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Fractales

Definición de Fractal y ejemplos.
by

Moraga Joaquín

on 5 October 2012

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Transcript of Fractales

Fractales. Definición y algunos ejemplos. Fractal: Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura se repite a diferentes escalas.
Deriva del Latín Fractus, que significa quebrado o fracturado.
Su propiedad Matemática clave, es que su dimensión es un número no entero. Y para los que no quedó clara la definición....
Ahora veremos nuestro fractal de fondo un poco más de cerca. Como vieron, al acercarse a un fractal, volvemos a encontrar las mismas formas. Aunque el término "fractal" es reciente los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos desde comienzos del siglo XX.
Y su estudio se encuentra ligado a la Teoría de la Medida. Fractal: Fractal: Fractal: Introducción: La definición de Fractal se remonta al año 1970, pero los ejemplos de fractales abundaban hace siglos.
A los Fractales se le atribuyen las siguientes propiedades:
(i) Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
(ii) Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figuar. Introducción: Curva de Koch: En la imagen inferior, tenemos un fractal llamado curva de Koch, veremos que como muchos fractales, se puede obtener mediante métodos iterativos. Copo de Koch: De manera similar como construimos la curva de Koch, también podemos construir el siguiente objeto, llamado copo de Koch, por ser similar a los copos de nieve. Concepto de Dimensión: El concepto de Dimensión Euclidiana
puede ser entendido como: "La potencia con la que crece cierto objeto, cuando hacemos crecer su longitud" Dimensión Fractal: Veremos, que dicha definición de dimensión no tiene sentido para los fractales, porque en su mayoria los fractales tienen un area finita y un perimetro infinito. Entonces, se define un nuevo concepto, la "Dimensión Fractal" que es una nueva forma de medir la dimensión de los objetos, que mantiene las dimensiones conocidas, pero ahora con esta nueva definición, podemos asimilar un número "que tiene sentido" a la dimensión de el fractal. Dimensión Fractal: Bajo esta nueva definición, la curva de Koch tiene una dimensión aproximada de 1,26 Introducción acerca de los Fractales: Ejemplos de Fractales: La curva de Koch y la Dimensión Fractal : El nombre fractal refiere a que dichos objetos tienen
dimensiones fraccionarias, como veremos más adelante. Introducción: En nuestro siglo, la geometría ha ido cambiando, los fenomenos físicos altamente complejos dificilmente se pueden representar mediante la Geometría Euclidiana.
Estas interrogantes abrieron el paso a nuevas formas de representar la realidad, como la Geometría Fractal. El Triangulo de Sierpinski: Triangulo de Sierpinski: El triangulo de Sierpinski es un fractal triangular que puede ser construido a traves de un proceso o algoritmo, al igual que la curva de Koch Triangulo de Sierpinski: Veremos que el perimetro de este fractal es infinito y que el area del fractal es 0. Triangulo de Sierpinski: Se puede calcular la dimensión fractal del triangulo de Sierpinski tal como lo hicimos con la curva de Koch.
Analogamente, obtenemos el valor de: ln(3)/ln(2) = 1,58496... Triangulo de Sierpinski: La curva de Koch y el Triangulo de Sierpinski que vimos con anterioridad, son ejemplos de fractales lineales.
Los fondos de la charla, son fractales complejos, los cuales se obtienen por iteraciones del plano complejo y sus dimensiones son más dificiles de computar. Fractales en la Naturaleza, Medicina, Música y Arte. La Progresión y la serie Geométrica: La Progresión Geométrica: Una secuencia de números se dice en progresión geométrica cuando el cociente entre dos elementos sucesivos es constante. En otras palabras, una sucesión de números forma una progresión geométrica cuando es de la forma:
a, ad, a(d^2), a(d^3), a(d^4), .... Serie Geométrica: Una Serie Geométrica es la suma de los elementos de una Progresión Geométrica, es decir, es el valor:
a+ad+a(d^2)+a(d^3)+ a(d^4) + .... Serie Geométrica: Para analizar los fractales, como los fractales que veremos como ejemplos son el resultado de un proceso infinito de iteraciones, estudiaremos cuando una serie geometrica infinita tiene suma finita. Serie Geométrica: Observaciones:
(i) Si d<1, entonces d^n decrece al aumentar el valor de n.
(ii) Si d>1, entonces d^n crece al aumentar el valor de n. Serie Geométrica: A modo de ejemplo veremos las siguientes sumas geométricas:
(i) a=1, d=(1/2).
(ii) a=1, d=1. Serie Geométrica: Veremos que la serie geométrica:
a+ad+a(d^2)+a(d^3)+a(d^4)+....
Tiene un valor finito cuando d<1 y es infinito cuando d>=1. Fractales en la Naturaleza: El Romanescu, un híbrido entre el brócoli y la coliflor, es uno de los ejemplos más comunes de vegetales que crecen de forma autosimilar, formando una geometría fractal: Los Fractales en la Medicina: (i) Se han utilizado tecnicas fractales para predecir la osteoporosis de pacientes.
(ii) El cerebro humano tiene una estructura fractal. La dimensión fractal de la superficie de nuestro cerebro es mayor a 2.
(iii) Los conductos sanguineos y alveolos pulmonares también tiene estructura fractal. Fractales en la Música: Se entiende por música fractal aquella que traslada la estructura de un fractal al espacio musical. Piezas clásicas como "Primera Escossaien" de Beethoven tienen una estructura fractal. Los Fractales en el Arte: Existen centenares de obras que están construidas con tecnicas que intentan asimilar un fractal:
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