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Deber de Matemáticas

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Adolfo Enrique Jara Troya

on 1 June 2014

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Transcript of Deber de Matemáticas

Deber de Matemáticas
Grupo Integrado por:
Jara Troya Adolfo Enrique
Centeno Amaguaya Kevin Josue
Jaramillo Karen
Rosado Prado Emerson Steven
Lógica de Proposiciones
La estrecha relación existente entre la matemática moderna y la lógica formal es una de sus características fundamentales. La lógica aristotélica era insuficiente para la creación matemática ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extraños en aquella.
En esta primera lección de lógica estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna lógica formal: la lógica de enunciados o de proposiciones.
1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad
En el desarrollo de cualquier teoria matematica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.
1.1.1 Proposición
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmacion que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel Garcia Marquez escribio Cien años de soledad.
(b) 6 es un numero primo.
(c) 3+2=6
(d) 1 es un numero entero, pero 2 no lo es.

Nota 1.1
Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q,r . . . . . . La notación p :Tres mas cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres mas cuatro es igual a siete”.
Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.
Ejemplo 1.2 Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y > 5
(b) ¿Te vas?
(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.
(d) x = 2

Solución:
En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que seria verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones.
Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.
1.1.2 Valor de Verdad
Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.
Ejemplo 1.3

Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.

(a) p: Existe Premio Nobel de informática.
(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.
(d) s: Cinco mas siete es grande.

Solución
(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.
(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.
(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.
(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas mas siete niños es un numero grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco céntimos mas siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero
grande.
1.1.3 Proposición Compuesta
Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposición P, diremos que P la es una proposición compuesta de p1, p2, . . . , pn.
Ejemplo 1.4

“La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor”
es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”.

“El es inteligente o estudia todos los días”
es una proposición compuesta por dos proposiciones: “El es inteligente” y “El estudia todos los dıas”.

Nota 1.2 La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad esta completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.
1.1.4 Variables de Enunciado
Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa.
En el calculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L.Wittgenstein.
1.1.5 Tablas de Verdad
La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo 1.5 Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y
p3, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.
1.2 Conexión entre Proposiciones
Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.
1.2.1 Conjunción
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ^ q. Esta proposición sera verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.
Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ^ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ^ q es falsa. Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por
Obsérvese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p ^ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p ^ q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.
1.2.2 Disyuncion
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p v q. Esta proposición ser´a verdadera si al menos una de las dos p o q lo es.
De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p o q, es verdad entonces pvq es verdad y que p v q sera falsa, únicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad sera, por tanto,
Al igual que en la conjunción, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si p_q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p _ q es falsa, entonces ambas han de ser falsas.
La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se utiliza en el sentido de “p o q, o ambos”, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p o q, pero no ambos” es decir, ocurre exactamente una de de las dos alternativas.
Por ejemplo, la proposición “El ira a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ultimo sentido. A este tipo de disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.
1.2.3 Disyunción Exclusiva
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyuncion exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p o q pero no ambos” y la notaremos p Y q. Esta proposición sera verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.
Según esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q sera verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto,
Haciendo el razonamiento contrario si p Y q es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si p Y q es falsa, solo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad.

Nota 1.3
Salvo que especifiquemos lo contrario, “o” sera usado en el primero de los sentidos. Esta discusión pone de manifiesto la precisión que ganamos con el lenguaje simbólico: p v q esta definida por su tabla de verdad y siempre significa p y/o q.
1.2.4 Negacion
Dada una proposicion cualquiera, p, llamaremos “negacion de p” a la proposicion “no p” y la notaremos ¬p. Sera verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.
La tabla de verdad de esta nueva proposición, ¬p, es:
De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original.
Ejemplo 1.6
Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

p1: El Pentium es un microprocesador.
p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.
p3: El Pentium no es un microprocesador.
p4: 2 + 2 = 5
p5: Es falso que 2 + 2 = 5
p6: 2 + 2 = 4

Solución:
X p2 y p3 son, cada una, la negación de p1.
X p5 y p6 son, cada una, la negación de p4.
Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación, tendremos:
X p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.
X p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.
Ejemplo 1.7 Construir la tabla de verdad de la proposición ¬(p ^ ¬q).
Solucion
Existen proposiciones que son verdaderas (falsas) simplemente por su forma lógica y no por su contenido.
1.2.5 Tautologías y Contradicciones
Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn
P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn.
P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn.
En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología.
Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.
Ejemplo 1.8
Probar que la proposición compuesta p v ¬p es una tautología y la p ^ ¬p es una contradicción.

Solución

En efecto:
Obsérvese que p v ¬p es verdad, independientemente de quienes sean las variables de enunciado, p y ¬p y lo mismo ocurre con la falsedad de p ^ ¬p.
1.2.6 Proposicion Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta
“si p, entonces q”
se le llama “proposición condicional” y se nota por
p q
A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q" tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera).
De acuerdo con esta definición su tabla de verdad es,
Obsérvese que si p q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.
Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p q son:
“p solo si q”.
“q si p”.
“p es una condición suficiente para q”.
“q es una condición necesaria para p”.
“q se sigue de p”.
“q a condición de p”.
“q es una consecuencia lógica de p” .
“q cuando p”.
Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad.

1. Antecedente y consecuente verdaderos.

En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se evalué como verdadero. Por ejemplo,
“Si como mucho, entonces engordo”
es una sentencia que se evalúa como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el consecuente sean verdaderos.
Ahora bien, obsérvese que ha de evaluarse también como verdadero un condicional en el que no exista una relación de causa entre el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, el condicional
“Si Garcıa Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matemático”
ha de evaluarse como verdadero y no existe relación causal entre el antecedente y el consecuente.
Es por esta razón que no hay que confundir el condicional con la implicación lógica.
“Garcıa Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matemático”
Es una implicación falsa desde el punto de vista lógico. Mas adelante estudiaremos la implicación lógica.
2. Antecedente verdadero y consecuente falso.

En este caso parece natural decir que el condicional se evalúa como falso. Por ejemplo, supongamos
que un político aspirante a Presidente del Gobierno promete:
“Si gano las elecciones, entonces bajar´e los impuestos”
Este condicional ser´a falso solo si ganando las elecciones, el político no baja los impuestos. A nadie
se le ocurriría reprochar al político que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones.
Obsérvese que el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falso viene, en realidad, a refutar la sentencia p q, es decir la hace falsa
3. Antecedente falso y consecuente verdadero.

Nuestro sentido común nos indica que el condicional p q no es, en este caso, ni verdadero ni falso. Parece ilógico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condición expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve, estamos en lógica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa.
Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto, como dijimos anteriormente, p q es lo mismo que afirmar que

“p es una condición suficiente para q”

es decir, p no es la única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por ejemplo,

“Si estudio mucho, entonces me canso”

¿Que p es una condición suficiente para q”
es decir, p no es la única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por ejemplo,

“Si estudio mucho, entonces me canso”

¿Que ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería invalida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.e ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería invalida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.
4. Antecedente y consecuente falsos.

La situación es parecida a la anterior. La condición p no se verifica, es decir, es falsa, por lo que el consecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el condicional, al no ser falso, ser´a verdadero.
Obsérvese, anecdóticamente, que es muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial, cuando se quiere señalar que, ante un dislate, cualquier otro esta justificado.

“Si tu eres programador, entonces yo soy el dueño de Microsoft”
Ejemplo 1.9

Sean p, q y r las proposiciones
“El numero N es par”,
“La salida va a la pantalla” y
“Los resultados se dirigen a la impresora”, respectivamente.
Enunciar las formulaciones equivalentes de
las siguientes proposiciones.
(a) q p.
(b) ¬q r.
(c) r (p v q).
Solución

(a) q p.

− Si la salida va a la pantalla, entonces el numero N es par.
− La salida ira a la pantalla, solo si el numero N es par.
− El numero N es par si la salida va a la pantalla.
− Una condición suficiente para que el numero N sea par es que la salida vaya a la pantalla.
− Una condición necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el numero N sea par.
(b) ¬q r.

− Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora.
− La salida no va a la pantalla solo si los resultados se dirigen a la impresora.
− Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla.
− Una condición suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no vaya a la pantalla.
− Una condición necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora.
(c) r (p v q).

− Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el numero N es par o la salida va a la
pantalla.
− Los resultados se dirigen a la impresora solo si el numero N es par o la salida vaya a la pantalla.
− El numero N es par o la salida va a la pantalla si los resultados se dirigen a la impresora.
− Una condición suficiente para que el numero N sea par o la salida vaya a la pantalla es que
los resultados se dirijan a la impresora.
− Una condición necesaria para que los resultados se dirijan a la impresora es que el numero N sea par o que la salida vaya a la pantalla.
Ejemplo 1.10 Sean las proposiciones

p : Esta nevando.
q : Iré a la ciudad.
r : Tengo tiempo.

(a) Escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las afirmaciones
siguientes:

(a.1) Si no esta nevando y tengo tiempo, entonces iré a la ciudad.
(a.2) Iré a la ciudad solo si tengo tiempo.
(a.3) No esta nevando.
(a.4) Esta nevando, y no ir´e a la ciudad.

(b) Enunciar las afirmaciones que se corresponden con cada una de las proposiciones siguientes:

(b.1) q (r ^ ¬p)
(b.2) r ^ q
(b.3) (q r) ^ (r q)
(b.4) ¬(r v q)
Solución

(a) Escribimos en forma simbólica las afirmaciones propuestas.
(a.1) (¬p ^ r) q
(a.2) q r
(a.3) ¬p
(a.4) p ^ ¬q

(b) Escribimos en forma de afirmaciones las proposiciones.
(b.1) Iré a la ciudad si, y solo si tengo tiempo y no esta nevando.
(b.2) Tengo tiempo e iré a la ciudad.
(b.3) Iré a la ciudad si y solo si tengo tiempo.
(b.4) Ni tengo tiempo, ni iré a la ciudad.
1.2.7 Proposición Reciproca
Dada la proposición condicional p q, su reciproca es la proposición, también condicional, q p.
Por ejemplo, la reciproca de “Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora” sera “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla”.
1.2.8 Proposición Contrarrecíproca
Dada la proposición condicional p q, su contrarrecıproca es la proposición, también condicional,
¬q ¬p.
Por ejemplo, la contrarrecıproca de la proposición “Si María estudia mucho, entonces es buena estudiante”
es “Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”.
Ejemplo 1.11
Escribir la reciproca y la contrarrecıproca de cada una de las afirmaciones siguientes:

(a) Si llueve, no voy.
(b) Me quedare, solo si tu te vas.
(c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.
(d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.
Solución

Escribiremos la reciproca y la contrarrecıproca de varias formas.

(a) Si llueve, no voy.
Reciproca.
− Si no voy, entonces llueve.
− Llueve si no voy.
− Una condicion necesaria para no ir es que llueva.
− Una condicion suficiente para que llueva es no ir.
Contrarrecıproca.
− Si voy, entonces no llueve.
− Voy solo si no llueve.
− Es necesario que no llueva, para que vaya.
− Es suficiente que vaya para que no llueva.
(b) Me quedare solo si te vas.

Recıproca.
− Si te vas, entonces me quedare.
− Me quedare, si te vas.
− Una condición necesaria para que te vayas, es quedarme.
− Una condición suficiente para quedarme es que te vayas.
Contrarrecıproca.
− Si no te vas, entonces no me quedare.
− No me quedare si no te vas.
− Es suficiente que no te vayas, para no quedarme.
(c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

Recıproca.
− Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas.
Contrarrecıproca.
− Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas.
− Puedo completar la respuesta solo si me ayudas.
− Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta.
1.2.9 Proposición bicondicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

“p si y solo si q”

se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p q
La interpretación del enunciado es:
p solo si q y p si q
o lo que es igual
si p, entonces q y si q, entonces p
es decir,
(p q) ^ (q p)
Por tanto, su tabla de verdad es:
Luego la proposición bicondicional p q es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones, p y q, tengan los mismos valores de verdad.
Nota 1.4
Obsérvese que la proposición condicional p q, se enunciaba

Si p, entonces q

siendo una formulación equivalente,

Una condición necesaria para p es q

y la proposición condicional q p, se enunciaba

Si q, entonces p

siendo una formulación equivalente,

Una condición suficiente para p es q

Por tanto, una formulación equivalente de la proposición bicondicional en estos términos, sería:

Una condición necesaria y suficiente para p es q
Ejemplo 1.12
Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triangulo T siendo c la longitud mayor.

El enunciado
T es rectángulo si, y solo si
a2 + b2 = c2
puede expresarse simbólicamente como
p q
donde p es la proposición “T es rectángulo” y q la proposición
“a2 + b2 = c2”.
Observemos lo siguiente:
La proposición anterior afirma dos cosas

1. Si T es rectángulo, entonces
a2 + b2 = c2
o también,
Una condición necesaria para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2

2. Si a2 + b2 = c2, entonces T es rectangulo

o también,
Una condición suficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2

Consecuentemente, una forma alternativa de formular la proposición dada es
Una condición necesaria y suficiente para que T sea rectángulo es que
a2 + b2 = c2
Nota 1.5
Los valores de verdad de una proposición compuesta, pueden determinarse a menudo, construyendo una tabla de verdad abreviada. Por ejemplo, si queremos probar que una proposición es una contingencia, es suficiente con que consideremos dos líneas de su tabla de verdad, una que haga que la proposición sea verdad y otra que la haga falsa. Para determinar si una proposición es una tautología, bastaría considerar, únicamente, aquellas líneas para las cuales la proposición pueda ser falsa.
Ejemplo 1.13
Consideremos el problema de determinar si la proposición (p^q) p es una tautología.
Solución
Construimos su tabla de verdad.
Luego, en efecto, (p ^ q) p es una tautología.
Observemos ahora lo siguiente: Una proposición condicional solo puede ser falsa en caso de que siendo la hipótesis verdadera, la conclusión sea falsa, por tanto si queremos ver si (p ^ q) p es una tautología, bastaría comprobar los casos en que p ^q sea verdad, ya que si es falsa, entonces (p ^q) −! p es verdad, consecuentemente una tabla de verdad abreviada para este ejercicio sería:
Ejemplo 1.14
Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o contradicciones.
(a) (p q) ^ (q p)
(b) [p ^ (q v r)] [(p ^ q) v (p ^ r)]
(c) (p v ¬q) q
(d) p (p v q)
(e) (p ^ q) p
(f) [(p ^ q) p] (p q)
(g) [(p q) v (r s)] [(p v r) (q v s)]
Solución
(a) (p q) ^ (q p)
Luego es una contingencia.
(b) [p ^ (q v r)] [(p ^ q) v (p ^ r)]
Haremos una tabla de verdad abreviada. La proposición condicional solo es falsa cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa. Ahora bien, la hipótesis es verdad cuando lo sean, a un tiempo, p y q v r y esta es verdad si, al menos, una de las dos q o r lo es, entonces
Por tanto, la proposición es una tautología.
(c) (pv ¬q) q
luego la proposición es una contingencia.
(d) p (p v q)
Esta proposición sera falsa únicamente cuando siendo verdad p, p v q sea falsa, pero si p es verdad, entonces p v q es verdad independientemente del valor de verdad de q, luego una tabla de verdad abreviada sera
y la proposición es una tautología.
(e) (p ^ q) p
Haremos una tabla de verdad abreviada. la proposición condicional, únicamente, es falsa cuando siendo p ^ q verdad, la conclusión p es falsa, pero p ^ q es verdad, únicamente, cuando ambas, p y q, lo son, luego,
es decir, la proposición es una tautología.
(f) [(p ^ q) p] (p q)
luego la proposición es una contingencia.
(g) [(p q) v (r s)] [(p v r) (q v s)]
La proposición condicional únicamente es falsa cuando siendo verdad la hipótesis es falsa la conclusión. Por el mismo argumento (p v r) (q v s) es falsa cuando siendo p v r verdad sea q v s sea falsa, y esta es falsa cuando ambas, q y s, lo son.
Ahora bien, para que la conclusión (p v r) (q v s) sea falsa, y utilizando el mismo argumento, p v r ha de ser verdad y q v s falsa, luego p y r han de ser una de las dos, al menos, verdad mientras q y s han de ser, las dos, falsas.
Haremos, pues, una tabla de verdad abreviada que recoja únicamente estos casos.
y, consecuentemente, la proposición es una contingencia.
FIN
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