Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Untitled Prezi

No description
by

Juan Perez

on 29 August 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Untitled Prezi

Funciones
Definición
Definición
- Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
x = -2
f(x) = -----
x = -1
f(x) = -----
x = 0 f(x) = 0
x = 1 f(x) = 1
x = 2 f(x) = sqrt(2)
Imagen
Dominio y recorrido
- El dominio de una función es el conjunto de elementos que tienen imagen.
- El recorrido de una función es el conjunto de elementos que son imágenes.
Dominio
x = -2
f(x) = -----
x = -1
f(x) = -----
x = 0 f(x) = 0
x = 1 f(x) = 1
x = 2 f(x) = sqrt(2)
Recorrido
Imagen
Dominios para distintas funciones
- Funciones polinómicas: Todo R.
- Funciones racionales (P(x)/Q(x)): Todo R excepto las raíces de Q(x)
- Funciones con raíces (de índice par): Solo si P(x) >= 0.
- Funciones con raíces (de índice impar): Todo R.
- Logarítmicas: Solo si P(x) > 0
- Exponenciales: Todo R.
- Trigonométricas: Seno, coseno: todo R, tangente: R - { (2k + 1)*(Pi/2) }
- Función a trozos: Depende de las funciones que la forman y de su continuidad.
- Valor absoluto = Función a trozos.

Ejemplo:
Calcula el dominio de f(x) = sqrt((x^2-1)/(x+2))
- (f+g)(x) = f(x) + g(x)
- (f-g)(x) = f(x) - g(x)
- (f*g)(x) = f(x) * g(x)
- (f/g)(x) = f(x) / g(x), siempre que g(x) sea distinto de 0
- (n*f)(x) = n * f(x)
- Composición de funciones: (g o f)(x) = g(f(x))
Propiedades suma, multiplicación
-
Asociativa
: (f+g)+h = f+(g+h) || (f*g)*h = f*(g*h)
-
Conmutativa
: f+g = g+f || f*g = g*f
-
Elemento neutro
: f0(x) = 0 || f1(x) = 1
-
Inverso
: -f(x) || 1/f(x)
(si f(x) es distinto de 0)
-
Distributiva
: f * (g + h) = f*g + f*h
Propiedades número por función
- n * (f + g) = n*f + n*g
- (n+m)*f = n*f + m*f
- (n*m)*f = n*(m*f)
-
Neutro
: 1*f = f
-
NO es conmutativa
-
Asociativa
-
Función identidad
: I (f(x) = x) (f o I) = (I o f) = f
-
Si es biyectiva, tiene inversa:
(f o g) = (g o f) = I
Propiedades composición
Operaciones con funciones
(Fácil) Cual es el dominio de las siguientes funciones?








(Fácil) Cual es el dominio de las siguientes funciones?
Ejercicios
(Fácil) Dadas las funciones:

Calcula:
a)
(g o f)
b)
(f o g)
c)
(h o f o g)
d)
inv(h)
e)
inv(g)
f)
inv(f)
g)
(f o inv(f))

Ejercicios
Continuidad
- La discontinuidad se reduce a un punto, que puede o no existir o estar desplazado hacia arriba o hacia abajo.


- Los dos lados discontinuos están situados en puntos finitos diferentes.


- Uno de los lados tiende a infinito (o menos infinito) y el otro a un punto finito.


- Ambos lados tienden a infinito (positivo o negativo).


- No existe ni el límite de la función ni el de los laterales
Tipos de discontinuidad
Evitable
Salto finito
Salto infinito
Tendencia infinita
Discontinuidad esencial
- Una función es continua en un punto x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. El punto a pertenece al dominio.
2. Existe el límite de la función en el punto a. El límite a la izquierda y a la derecha deben ser iguales.
3. El valor de f(a) coincide con el de los límites a izquierda y derecha.

- Si alguna de las 3 condiciones no se cumple, se dice que f(x) es discontinua en a.

- Para las funciones simples la discontinuidad se dará en puntos que no pertenezcan al dominio, para las funciones a trozos además habrá que comprobar los puntos donde la función pasa de una rama a otra
Función continua en un punto x=a
- El tipo de discontinuidad vendrá dado por los límites a la izquierda y a la derecha y f(a)
- Para calcular el límite de una función en un punto se calculan los límites laterales en ese punto, a la izquierda y a la derecha. Si los dos son iguales, se dice que la función tiene límite en ese punto.

- Los puntos interesantes para calcular los límites son aquellos puntos que no existen en el dominio, por ejemplo aquellos que anulan el denominador en una función racional.

- Para calcular el límite por la izquierda damos un número muy próximo al punto, pero menor (si el punto es 1, cogemos el 0.999), si el límite es por la derecha damos un número muy próximo y mayor que el punto (si es 1, cogemos el 1.001) y aproximamos el resultado (como si hubiéramos utilizado el punto 1). Si el resultado es infinito (o diferente de 0), deberemos tener en cuenta el signo.

- También existe el límite para cuando x valga infinito (o menos infinito) en este caso no para estudiar la continuidad, sino las asíntotas horizontales.
Cálculo de límites
Cálculo de límites para funciones a trozos
- Para estudiar la continuidad en una función a trozos deberemos estudiar la continuidad en cada una de las ramas en si y, posteriormente, la continuidad en los puntos donde la función cambia de rama:

Calcular la continuidad de:
Cálculo de límites para cociente de polinomios
- Para estudiar la continuidad en una función de cociente de polinomios tenemos que estudiar los puntos en los que se anula el denominador (las raíces del polinomio) ya que en esos puntos la función será discontinua.

- Podemos estudiar los límites en esos puntos para saber hacia donde va la función (infinito positivo o negativo, o un número no infinito). En caso de que el numerador también se anule en un punto donde el denominador se anula (la fracción será 0/0) tendremos que simplificar la función hasta que encontremos una fracción con la que obtengamos algo distinto a 0/0 ó utilizar la regla de L' Hopital.

Calcula la continuidad y el límite en los puntos de discontinuidad de:
Ejercicios
(Fácil) Calcula la continuidad y los límites de:
- El límite en ciertas funciones y en puntos concretos suele resultar valores extraños o no calculables. Por ejemplo, en algunas funciones polinómicas suele pasar que al calcular el límite obtengamos un valor 0/0, que no sabemos si es infinito, finito o 0. Existen varias indeterminaciones:
-
0/0
: Simplificar la función o racionalizar, si hay raíces.
-
infinito/infinito
: Mirar el mayor grado. Si está en el numerador es infinito, si está en el denominador, es 0. Si numerador y denominador tienen el mismo grado, es a/b donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b el del denominador.
-
0 * infinito
: Se transforma a inf/inf ó 0/0 => f(x)*g(x) = f(x)/(1/g(x))
-
infinito - infinito
: Si son polinomios, comprobar el mayor grado (el signo será el de mayor grado, el resultado será infinito). Si son racionales, se hace mínimo común múltiplo y se suman. Si son raíces, se multiplica por el conjugado (si son suma de raíces, se multiplica por resta/resta, si es resta, por suma/suma).
-
0^0
-
infinito^0
-
1^infinito
: Si la función se puede expresar como: (f(x)/g(x))^h(x) se puede transformar en:
e^lim[h(x)*(f(x)/g(x) - 1)].

- En algunos casos es posible utilizar la regla de L'Hôpital.
Indeterminaciones
- Sean f y g dos funciones derivables en (a,b) y tal que g' no se anula en (a,b)-{c}. Si lim[x->c] f = lim[x->c] g, entonces se cumple lim[x->c] f/g = lim[x->c]f'/g'

- O en cristiano, es posible realizar la derivada del numerador y la derivada del denominador para intentar obtener un nuevo límite sin indeterminaciones.

- La regla de L'Hôpital se puede usar en los casos de indeterminaciones 0/0 y inf/inf (usando la transformación, también en 0*inf y con el denominador común, en inf - inf).

- Para 0^inf, 0^0 y 1^inf podemos transformar primero f(x)^g(x) en e^(lim[g(x)*ln(f(x))])
Regla de L'Hôpital
Ejercicios
(Fácil) Calcula los límites de las siguientes indeterminaciones:
Ejercicios
(Fácil) Calcula los límites de las siguientes indeterminaciones por L'Hôpital:
- Son puntos a los que la función se acerca cada vez más pero sin tocarlos. Se indican con líneas rectas discontinuas.

- Existen tres tipos:
-
Horizontales
: Si la función tiende hacia un valor finito cuando el valor de x es infinito (o menos infinito) existe una asíntota horizontal en ese punto.

-
Verticales:
Si en un punto x = a no incluido en el dominio, los límites laterales tienen una tendencia infinita (uno, o los dos, van hacia el infinito, positivo o negativo) existe una asíntota vertical en ese punto.

-
Oblicuas
: Además de verticales y horizontales, puede haber asíntotas diagonales con la fórmula y = mx + n.
Definición
Asíntotas
- Las asíntotas horizontales se calculan con los límites cuando x tiende a infinito y a menos infinito. Si en uno de ellos el límite da un resultado finito (un número no infinito k) en k hay una asíntota horizontal. Puede existir una segunda si en el otro límite da otro número finito diferente.

Ejemplo: Hallar las asíntotas horizontales de
Asíntotas horizontales
- Las asíntotas verticales se calculan en los puntos no pertenecientes al dominio. Si existe en esos puntos al menos uno de los límites laterales el cual tiende a infinito (positivo o negativo), existe la asíntota vertical.

Ejemplo: Hallar las asíntotas verticales de
Asíntotas verticales
- Las asíntotas oblicuas son asíntotas con la fórmula y = mx + n. Podemos calcular si existe la asíntota oblicua calculando el límite cuando x tiende a infinito de f(x)/x. Si el resultado del límite es un valor diferente a infinito, existe la asíntota oblicua (si el resultado es 0, la asíntota es horizontal). Podemos calcular la pendiente m y el valor n con los límites:


Ejemplo: Hallar las asíntotas oblicuas de:
Asíntotas oblicuas
- Halla las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de:
Ejercicios
Derivadas
- La derivada en un punto a se puede calcular usando el límite de la tasa de variación:




- Para calcular el valor de la derivada se sustituye a por el valor del punto y cogemos h como "incógnita". Posteriormente se calcula el límite cuando h tiende a 0.

- La derivada en un punto a también se puede interpretar geométricamente: sabiendo que la derivada corta en un punto "a" a la función, la derivada puede ser interpretada como la pendiente de la tangente de la función en ese punto:
Definición
- Dada la parábola f(x) = x^2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta y = x.
Ejercicio
(Fácil) Calcula las derivadas de las siguientes funciones en un punto "a" y confirma que la derivada es igual al límite en h->0 de la fórmula de la tasa:




(Fácil) Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² -3x -1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45º (la pendiente m es la tangente de 45º)
P = (1, -2)
Ejercicios
Una función es derivable en un punto "a" si cumple las siguientes condiciones:
1º La función es continua en a.
2º Las derivadas laterales (a la izquierda y a la derecha) son iguales. Es decir, los límites a izquierda y derecha del punto "a" en la función derivada son iguales.

Estudia la derivabilidad en la función, sabiendo que es continua en todo R:








- La derivabilidad se estudia principalmente en funciones a trozos, ya que en las simples siempre que sea continua será derivable.
Derivabilidad de una función en x=a
(Medio) Halla los valores de a para que la función sea derivable:
derivable para a = 1


(Medio) Halla los valores de a y b para que sea derivable:
derivable para a = 2 y b = -7


(Medio) Halla los valores de a y b para que sea continua
y derivable:
a = -1 y b = 0



(Medio) Halla los valores de a y b para que sea derivable:
No existen valores válidos
Ejercicios
Máximos y mínimos
- Llamamos máximos y mínimos relativos a los puntos donde la derivada de la función cambia de creciente a decreciente y de decreciente a creciente (siempre y cuando sea continua en ese punto)

- Para estudiar el crecimiento/decrecimiento de la función debemos hacer la derivada de la función y sacar las soluciones (hacer f'(x) = 0). Después estudiaremos en la recta real los intervalos en los que la función es creciente (f'(x) > 0) y decreciente (f'(x) < 0)

- Todos los máximos/mínimos son relativos, pero no todos son absolutos (puede incluso que no haya absolutos) para que sea absoluto debe ser el punto de mayor valor en la función (máximo absoluto) o de menor valor (mínimo absoluto). Si los límites infintos, son infinitos entonces no habrá máximos/mínimos absolutos.
Máximos y mínimos
(Fácil) Halla los máximos y mínimos y los intervalos crecientes y decrecientes de las funciones:
Ejercicios
- Una función es cóncava en un intervalo [a, b] si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en ese intervalo.

- Una función es convexa en un intervalo [a, b] si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en ese intervalo.

- Si f es continua y derivable en un punto a, podemos estudiar la concavidad y convexidad en los distintos intervalos haciendo la segunda derivada e igualándola a 0 (f''(x) = 0). Una vez extraídas las soluciones (puntos de inflexión), podemos estudiar en la recta real los intervalos donde es cóncava (f''(x) < 0) y convexa (f''(x) > 0). En los puntos de inflexión la función puede cambiar de cóncava a convexa y viceversa, pero no es obligatorio.
Concavidad y convexidad
Concavidad y
convexidad
(Fácil) Estudia la concavidad y convexidad de las siguientes funciones:






Ejercicios
Representación
- Para representar perfectamente una función debemos seguir los siguientes pasos:

1º Calcular el dominio de la función.

2º Calcular los cortes en los ejes X (hacer f(x) = 0) e Y (calcular f(0))

3º Asíntotas y ramas parabólicas (exponenciales o logarítmicas)

4º Máximos y mínimos (crecimiento y decrecimiento)

5º Puntos de inflexión. Concavidad y convexidad.

6º (Opcional) Dar algunos valores a x y resolver en la función para obtener puntos representativos por los que pasa la función
Representación de funciones
(Fácil) Representa fielmente las siguientes funciones:
Ejercicios
(Difícil) Determina los parámetros a,b,c,d para que
f(x) = ax³ + bx² +cx + d
tenga un punto de inflexión en P(-2,6), tangente paralela a la recta y = -8x -10 y que tome el valor -2 en x=0 y represéntala

(Difícil) Determina c para que el mínimo de la función
y = x² +2x + c
sea 8 y represéntala

(Difícil) Determina los parámetros a,b,c,d de
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
que tenga un punto crítico en P(1,3) y un punto de inflexión y una tangente paralela a y=2x en el origen (0,0) y represéntala
Ejercicios para pensar
Teniendo en cuenta:
1.
f pasa por (x,y)
-> f(x) = y
2.
f toma un valor k en x=a
-> f(a) = k
3.
La tangente a la gráfica es paralela en un punto a
-> f'(a) = m (m de la recta dada)
4.
f tiene un extremo relativo/punto crítico (máximo o mínimo) en x=a
-> f'(a) = 0
7.
El mínimo o máximo es igual a k
-> f'(a) = 0 y f(a) = k
5.
f tiene un punto de inflexión en un punto a
-> f''(a) = 0
6.
f tiene un extremo relativo o punto de inflexión en (a, b)
-> f'(a) = 0 ó f''(a) = 0 ..... y f(a) = b
Full transcript