The Internet belongs to everyone. Let’s keep it that way.

Protect Net Neutrality

Present Remotely

Send the link below via email or IM

• Invited audience members will follow you as you navigate and present
• People invited to a presentation do not need a Prezi account
• This link expires 10 minutes after you close the presentation

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

Math

No description
by

Marin Ana

on 13 June 2013

Report abuse

Transcript of Math

Aranjamente
Marin Ana Maria
Mihalache Alexandru
Pavel Eusebiu Andrei

Generalizare
Definitie
Numarul de aranjamente de n elemente
luate cate k , 0≤k≤n, k,n apartine N , n≥1
este egal cu = n(n-1)(n-2). . .(n-k+1).
Numarul se poate exprima, cu ajutorul
factorialelor, astfel:

Teorema
Proprietati
Probleme rezolvate
4. Numarul de functii injective si bijective
Probleme propuse
1. Calculati:
2. Rezolvati:
3. Rezolvati sistemul:
Se numeste aranjament de n elemente
luate cate k orice submultime ordonata
alcatuita din k elemente ale unei multimii A cu
n elemente. Numarul acestor submultimi se noteaza si se citeste aranjamente de n luate cate k.
O functie injectiva f:{1,2,..,k}→ A ,0<k≤n, n,k
apartine ℕ, se numeste aranjament de n
elemente luate cate k.

Ne propunem sa determinam numarul de aplicatii injective f : A → B, unde |A|= m,
|B|= n, m≤ n. Cum se stie, pentru o functie injectiva la argumente diferite a[i] ≠ a[j] rezulta imagini diferite f(a[i]) ≠ f(a[j]). Deci unei functii injective ii corespunde o multime ordonata a lui B, (f(a1), f(a2), ..., f(am)), adica un aranjament de n elemente luate cate m. Reciproc, fiecarui aranjament de n elemente luate cate m ii corespunde o unica aplicatie injectiva f : A → B. Deci se poate stabili o corespondenta bijectiva intre multimea aplicatiilor injective f : A → B si multimea aranjamentelor de n luate cate m. Prin urmare cele doua multimi au acelasi numar de elemente:
In caz particular f : A → B cu |A| = |B|= n, atunci orice aplicatie injectiva este bijectiva si deci numarul de aplicatii bijective la o multime cu n elemente la alta cu n elemente este egal cu
Au loc urmatoarele relatii de recurenta:
a)

b)

c)

d)
Scurt istoric
Aplicatii practice
Ostomachion este un joc logic cu tăiaturi, a
carui descriere lui a fost găsită într-o formă mult
mai completă în Manuscrisul lui Arhimede. Arhimede a calculat ariile a 14 piese care pot fi asamblate sub formă de pătrat, incercand sa determine in cate feluri pot fi asamblate piesele. Cercetările publicate de Dr. Reviel Netz de la Universitatea Stanford în 2003 arata ca acesta
a calculat că piesele pot fi asamblate sub
formă de pătrat în 17152 feluri.Numărul de aranjamente este de numai 536 de feluri atunci când sunt eliminate soluțiile echivalente, adică cele datorate rotației și reflexiei.

Ostomachion este un joc logic
din Manuscrisul lui Arhimede.
Demonstratie

Fie A={a1, a2,...,an}. Ne propunem sa numaram cate submultimi ordonate cu cate k elemente are A. Pe cele k pozitii ale unei astfel de multim asezam elementele din A, astfel:
Pentru prima pozitie avem n posibilitati (adica oricare dintre elementele lui A). Pentru a doua pozitie avem n-1 posibilitati (adica oricare dintre elementele lui A mai putin cel de pe prima pozitie). Pe cea de-a k-a pozitie avem (n-k) posibilitati (adica oricare din A mai putin cele n-k+1 folosite anterior). Din principiul produsului avem:
n(n-1)....(n-k+1) =>

1. Un fiset se poate deschide cu ajutorul unui cifru format din 4 numere (de la 0 la 9) distincte doua cate doua – cifrul putand incepe si cu 0.
Presupunand ca nu cunoastem cifrul, cate incercari trebuie sa facem pentru a deschide fisetul?
Rezolvare:
Cifrul este un aranjament de ordin 4 (elemente) din multimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} si deci numarul posibil de cifruri este = = 7*8*9*10=5040
2. La o serată dansantă sunt 7 fete și 8 băieți. În câte moduri se pot forma patru perechi formate dintr-o fată și un băiat?
Problema poate fi gândită în sensul că pentru a forma patru perechi trebuie să alegem din cele şapte fete o grupare de patru fete ( deci C74 ). De asemenea pentru cele patru fete avem nevoie de patru băieţi, cum însă perechile se pot forma aleatoriu, este suficient să luăm băieţii dar să-i şi arănjăm, deci A74 .
În consecinţă răspunsul este de: C74 A74
Rezolvare:
3. Într-o clasă sunt 18 elevi și 26 locuri disponibile. În câte moduri pot fi arănjați elevii în bancă.
Rezolvare:
Dacă gândim problema la modul concret în care fiecare elev se poate așeza într-o bancă și apoi schimba locul inclusiv cu colegii ajungem la aranjamente de 26 luate căte 18 posibilități.

{
Full transcript