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Matematica

Expo
by

carlos narvaez

on 23 May 2013

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Transcript of Matematica

UNIDAD I UNIDAD I
METODOS INDUCTIVO Y DEDUCTIVO Delgado, Edward V-16.924.965
Franco, Jearcarlos V-17.428000
Landaez Zolangely V-18.815.800
Mauricio Patricia V-19.015.975
Morales Rodny V-18.235.586
Narváez Carlos V-17.160.281 MÉTODO INDUCTIVO Elaborado por:
Según Aristóteles es “el razonamiento que permite pasar de lo particular a lo universal” su introducción al método científico, Gutiérrez Sáenz proporciona la siguiente definición de inducción: “Es el raciocinio en donde, a partir de la observación de una relación constante entre fenómenos, se obtiene una relación esencial, y por tanto, universal y necesaria entre dichos fenómenos”. La inducción puede ser completa o incompleta. MÉTODO DEDUCTIVO Este método esta vinculado históricamente a las ciencias formales: a la lógica, las matemáticas y la geometría. Así funciona el método deductivo: a partir de principios generales y, con la ayuda de una serie de reglas de inferencia, se demuestran unos teoremas o principios secundarios.
El siguiente esquema muestra el funcionamiento del método deductivo: NOTACIÓN MATEMÁTICA
Se llama Notación Matemática el sistema de Signos convencionales que se adopta en esta ciencia para las demostraciones de los teoremas, el cálculo algebraico, la expresión de fórmulas, etc. TEOREMA Dentro de un sistema axiomático, un teorema es la última de las proposiciones que nos encontramos dentro de un proceso deductivo. El teorema se sigue de las proposiciones que nos encontramos dentro de esta secuencia y el resto de proposiciones de las anteriores, siendo estos axiomas. Estas se derivan a partir de la aplicación de unas reglas previamente especificadas, se trata de reglas de inferencia, las cuales nos sirven para extraer teoremas a partir de otros axiomas y teoremas. A la secuencia se le denomina prueba o derivación. CONJETURAS La conjetura consiste en una afirmación que, al no haber sido probada pero tampoco refutada, se concibe como cierta. Sólo cuando se haya podido demostrar su veracidad, la conjetura pasará a ser un teorema y, por lo tanto, podrá usarse para desarrollar otras demostraciones formales. TÉCNICAS PARA DEMOSTRACIÓN Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión). El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso. MÉTODO DE CONTRAPOSICIÓN El método de la demostración por contraposición, tiene la ventaja de que se va a dirigir hacia una contradicción concreta. En la demostración por contraposición, al igual que la demostración por reducción al absurdo, se supone que tanto p como q’ son verdaderas. En el método por contraposición, sin embargo, no se parte de p y q’, sino que se empieza a trabajar solamente con q’ y el objetivo es llegar a que p es falsa, con lo que ya se ha llegado a una contradicción. MÉTODO POR CONTRAEJEMPLOS Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un "cuantificador universal". Esto, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de un cierto conjunto".
Problemas del Método Inductivo

En primer lugar, para observar hay que saber qué observar y, para ello, debemos contar con una teoría previa que nos diga qué datos son los significativos. Por lo tanto, la observación en sí misma no podía ser el inicio del método.
En Segundo lugar, es que el método inductivo no puede dar una copia, un catálogo exhaustivo de todo lo que sucede en la realidad, motivo por el cual el método inductivo sólo ofrece conocimientos probables.
Todos los seres humanos son mortales.
Sócrates es un ser humano.
En consecuencia, Sócrates es mortal. Este sistema de signos por ser convencional, producto de la invención den los hombres, no ha sido siempre el mismo. Así, para los de suma y resta, por ejemplo. “en el siglo XVI aún se usaban los signos p. y m. (abreviaturas de las palabras plus y minus, que en latín significan mas y menos). Poco a poco fueron adaptándose los signos + y – introducidos por el Alemán Widmann en 1489”. AXIOMAS Los axiomas son proposiciones que se dan por verdaderas, aunque no hay pruebas de su verdad, aceptándose su verdad por ser evidente. Se utiliza para deducir a partir de ella otras proposiciones. Los axiomas son el centro de los sistemas formales y de las teorías.
Las proposiciones derivadas de los axiomas son los teoremas. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría de Euclides. Los axiomas son necesariamente verdaderos, esto es, verdadero en todo mundo posible. Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces y son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Ejemplo:
Una secuencia finita de fórmulas bien formadas (fórmulas lógicas bien formadas) F1,…, Fn, tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales que j<i y k<i) mediante una regla de deducción. Dada una demostración como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema. Ejemplo:

Tomamos un número natural cualquiera. Si es impar lo multiplicamos por 3 y le añadimos 1. Si es par, lo dividimos entre 2. Si repetimos la operación sucesivamente llegamos siempre al número 1. MÉTODO DE DEMOSTRTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la Invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas. El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo una proposición de la forma (P1P2…Pn) Q consiste en:
1)Asumimos que la condicional es falsa luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y ~Q son verdaderas.
2)De lo anterior debemos llegar a una contradicción, por lo que la condicional tiene que ser verdadera. Una contraposición es cómo los valores de verdad de dos declaraciones se relacionan el uno al otro. Dado una declaración “si p entonces q” donde están dos declaraciones p y q relacionadas:

El inverso es “si q entonces p”;
Lo contrario es “si no p entonces no q”;
El contrapositivo es “si no q entonces no p”; y

La contradicción es 'allí existe un ejemplo de p por el cual q sea falso. Un contraejemplo es un ejemplo que prueba la falsedad de un enunciado.
La suma de dos números compuestos siempre es un número compuesto. Este enunciado es falso, como contraejemplo,
La validez de un enunciado se establece con una demostración. La falsedad de un enunciado se establece con un contraejemplo. MÉTODO INDUCTIVO
MÉTODO DEDUCTIVO
NOTACIÓN MATEMÁTICA
AXIOMAS
TEOREMA
CONJETURAS
TÉCNICAS PARA DEMOSTRACIÓN
MÉTODO DE DEMOSTRTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO
MÉTODO DE CONTRAPOSICIÓN
MÉTODO POR CONTRAEJEMPLOS PUNTOS A TRATAR:
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