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CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

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Joseph Ch Ramos

on 11 November 2016

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Transcript of CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

FLEXIBILIDAD: alargamiento o giro producido por una fuerza o par unidad.
GRADO DE LIBERTAD: es un posible movimiento de un nudo en una estructura.
PORTICO: Un pórtico es un espacio arquitectónico conformado por una galería de columnas adosada a un edificio, abierta al aire libre, y situado generalmente ante su acceso principal.
RIGIDEZ: fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario.
VIGA: En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.

GLOSARIO
La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras. Por este motivo en el presente trabajo se presenta esta temática.

Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, a saber: la primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales y la tercera mediante la eliminación de Gauss.

INTRODUCCIÓN
GENERAL:

Realizar el estudio de la condensación de la matriz de rigidez para su debida interpretación, análisis y aplicación en el análisis sísmico de estructuras.

ESPECÍFICOS:

Plantear teoría de cómo calcular paso a paso estructuras mediante el método de la condensación de la matriz.

Aplicar la teoría especificada al cálculo de ejercicios paso a paso.

OBJETIVOS
En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es constante y lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura, como se ha visto en los capítulos anteriores.
a) Matriz de rigidez para análisis lineal
La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal, razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de coordenadas locales de la figura 16.1, la matriz de rigidez es la siguiente.
Encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección constante de 30 cm. de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7 m. Por otra parte, considerar E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2.
Ejemplo:
CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
MARCO TEORICO
I. Análisis sin nudo rígido

En la figura se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.












Para el elemento horizontal indicado en la figura 16.1, se tiene que el sistema de coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales.

Por otra parte, se recuerda que las estructuras se resuelven en coordenadas globales.
La forma de la matriz de rigidez, indicada (16.1) es válida para elementos de sección constante o de variable. Para elementos de sección constante, se tiene:
Para un elemento vertical, en la siguiente figura se indica el sistema de coordenados globales para el caso de que el elemento sea totalmente flexible
La matriz de rigidez del elemento vertical, en coordenadas globales es la siguiente
Los términos restantes de la matriz de rigidez, fueron indicados en ecuaciones anteriores.
b) Condensación de la matriz de rigidez
En la figura 16.7, se presenta nuevamente la estructura que se ha venido analizando y cuyos grados de libertad se indicaron en la figura 16.6.

A la izquierda se indican todos los grados de libertad y a la derecha se indica únicamente la coordenada a la cual se va a condensar la matriz de rigidez.

En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de coordenadas a las que se denomina ``coordenadas a'', que en el ejemplo de la figura 16.7 es la uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''.

Al hacer esto, tanto el vector de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q , están particionados de la siguiente forma:

Al reemplazar A y B en C y al trabajar con submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa y Qb son ceros, los dos casos se desarrollan a continuación:
Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.
Condensación a las coordenadas "a"

De donde:
Luego:
Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".
Condensación a las coordenadas "b"
Se presenta cuando el vector de cargas Qa= 0. Procediendo en forma similar se obtiene:
Sea K + la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b".
Condensación mediante solución de ecuaciones
El trabajar con la ecuación D o con la ecuación E implica calcular una matriz inversa, lo cual demanda bastante tiempo de cálculo, razón por la cual lo que se hace en la práctica, es transformar el cálculo de la matriz inversa por un sistema de ecuaciones lineales, como se ve a continuación.
Caso en que Qb = 0
En la ecuación F se realiza, se define la matriz T de la siguiente manera:
Al multiplicar ambos lados de la ecuación J por Kbb se obtiene
Para encontrar la matriz T, se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya matriz de coeficientes es la submatriz Kbb y los términos independientes son las diferentes columnas de la submatriz Kba Con el cambio de variable realizado, la ecuación D se transforma en:

Encontrar la matriz de rigidez condensada considerando nudos rígidos, todos los elementos son de 30 x 30 por intermedio de la matriz T. considerar E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2.

EJEMPLO

Al sustituir las submatrices, del ejemplo anterior en la formula:

SOLUCIÓN
Se obtiene:

La solución del sistema de ecuaciones lineales, reporta
Caso en que Qa= 0
Se procede en forma similar al indicado en el apartado E, con lo que se obtiene:
Condensación mediante eliminación de Gauss
Es válido únicamente para el caso de que Qa= 0.
De donde:
Si a la ecuación P multiplicamos por Kaa, y en ésta se reemplaza la ecuación M se obtiene:
Ahora, si a la ecuación R multiplicamos por -Kba y sumamos a la ecuación Q, se encuentra:
De acuerdo a N, la ecuación entre paréntesis es la matriz de rigidez condensada K+.
Al rescribir en forma matricial las ecuaciones R y T se halla.
Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se obtienen son las matrices T y K*
EJEMPLO:
Encontrar la matriz de rigidez condensada, de la estructura que se ha venido analizando, pero aplicando la eliminación de Gauss.
-Primero se debe encontrar la matriz de rigidez de la estructura, para la nueva numeración de los grados de libertad
Al triangularizar la matriz de rigidez, se obtiene:
Solución
Finalmente, al llevar a la forma de la ecuación U, se encuentra:
Los valores de las cuatro primeras filas de la quinta columna, corresponden a la matriz -T, la diferencia que existe es debido al redondeo. El último valor es la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral, de la estructura analizada.
Matriz de rigidez lateral
Se define matriz de rigidez lateral, KL a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso.
En la figura 16.9, se indican los dos modelos anotados, para un pórtico plano de dos pisos y dos vanos. El modelo de la izquierda, corresponde a la primera forma de cálculo y el de la derecha a la segunda forma de cálculo.
Vigas axialmente rígidas y columnas totalmente flexibles
Para este modelo de cálculo, las matrices de rigidez de los elementos: viga y columna, orientados al análisis en el computador, se indicó en el apartado 16.1, razón por la cual se omite el marco teórico y únicamente se presenta un ejemplo de cálculo.
Ejemplo:
Para el pórtico plano indicado en la figura 16.10, cuyas vigas son de 30/30 y las columnas de 30/40. Se desea encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que solo las vigas son axialmente rígidas. A la derecha de la figura 16.10, se indica la numeración de los elementos. Por otra parte, el módulo de elasticidad E = 2173706.5 T/m2 y no se considera nudos rígidos.
En la figura 16.11, se indica a la izquierda los grados de libertad del pórtico de la figura 16.10, al considerar que solo las vigas son axialmente rígidas. Se ha numerado primero los corrimientos laterales de piso y luego los restantes grados de libertad. A la derecha de la figura 16.11, se presentan las coordenadas laterales de piso.
Solución
La matriz de rigidez es de 14 por 14; la submatriz Kaa es de 2 por 2, la Kab de 2 por 12; la Kbb es de 12 por 12 y la Kba de 12 por 2. En forma resumida, las operaciones matriciales reportan:
Vigas y columnas axialmente rígidas
Cuando todos los elementos de un pórtico plano, conformado por vigas y columnas, se consideran axialmente rígidos.
Elemento viga
La ecuación V se encuentra de la ecuación 1, eliminando la primera y tercera columna, y, la primera y tercera fila. El sistema de coordenadas de un elemento asociado con la ecuación V se indica en la figura 16.12.
Elemento columna
Si en la ecuación 2, se elimina la segunda y quinta fila, por un lado, y se elimina la segunda y quinta columna, por otro lado, se obtiene la ecuación W que es la matriz del elemento columna para el sistema de coordenadas globales indicado en la figura 16.13.
Significado físico
Los elementos de la matriz de rigidez lateral, son las fuerzas horizontales que deben aplicarse a nivel de piso, con el objeto de obtener un determinado desplazamiento lateral unitario y los demás desplazamientos laterales nulos.
Con los datos de la matriz de rigidez encontrados con la primera forma de cálculo, en las figuras 16.15 y 16.16, se presenta el significado físico de los elementos de KL.
Análisis con piso flexible
En este caso se considera que todos los elementos son totalmente flexibles. Para el análisis sísmico de un pórtico plano considerando piso flexible, se procede de la siguiente manera:
I. Se numeran todos los grados de libertad horizontal de la estructura.
II. Luego se numeran todos los grados de libertad vertical.
III. Finalmente se numeran las rotaciones de los nudos.
IV. Se encuentra la matriz de rigidez por ensamblaje directo.
V. Se particiona la matriz de rigidez, en base al número de grados de libertad horizontales y verticales.
VI. Se determina la matriz de rigidez condensada a las coordenadas horizontales y verticales.

Elemento viga, sin considerar nudo rígido
Variables en la modelación
Es importante destacar que existen tres variables que son básicas para la modelación de los pórticos, a saber:
1. Modelación de las condiciones de apoyo
Normalmente, se considera que las columnas están empotradas en su base, esto significa que la cimentación es completamente rígida y no permite que la columna gire.
Ejemplo:
Determinar la matriz de rigidez lateral, considerando nudos rígidos, de la estructura indicada en la figura 16.6 pero considerando que las columnas están sobre apoyos articulados sobre una viga de iguales dimensiones de la viga superior.


En la figura 16.19, a la izquierda se muestra la geometría de la estructura cuya matriz de rigidez lateral KL se va a calcular y la numeración de los elementos; al centro se indican los grados de libertad considerados para resolver en forma similar a la figura 16.7 y a la derecha el grado de libertad horizontal, para el cual se va a encontrar KL.
Solución
a) Matriz de rigidez de las vigas 1 y 2
b) Matriz de rigidez de las columnas 3 y 4
c) Vectores de colocación de las vigas
d) Vector de colocación de las columnas
e) Submatrices Kaa, Kab y Kbb
f) Matriz de rigidez lateral KL
Cuando se calculó con las columnas empotradas, la matriz de rigidez lateral fue KL =1485.772. Por lo tanto, al calcular con columnas articuladas sobre una viga de dimensiones iguales a la viga del primer piso, la matriz de rigidez disminuye.
2. Modelación de las inercias
En la filosofía de diseño sísmico se considera que una estructura ante un sismo de frecuente de baja magnitud no va a sufrir ningún daño en ese caso es muy correcto todo lo que se ha realizado en el presente capítulo de calcular con inercias gruesas Io.
En la figura 16.20, se indica la nomenclatura utilizada para determinar la resistencia a flexión y rigidez, de una viga "T" o "L", de acuerdo al ACI-95 y NZS-3101-82.
El valor del ancho efectivo b, para cuando el ala se encuentra en compresión, es el menor valor de:

i. Viga "L" de acuerdo al ACI 318-02
Valores para determinar resistencia a flexión y rigidez.

ii. Viga "T" de acuerdo al ACI 318-02
iii. Viga "L" de acuerdo a NZS-3101-82
Valores para determinar rigidez

iv. Viga "T" de acuerdo a NZS-3101-82
Valores para determinar rigidez.

Los valores han sido prácticamente reducidos en un 50% con relación a los del ACI 318-95.
Por otra parte, Paulay y Priestley recomiendan utilizar las inercias agrietadas Icr indicadas en la tabla 16.1, se indica además el rango de variación.

3. Modelación de los nudos
Se diseña con el principio de nudo fuerte - viga débil. Esto significa que teóricamente el nudo no va a dañarse durante un sismo severo. En estas condiciones, el modelaje de los elementos debe considerar dos sectores de rigidez infinita en los extremos, de esta manera la rigidez de los elementos será mayor.
Ahora bien, durante un sismo el nudo está sujeto a fuerzas de corte de considerable magnitud lo cual provoca una considerable fisuración diagonal, especialmente en nudos en los cuales no se ha realizado el control del cortante horizontal y vertical transmitido al nudo.
Existe la posibilidad de un deterioro de la adherencia en el nudo como consecuencia de las fuerzas reversibles que se producen debido al sismo, el ACI-95 con las recomendaciones estipuladas para el control de adherencia no está resolviendo el problema, únicamente está minimizando los efectos de adherencia.
CONCLUSIONES
- Se realizo el estudio de la condensación de la matriz de rigidez y se logró su debida interpretación, análisis y aplicación en el análisis sísmico de estructuras



-Se logró plantear la teoría de cómo calcular paso a paso estructuras mediante el método de la condensación de la matriz

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