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CyR_M2

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Planea Sep

on 7 May 2016

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Transcript of CyR_M2

Eje Cambio y relaciones
Momento 2.
Situación de Aprendizaje

El segundo momento del módulo consiste en abordar situaciones de aprendizaje con dos conceptos matemáticos particulares:
Para empezar...
Función lineal y Media Aritmética
Función Lineal
Media Aritmética
Para cada una de las tareas,
determinen al menos dos estrategias para resolverlas:

En sus libretas, coloquen los procedimientos y las estrategias de resolución.
Llenado de recipientes de vidrio
Tarea 1. Llenado de un cilindro
Se llena con agua un recipiente de forma cilíndrica como se muestra enseguida, el agua entra con un flujo constante. Expliquen cómo se llena el recipiente conforme el tiempo pasa, describan el cambio de la altura del cuerpo de agua conforme el tiempo avanza.
Tarea 2. Llenado de diferentes cilindros
Consideren recipientes cilíndricos, ahora con diferentes dimensiones, pero con la misma capacidad. Estos serán llenados con agua durante un tiempo con el mismo flujo constante.
Tarea 3. Mismos cilindros, diferente llenado
En las siguientes tablas se muestran los datos correspondientes al aumento de la altura del cuerpo de un líquido durante el llenado de dos recipientes cilíndricos con las mismas dimensiones.
Tarea 4. Diferentes cilindros, diferente llenado
Las siguientes tablas corresponden al llenado de dos recipientes, de 70 y 50 cm de altura.
a. Utilicen un mismo plano cartesiano para graficar cómo cambia la altura del cuerpo de agua en el Recipiente A.
a. En un mismo plano cartesiano, proporcionen para cada recipiente la gráfica que represente el cambio de la altura del cuerpo de agua con respecto al tiempo.
a. ¿Qué caracteriza al flujo de agua en ambos recipientes?
b. ¿Qué altura alcanzará el cuerpo del líquido a los 13 segundos en cada uno de los dos recipientes?
c. ¿Qué podrían decir de cuáles son las diferencias y similitudes en la forma de llenado de ambos recipientes?
d. ¿Cuál es la expresión algebraica para el llenado que les permite diferenciar entre ambos recipientes?
a. ¿Cuál de los dos recipientes se llenará primero?
b. ¿Cuáles son las diferencias en la manera en que se llenan ambos recipientes?
c. ¿Cuál es la expresión algebraica que les permite diferenciar entre los dos recipientes?
En sus libretas, coloquen los procedimientos y las estrategias de resolución.
Gráfico 1. Notas del estudiante A
Gráfico 3. Notas del estudiante C
Gráfico 2. Notas del estudiante B
Sobre las notas de estudiantes
A continuación, se presentan gráficas de las estadísticas que muestran las calificaciones obtenidas por tres estudiantes en su asignatura de Historia. En total cada estudiante debía realizar siete exámenes con notas que van del 0 al 10.
Con base a la información mostrada en las gráficas de barras anteriores (Gráfico 1 al 3) respondan las siguientes preguntas para cada una de las notas de A, B y C:
a. Determinen la media aritmética correspondiente a las notas de sus exámenes. Describan y comenten dos estrategias para determinar dicho valor.

b. Determinen la mediana correspondiente a las notas de sus exámenes. Describan dos estrategias para determinar dicho valor.

c. Identifiquen el examen donde el estudiante obtuvo la mayor calificación..

d. Determine la moda correspondiente a las calificaciones de los exámenes.

e. Para cada uno de los estudiantes:
¿Cuál de las medidas de tendencia central determinados
representa mejor
a las notas obtenidas en los siete exámenes?
Describan su estrategia que argumente la respuesta a esta pregunta.

Estrategia 1.
Expliquen cómo cambia la altura del agua respecto del tiempo.
Dado que el diámetro del recipiente es el mismo para cada altura pues se trata de un cilindro, y el flujo de agua es constante, entonces el tiempo que tarda en alcanzar la misma altura será el mismo, ¿están de acuerdo? Es decir, si se secciona el recipiente en alturas iguales, el tiempo que tarda en alcanzar dichas alturas será el mismo para ambos recipientes. Hagan un experimento mental e imaginen el proceso de llenado como lo describe el enunciado y confirmen o refuten la descripción.
Estrategia 1.
Grafiquen cómo cambia la altura del cuerpo de agua en el Recipiente A
Si se secciona imaginariamente el recipiente en alturas iguales, el tiempo que tarda en llenarse cada sección será la misma, por lo que se concluye que el fenómeno tiene un comportamiento lineal. Por tanto, será la gráfica de una línea recta que pasa por el origen. ¿Tienen ejemplos de este fenómeno en mente? ¿Tienen contraejemplos? (Buscar en el diccionario de matemáticas qué es un contraejemplo).
¿Usaron alguna estrategia distinta? ¿Hay otras estrategias?
Pensar en distintas estrategias nos ayudará a reflexionar en las distintas rutas del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
Antes de ver las estrategias propuestas, piensa en las propias.
Estrategia 1. Comparación de alturas
Una estrategia para obtener la gráfica del llenado de los dos recipientes es fijarse en cuál tiene altura del agua mayor. Ambos recipientes se llenan de forma lineal pero el recipiente B, al ser más angosto, la altura cambia más rápido por ello su pendiente es mayor.
Estrategia 2. Comparación de tiempo de llenado
Otra estrategia para atender el problema es similar a la anterior, donde se considera la variable tiempo. Esto es, si medimos el tiempo que tarda en tomar la misma altura en cada recipiente, el llenado del recipiente B tarda menos tiempo por ser más angosto. De tal manera que la recta con pendiente mayor corresponde al llenado del recipiente B.
¿Usaron alguna estrategia distinta? ¿Hay otras estrategias?
Pensar en distintas estrategias nos ayudará a reflexionar en las distintas rutas del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
a. ¿Qué caracteriza al flujo de agua en ambos recipientes?
b. ¿Qué altura alcanzará el cuerpo del líquido a los 13 segundos en cada uno de los dos recipientes?
c. ¿Cuáles son las diferencias y similitudes en la forma de llenado de ambos recipientes?
d. ¿Cuál es la expresión algebraica que te permite diferenciar entre los dos recipientes?
Estrategia 1. Método de cálculo de las diferencias
Estrategia 2. Graficación de valores
Otra estrategia para conocer el comportamiento del flujo es mediante la localización en el plano de los valores dados en la tabla, se observa que están alineados sobre una línea recta por lo que el flujo es constante (¿por qué?).
Una estrategia consiste en determinar el valor del flujo mediante el cálculo de las diferencias y reconocer desde ahí que el flujo es constante ¿están de acuerdo?, discutan con sus colegas. Por ejemplo, para el caso del primer recipiente:
O bien, dado que en los valores de la tabla la diferencia en x vale 1 en todos los casos, se puede calcular directamente para determinar dicho flujo. Por ejemplo, para el recipiente 2, que también tiene flujo constante, obtenemos lo siguiente:
Estrategia 1. Sustitución en la fórmula y=mx+b
Una estrategia para encontrar la altura del líquido que tendrá cada recipiente consisten en construir la función lineal que describe el llenado, es decir, se determinan los valores de
m
y
b
de la expresión; para después sustituir en ella el valor que desea conocer, en este caso
x
=13
.

Para calcular la
m
se recurre a la fórmula de la pendiente de una recta,


de donde se obtiene que es 4.5. Para determinar el valor de
b
, se recurre a la sustitución de cualquier valor de la tabla en la expresión
y
=4.5
x
+
b
. Por ejemplo, si en el primer recipiente tomamos el segundo valor de la tabla
11=4.5(2)+
b
, entonces
b
=11-9=2
. Por tanto la expresión es
y
=4.5
x
+2
, de tal manera que la altura correspondiente al momento solicitado es
y=4.5(13)+2=60.5
.

Otra estrategia para el cálculo de
b
que requiere de ideas variacionales (el tratamiento del cambio) sería la de determinar el valor de la altura del líquido para el valor
x
=0
. Para esto, se sustrae el valor de la variación (4.5) al primer segundo
x
=1
. Por ejemplo, si en el segundo recipiente se calcula esta diferencia obtenemos
b
=14.–4.5=10
, de donde la expresión es
y
=4.5
x
+10
, de tal manera que la altura correspondiente al momento deseado es
y=4.5(13)+2=68.5
.
Estrategia 2. Prolongación de la tabla
Estrategia 1.
Tanto las dimensiones del recipiente como del flujo son idénticas para ambos recipientes, pero la cantidad de agua que contenía cada recipiente al momento de iniciar el llenado era diferente.
Estrategia 1. Significación de parámetros m y b
Para determinar la expresión algebraica que caracteriza el llenado de cada recipiente se requiere del significado de los parámetros: pendiente y ordenada al origen. Esto es, la ordenada al origen corresponde a la altura del líquido al momento de iniciar el llenado y, la pendiente corresponde al cambio en la altura. Para el recipiente uno, la expresión algebraica es , para el recipiente dos, la expresión algebraica es .
Estrategia 2. Sustitución en la fórmula
Para determinar la expresión algebraica que caracteriza el llenado de cada recipiente se recurre a la expresión

El cálculo de la
pendiente
se hace a través de:



para cualquier par de valores de la tabla, por ejemplo en el recipiente 1,

después de sustituye en la expresión, obteniendo lo siguiente:
y
-15.5=4.5(
x
-3) →
y
=4.5(
x
-3)+15.5 →
y
=4.5
x
+2
¿Usaron alguna estrategia distinta? ¿Hay otras estrategias?
Pensar en distintas estrategias nos ayudará a reflexionar en las distintas rutas del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
a. ¿Cuál de los dos recipientes se llenará primero?
c. ¿Cuál es la expresión algebraica que te permite diferenciar entre los dos recipientes?
b. ¿Cuáles son las diferencias en la forma de llenado de ambos recipientes?
Las dimensiones del recipiente son distintas, además, el flujo y la cantidad de agua en ambos recipientes es diferente.
Estrategia 1.
Estrategia 1. Prolongación de la tabla
Para saber cuál de los dos recipientes se llenará primero, una estrategia sería la de completar los valores de la Tabla. Para ello, se requiere conocer el flujo en ambos casos el cual se puede calcular a través del método de las diferencias.
Estrategia 2. Sustitución en la fórmula y=mx+b
Una estrategia es encontrar la expresión algebraica para el llenado de cada recipiente. Para ello, sabemos que la ordenada al origen corresponde a la altura del líquido al momento de iniciar el llenado y, la pendiente corresponde al cambio en la altura; de tal manera que para el recipiente 1, la expresión algebraica es , para el recipiente 2, la expresión algebraica es .
Por último, de los valores de la tabla se concluye que el recipiente que se llena primero es el segundo.
Para conocer el tiempo que tardará en llenarse el primer recipiente, nos preguntamos por el valor de
x
para que la
y
=70, entonces sustituyendo en obtenemos que es en
x
=30.43
. Mientras que para el segundo recipiente, nos preguntamos por el valor de
x
que hace que sea
y
=50, sustituyendo en la expresión tenemos que
50=1.2
x
+16
y de ahí
x
=28.33
. Por lo que se concluye que el recipiente en llenarse primero es el segundo.
Estrategia 1. Significación de parámetros m y b
Para determinar la expresión algebraica que caracteriza el llenado de cada recipiente se requiere del significado de los parámetros: pendiente y ordenada al origen. Esto es, la ordenada al origen corresponde a la altura del líquido al momento de iniciar el llenado y, la pendiente corresponde al cambio en la altura. Para el recipiente uno, la expresión algebraica es
para el recipiente dos, la expresión algebraica es
Estrategia 2. Sustitución en la fórmula
¿Usaron alguna estrategia distinta? ¿Hay otras estrategias?
Pensar el distintas estrategias nos ayudará a reflexionar en las distintas rutas del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
RECORDATORIOS
Resolver las tareas planteadas en cada una de las situaciones.
Pueden descargar un pdf con toda la información que aparece aquí, desde la plataforma con el nombre:
"SitAp_CyR".
Les esperamos en el
FORO 2: Situación de Aprendizaje
1. Digitalicen (fotografía o escaneo) las estrategias que realizaron.
2. Suban sus archivos, para compartirlos, en el Foro 2 .
Para determinar la expresión algebraica que caracteriza el llenado de cada recipiente se recurre a la expresión . El cálculo de la pendiente se hace a través de para cualquier par de valores de la tabla.

Por ejemplo en el recipiente 1,

después de sustituye en la expresión, obteniendo lo siguiente:

Antes de ver las estrategias propuestas, piensa en las propias.
a. Determinen la media aritmética ...
b. Determinen la mediana ...
c. Examen con mayor calificación
El examen donde el estudiante A obtuvo la mayor calificación fue en el cuarto examen.

El estudiante B y C obtuvieron la mayor calificación en los últimos tres exámenes.
d. Determinación de la moda...
Para el estudiante A, el registro de notas es
multimodal
pues dos es la frecuencia de la calificación 4, 6 y 8. Para el estudiante B, la moda es 10 pues es la mayor cantidad de frecuencias que se repite. Y por último para el estudiante C la moda corresponde a 1 pues es el número de frecuencias que más se repite dicha nota.
e. Representatividad de las medidas de tendencia central
Tenemos la siguiente información proporcionada por los gráficos estadísticos dados:
Estrategia 1. Uso de la fórmula
Sumar la cantidad total de notas de exámenes y dividir por siete el número de exámenes. Por ejemplo, el estudiante A: 4+6+8+10+8+6+4=46. Este valor se divide por la cantidad total de exámenes que serían 7, así el promedio corresponde aproximadamente a 6.57
Estrategia 2: Reorganización geométrica para aproximar el promedio
Realizar un equilibrio de los datos desde la gráfica estadística, esto es, compensar los valores máximos con los valores mínimos. Observe las siguientes gráficas:
Gráfica 4. Notas del estudiante A niveladas a un mismo valor
Gráfica 6. Notas del estudiante C niveladas a un mismo valor
Gráfica 5. Notas del estudiante B niveladas a un mismo valor
Estrategia 1:
Determinar la mediana con el reordenamiento de DATOS
Ordenar los datos y determinar el valor central:

Estudiante A: 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10; el valor de la mediana es 6.
Estudiante B: 0, 0, 5, 7, 10, 10, 10; el valor de la mediana es 7.
Estudiante C: 1, 1, 1, 1, 10, 10, 10; el valor de la mediana es 1.
Estrategia 2:
Determinar la mediana con el reordenamiento de las BARRAS
Desde la gráfica estadística de las notas de los estudiantes, ubicar la barra de tal forma que queden tres barras con la altura menor igual a esta y otras tres barras con la altura menor o igual a esta. Ver las siguientes gráficas:
Estrategia 1.
Estrategia 1.
A continuación, se presentarán dos estrategias, la primera estrategia viene acompañada del equilibrio expresado como el valor justo, por lo que considera al promedio como la media de tendencia central que mejor representa al conjunto de datos y por último una segunda estrategia que se aleja de lo justo para tomar una decisión de acuerdo a la estrategia utilizada.
Son dos estrategias distintas con soluciones distintas
, pues cada una usa argumentos diferentes para sustentar su resultado.
Estrategia 1.
Representatividad de las medidas de tendencia central desde lo justo como equilibrio
Tanto para cada uno de los estudiantes, el promedio es el valor que mejor representa a todas las notas, por el hecho de pensar en un reparto equitativo entre los siete exámenes.
Estrategia 2.
Representatividad de las medidas de tendencia central desde la variabilidad
Se podría estudiar la variabilidad de cada
medida de tendencia central
con el resto de las notas. Para introducir esta idea, la variabilidad se mide a partir de la suma de las diferencias absolutas entre cada una de las notas con la medida de tendencia central. La medida de tendencia central que tenga el valor mínimo de esa suma será un mejor representante. Analicemos con este argumento cada caso.
Estudiante A
Por lo tanto, con base al argumento anterior se podría decir que la medida de tendencia central con mayor representatividad corresponde a la mediana con un valor de 6, por obtener la mínima suma de esas diferencias.
Estudiante C
Por lo tanto, con base al argumento anterior se podría decir que la medida de tendencia central con mayor representatividad corresponde a la mediana y a la moda con un valor de 1, por obtener la mínima suma de esas diferencias.
Estudiante B
Por lo tanto, con base al argumento anterior se podría decir que la medida de tendencia central con mayor representatividad corresponde a la mediana con un valor de 7, por obtener la mínima suma de esas diferencias.
Otra estrategia para encontrar la altura que tendrá el líquido al segundo 13 consiste en completar sus valores hasta encontrar el valor deseado. Para ello, requiere de la identificación de cuál es la variación ( incremento o decremento) entre estados, para ambos recipientes la variación es de 4.5; la tabla quedaría de la siguiente manera:
Gráfica 7. Mediana de las notas del estudiante A
Gráfica 8. Mediana de las notas del estudiante B
Gráfica 9. Mediana de las notas del estudiante C
¿Usaron alguna estrategia distinta? ¿Hay otras estrategias?
Pensar en distintas estrategias nos ayudará a reflexionar en las distintas rutas del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
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