각형의 차원은 직선인 1차원보다는 크고 평면인 2차원보다는 작을 것 n차원 도형에서 모서리를 길이가 ε=1/n인
선분으로 나누면 작은 도형의 개수는 N=(1/ε)n 물체를 길이가 ε인 선분으로 n회 나누었을 때
N=nD=(1/ε)D개가 나온다면 이 D는 물체의 차원이라 볼 수 있음 칸토어 집합은 1/3씩 줄어들고
그 때 선분의 개수는 2배씩 늘어나므로 ε=(1/3)n, N=2n이다.

따라서 칸토어 집합의 차원은 다음과 같이 약 0.63으로
점의 차원보다는 크고 직선의 차원보다는 작다. 시어핀스키 삼각형은 선분의 길이가 1/2씩 줄어들고,
제거하고 남은 정삼각형의 개수는 3배씩 늘어나므로
ε=(1/2)n, N=3n이다.

따라서 시어핀스키 삼각형의 차원은
ln3/ln2 =약 1.58로
직선의 차원보다 크고
평면의 차원보다 작다. 특징

정수차원이 아닌 소수 차원을 가짐

도형의 어느 부분을 확대하여도
전체의 모습을 볼 수 있는 ‘자기 닮음’ 구조

프랙탈 도형의 길이는 무한대 프랙탈 도형1 - 코흐곡선 생성자 : 선분

선분은 3등분하여 가운데의
선분을 위로 구부려 올림

이 선분은 원래 선분의 1/3인
선분 네 개로 이루어짐

생성자를 축소해 가면서
새로 생긴 네 개의 선분과 바꾸어 감

이 과정을 무한히 반복함. 프랙탈 도형2 - 칸토어집합 칸토르 집합은 몇 단계가 지난 후에 '먼지(dust)'처럼
남는 것이 거의 없다고 해서 칸토르의 먼지라고도 함.

길이가 1인 선분을 생각하고 그 중에서 중간의 1/3 부분을
제거하는 방법을 무한히 반복하고 남은 작은 조각들의 집합.

칸토르 집합의 조각 수는 무한하지만 길이는 0이다.
이 같은 성질로 19세기 수학자들에게 큰 문제로 등장했었음. 프랙탈 도형 3 - 시어핀스키 삼각형 색칠되어 있는 임의의 정삼각형에서 시작,
주어진 삼각형의 변의 중점을 꼭지점으로 하는 삼각형을 그려
합동인 4개의 작은 정삼각형을 만듦

가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정삼각형만 남김
남아있는 3개의 색칠되어진 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행

이를 무한히 되풀이하면 평면상에 점들의 집합이 나타남
이것이 시에르핀스키 삼각형 답 자연..

프랙탈 나무뿌리 눈 상추 폐 번개 그럼~~~ 이만~~~ 고맙습니다~
^▽^
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