Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Lógica de proposiciones

No description
by

bryan diaz

on 1 June 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Lógica de proposiciones

Lógica de proposiciones
1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad
En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen
un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

1.2 Conexión entre Proposiciones
Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.

1.3 Implicación
Estudiamos en este apartado la implicación lógica entre dos proposiciones.
La estrecha relación existente entre la matemática moderna y la lógica formal es una de sus características
fundamentales. La lógica aristotélica era insuficiente para la creación matemática ya que la mayor parte
de los argumentos utilizados en ésta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extraños
en aquella.
En esta primera lección de lógica estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna
lógica formal: la l´ogica de enunciados o de proposiciones.
1.1.1 Proposición
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a
la vez.

Ejemplo 1.1
Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.
(b) 6 es un número primo.
(c) 3+2=6
(d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es.

Nota 1.1
Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . . . . . La notación p :Tres más
cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”.
Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Ejemplo 1.2
Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y > 5
(b) ¿Te vas?
(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.
(d) x = 2









Solución
En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo
de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones,
por lo tanto no son proposiciones.
Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados,
solamente interesa su valor de verdad.
1.1.2 Valor de Verdad

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

Ejemplo 1.3 Dígase cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.

(a) p: Existe Premio Nobel de informática.
(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.
(d) s: Cinco más siete es grande.

Solución

(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas
de cinco cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero
grande
1.1.3 Proposición Compuesta

Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposición P, diremos que P la es una proposici´on compuesta de p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo 1.4
“La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”.

“El es inteligente o estudia todos los d´ıas” es una proposici´on compuesta por dos proposiciones: “El es inteligente” y “El estudia todos los días”.

Nota 1.2
La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que est´an conectadas.

1.1.4 Variables de Enunciado

Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa.

En el cálculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L.Wittgenstein
1.1.5 Tablas de Verdad

La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo 1.5
Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.

p1 p2 p3
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F



1.2.1 Conjunción


dada dos proposiciones cualquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta "p y q" y la notaremos p^q. Esta proposición sera verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.

Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p^q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p^q es falsa. Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por

p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F

Obsérvese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p^q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p^q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.

1.2.2 Disyunción

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta "p ó q" y la notaremos p V q. Esta proposición sera verdadera si al menos una de las dos p o q lo és.
De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces p V q es verdad
y que p V q será falsa, únicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad será, por tanto,
p q pVq
V V V
V F V
F V V
F F F

Al igual que en la conjunción podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si pVq es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p V q es falsa, entonces ambas han de ser falsas.

La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se utiliza en el sentido de “p ´o q, ´o ambos”, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p ´o q, pero no ambos” es decir, ocurre exactamente una de de las dos alternativas.
Por ejemplo, la proposición “El ir´a a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo sentido. A este tipo de
disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.


1.2.3 Disyunción Exclusiva

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p o q pero no ambas” y la notaremos pvq. Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

p q pvq
V V F
V F V
F V V
F F F

Haciendo el razonamiento contrario si pvq es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si p Y q es falsa, sólo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad.

Nota 1.3
Salvo que especifiquemos lo contrario, “o” será usado en el primero de los sentidos. Esta discusión pone de manifiesto la precisión que ganamos con el lenguaje simbólico: p V q est´a definida por su tabla de verdad y siempre significa p y/ o q.



1.2.4 Negación

Dada una proposición cualquiera p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.
La tabla de verdad de esta nueva proposición ¬p es:
p ¬p
V F
F V

De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original

Ejemplo 1.6
Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
p1: El Pentium es un microprocesador.
p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.
p3: El Pentium no es un microprocesador.
p4: 2 + 2 = 5
p5: Es falso que 2 + 2 = 5
p6: 2 + 2 = 4

Solución
p2 y p3 son, cada una, la negación de p1.
p5 y p6 son, cada una, la negación de p4.

Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación, tendremos:

p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.
p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.

1.2.5 Tautologías y Contradicciones

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1,p2,…,pn
P es una tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2,…,pn.
P es una contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2,…,Pn.
En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología.

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.

Ejemplo 18
Probar que la proposición compuesta de V ¬p es una tautología y la p ^ ¬p es una contradicción.

Solución
En efecto:
p ¬p pV¬p p^¬p
V F V F
F V V F

Obsérvese que pV¬p es verdad, independientemente de quienes sean las variables de enunciado, p y ¬p y lo mismo ocurre con la falsedad de p^¬p







1.2.6 Proposición Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

“si p, entonces q”

se le llama “proposición condicional” y se nota por

p −→ q

A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa ´únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera).

De acuerdo con esta definición su tabla de verdad es.

p q p −→ q
V V V
V F F
F V V
F F V

Obsérvese que si p −→ q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p −→ q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.


1.2.7 Proposición Reciproca

Dada la proposición condicional p −→ q, su reciproca es la proposición, también condicional, q −→ p.

Por ejemplo, la reciproca de “Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora” será “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla”.
1.2.8 Proposicion Contrarreciproca

Dada la proposición condicional p −→ q, su contrarrecíproca es la proposición, también condicional,¬q −→ ¬p.

Por ejemplo, la contrarreciproca de la proposición “Sr María estudia mucho, entonces es buena estudiante” es “Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”

Ejemplo 1.11
Escribir la reciproca y la contrarrecıproca de cada una de las afirmaciones siguientes:
(a) Si llueve, no voy.
(b) Me quedare, solo si tu te vas.
(c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.
(d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.



Solución

Escribiremos la recıproca y la contrarrecıproca de varias formas.

(a) Si llueve, no voy.

Reciproca.
− Si no voy, entonces llueve.
− Llueve si no voy.
− Una condici´on necesaria para no ir es que llueva.
− Una condici´on suficiente para que llueva es no ir.

Contrarrecíproca
.
− Si voy, entonces no llueve.
− Voy s´olo si no llueve.
− Es necesario que no llueva, para que vaya.
− Es suficiente que vaya para que no llueva.
(b) Me quedar´e s´olo si te vas.

Reciproca.
− Si te vas, entonces me quedare.
− Me quedaré, si te vas.
− Una condición necesaria para que te vayas, es quedarme.
− Una condición suficiente para quedarme es que te vayas.

Contrarrecıproca.
− Si no te vas, entonces no me quedaré.
− No me quedaré si no te vas.
− Es suficiente que no te vayas, para no quedarme.

(c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

Recíproca.
− Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas.

Contrarrec´ıproca.
− Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas.
− Puedo completar la respuesta s´olo si me ayudas.
− Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta
1.2.9 Proposición bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta
“p si y s´olo si q”

se le llama “proposición bicondicional” y se nota por
p ←→ q


La interpretaci´on del enunciado es:

p sólo si q y p si q es decir (p −→ q) ^ (q −→ p)

Por tanto su tabla de verdad es :

p q p −→ q q −→ p p ←→ q
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V

Luego la proposición bicondicional p ←→ q es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones, p y q, tengan los mismos valores de verdad.


Nota 1.4
Obsérvese que la proposición condicional p −→ q, se enunciaba

Si p, entonces q

siendo una formulación equivalente,

Una condición necesaria para p es q

y la proposición condicional q −→ p, se enunciaba

Si q, entonces p

siendo una formulación equivalente,

Una condición suficiente para p es q

Por tanto, una formulación equivalente de la proposición bicondicional en estos términos, seria:

Una condición necesaria y suficiente para p es q

1.3.1 Implicación Lógica

Se dice que la proposición P implica lógicamente la proposición Q, y se escribe P =⇒ Q, si Q es verdad cuando P es verdad.

Obsérvese que esto es equivalente a decir que P =⇒ Q es falso si P es falso cuando Q es falso, ya que si
P es verdad siendo Q falso, no se cumplirla la definición anterior.
Integrantes del grupo
*Bryan Diaz
*Diana Campozano
*Steven Mora
*Marcos Barco
*Kevien Valente
*Elizabeth Elao
Full transcript