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Variación de parametros

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by

jorge olvera

on 29 April 2014

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Transcript of Variación de parametros

Variación de parámetros
Variación de parámetros
Según Nagle, Saff, & Snider (2001), la variación de parámetros es un método para obtener la solución particular o general de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden.
Después, se sustituye (3) y las derivadas anteriores en la ecuación (2), y se agrupan términos:
yp''+P(x) yp'+Q(x) yp= u1 [y1''+Py1'+Qy1' ]+u2 [y2''+Py2'+Qy2' ]+ y1 u1''+u1' y1'+y2 u2''+ u2' y2'+P[y1 u1'+y2 u2' ]+ y1' u1'+y2' u2'

= d/dx [y1 u1' ]+ d/dx [y2 u2' ]+P[y1 u1'+y2 u' ]+ y1' u1'+y2' u2'

= d/dx [y1 u1'+y2 u2' ]+P[y1 u1'+y2 u2' ]+ y1' u1'+y2' u2'=f(x) (4)

Lo primero que se debe hacer es llevar la ecuación diferencial a su forma estándar:
y^''+P(x) y^'+Q(x)y=f(x) (2)

Jorge Olvera 6960
Jorge Kornegay 7060
Humberto Pérez
Carlos Espinoza


PASO 1

PASO 2
PASO 3
Definición
En la ecuación (2), suponemos que P(x), Q(x), y f(x) son continuas en algún intervalo “I”. Después, se parte de la hipótesis yp= u1 (x) y1 (x), con el fin de hallar la solución particular de la ecuación lineal de primer orden y'+P(x)y=f(x), para la ecuación lineal de 2do orden (2) buscamos una solución de la forma:
yp= u1 (x) y1 (x)+ u2 (x) y2 (x), (3)
donde “y1” y “y2” forman un conjunto fundamental de soluciones en “I”, de la forma homogénea asociada (1). Después, se obtiene la primera derivada y_p^' y luego se obtiene la segunda derivada y_p^'':
yp'= u1 y1'+ y1 u1'+ u2 y2'+ y2 u2'
yp''= u1 y1''+ y1' u1'+ y1 u1''+u1' y1'+ u2 y2''+ y2^' u2'+ y2 u2''+u2' y2'

Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas u_1 y u_2, se necesitarán dos ecuaciones, y estas se pueden encontrar utilizando otra hipótesis, la cual establece que las funciones u_1 y u_2 satisfagan y_1 u_1^'+y_2 u_2^'=0. Esta hipótesis simplifica la ecuación (4), para así obtener estas dos ecuaciones:

y1 u1'+y2 u2'=0
y1^' u1'+y2' u2'=f(x)

Estas fórmulas se pueden expresar en términos de los determinantes del “wronskiano”:
u_1^'=W_1/W=-(y_2 f(x))/W y u_2^'=W_2/W=(y_1 f(x))/W (5)

PASO 4






Las funciones u_1 y u_2 se determinan integrando los resultados en (5). Por último, las funciones u1 y u2 se sustituyen en la ecuación (3) para obtener la solución particular:


yp= u1 y1+ u2 y2



PASO 5

Ejemplo 1

APLICACIONES
El método de variación de parámetros extiende de ecuaciones diferenciales parciales, con problemas de ecuaciones diferenciales no homogéneas y E.D. lineales como la ecuación del calor que dice que un cuerpo a cierta temperatura T se sumerge en agua a una temperatura menor, la temperatura del cuerpo disminuirá y al final la temperatura del cuerpo y del agua serán la misma. También la ecuación de la onda que describe la propagación de ondas, y la ecuación de la plataforma vibratoria.
El método también se le pude llamar “principio de Duhamel porque Jean-Marie Duhamel fue el primero en aplicar éste método para resolver la E.D no homogénea del calor.

Referencias
-Zill, D. (2002). “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado”. México. Editorial Thomson Learning. Séptima Edición. Pág. 188-192. ISBN: 970-686-121-1.
-Variación de parámetros, obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Variaci%C3%B3n_de_par%C3%A1metros el 27 de Abril de 2014.
-Dennis G. Zill “Ecuaciones difernciales con aplicaciones” Segunda edición, Grupo Editorial Iberoamericano, p.155-162
-Nagle, Saff, Snider (2001) “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera” Addison Wesley, tercera edición, pag. 213-218
-Video: ECUACIONES DIFERENCIALES POR VARIACION DE PARAMETROS.mp4, por 007 selenita, (2010) obtenido de el 27 de Abril de 2014.

-Video: Variación de parámetros (2010) obtenido de El 27 de abril de 2014
-Ecuaciones diferenciales método por variación de parámetros, Daniela Rosalind, obtenido de http://www.slideshare.net/DEXNNYELA/variacion-de-parametros-2223247 el 27 de abril de 2014
-Ecuaciones diferenciales Ecuaciones de orden superior por variación de parámetros, Karla Ordoñez, Karina Jimenez, Rodrigo Saraguro, obtenido de http://www.slideshare.net/Karis_Jim/resolucin-de-ecuaciones-diferenciales-metodo-de-variacion-de-parametros el 27 de Abril de 2014
-Metodo por variación de parámetros, Iván Gil Perales Gómez, obtenido de http://www.slideshare.net/guest975210/variacion-de-parametros-2224034 el 27 de abril de 2014
-Ecuaciones diferenciales de orden superior, obtenido de http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/4.LinealesOrdenSuperior/ImpVariacion.pdf el 27 de abril de 2014
Ejemplo 2
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