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미적분학 역사

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by

석만 홍

on 23 October 2014

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Transcript of 미적분학 역사

미적분이 우리 생활에서는 어떻게 쓰일까??
미적분이란?
미적분 역사
목차
1.미적분에 대한 기본적 개념
2.미적분의 역사
3.미적분에 기여한 수학자들
4.미적분을 중,고등학교에서?
(대학교때도)
5.미적분이 실생활에서 쓰이는 예
6.퀴즈

미적분학
미적분의 개념
-미적분[ Calculus , 微積分 ]
미분(differentiation)과 적분(integration)의 수학적 이론

-미분: 알고 보면 별거 아님!
접선을 구하자는 것

-적분: 넓이

고대-중세-근대
미분
-곡선 확대
-점점 기울기가 1인 직선에 가까워지는 느낌을 받을 수 있음!!
-점 (L, f(L))을 중심으로 하여 확대하면 할수록 그래프가 어떤 고정된 직선에 가까워지는 경우,(단, y 축과 나란한 직선은 제외)
-x=L에서 ‘미분 가능하다’라고 함

적분
무수히 많은 삼각형의 넓이 합으로 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있음

미적분의 기본정리
보통 뉴턴과 라이프니츠가 창시자라고 알고 있지만 이들은 미적분의 개념을 더 확장하고 체계화한 역할을 하였다.
그렇다면
언제부터?
고대부터 적분에 대한 연구가 있었지만 수학적으로 엄밀하지도 않고 체계적이지도 않았다.
부피계산법들이 나와있으나 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다.
고대 그리스에서는 극한의 개념과 비슷한 문제의 철저 검토법이 사용됨

BC 3세기경 아르키메데스와 유클리드 등의 학자들은 오늘날의 구분구적법과 매우 흡사한 방법으로 평면의 넓이를 구하였다.


구분 구적법이란?
도형의 넓이· 부피를 구함에 있어 도형을 여럿으로 구분하여 그 넓이·부피의 총합을 구하여 그 극한으로써 계산하는 방법.

-인도에서 미적분 학의 기초가 다져짐.
-14세기 인도 수학자 마다바와 케랄라가 미적분을 위한 많은 요소들을 기술하였다.
(비선형 방정식 풀이를 위한 방법, 곡선 아래 부분이 차지하는 넓이가 적분 값과 같다는 이론 등 )

우리나라는?
정약용 논문에 미적분 학의 기초가 다져짐
정약용은 부피와 넓이는 무한히 작은 부피와 넓이의 합으로 구해야 한다고함
하지만 그가 만든 무한소의 개념은 잘못된 결과를 이끌어 낼 수도 있었기 때문에 좋은 평을 받지 못함
진행 중인 포탄이 중력의 영향을 받아 계속하여 진행방향을 바뀌는 포물선의 형태에서 질 로베르발은 곡선의 접선과 운동하는 물체의 진행방향이 일치한다는 사실을 최초로 제시

데카르트, 페르마등의 수학자들이 접선의 문제에 대해서 많은 도전을 하였지만 해결책을 내놓지 못함

유일하게 페르마가 가장 일반적인 계산방법에 접근하고 이후 뉴턴도 페르마의 방법을 참고로 계산해냄
외국
뉴턴 VS 라이프니츠
(누가제시한걸까?)
뉴턴
뉴턴은 1665년부터 자신이 만든 유율법이라고 이름 붙인 미적분을 발견했다.

운동을 분석하는 과정에서 미적분법을 발견

이를 이용해 만유인력의 법칙을 확인했다. 행성의 움직임과 같은 물리 현상 연구에 미적분을 이용한 것이다.
라이프니츠
조금 늦은 1673년과 1676년 사이에 독일의 법률가이자 수학자인 라이프니츠도 미적분 발견
곡선의 접선 또는 극대와 극소를 찾는 과정에서 미적분을 발견했다. -포탄의 궤도가 기본바탕
포탄의 궤도란?
곡선에 접선을 그리고, 함수의 극대와 극소를
찾는 문제를 이어받아 미적분으로 체계화 했다
하지만 뉴턴은 이러한 생각을 공표하지 않았고 이후 뉴턴은 독립적인 아이디어로 미분에 도달하게 되었고 1684년경 미적분에 관한 논문을 발표
뉴턴이 '구적론’을 1704년에 발표
생각해낸 시기는 뉴턴이 빨랏으나 발표에선 뒤쳐졌기 때문에 1711년경부터 뉴턴과 라이프니츠 사이에서 미적분의 창시자의 자리를 놓고 싸움이 생기기도 했습니다.
현대의 교육과정에서 우리가 배우고있는 미적분학은 라이프니츠의 이론입니다.

참여한 수학자들
1.로베르발(1602-1675),
토리첼리(1608-1647)
곡선에 대한 접선을 그리는 일반적인 접근 방법을 개발
이들은 곡선을 한 점에 의해서 생성되는 것으로 간주하고, 여기에서 점의 운동은 이미 알고 있는 두 운동의 합성을 보았다.
두 운동의 속도 벡터들의 합성은 그 곡선의 접선이 된다는 것이다.
2.데카르트

어떤 곡선에 대한 접선을 작도하는 또 다른 방법을 그의 책 `기하학(1637)`의 둘째 부분에 실었다.
사차 달걀을 포함해서 서로 다른 여러 가지 곡선에 적용했지만, 그 방법은 너무 대수적 곡선에만 국한되며 어려워진다.

3)케플러
케플러는 함수의 증분은 통상적인 최대·최소값의 근방에서 거의 무시할 수 있을 정도로 작다는 사실을 관찰함.

4)페르마
함수의 최대, 최소값을 찾는 전통적인 방법을 설명
연속곡선에 접선을 긋는 방법을 제시하엿는데 이에 제기된 문제는 페르마를 `극값의 문제`로 유도하여 미분의 개념에 도달시킴
직교좌표 방정식이 주어진 곡선 위의 한 점을 지나는 접선을 찾는 일반적인 과정을 고안해냄.
-점에 대한 `접선영`을 찾는 방법 (타원, 사이클로이드 등의 접선을 구함)
광학에 응용하여 그는 `최단 시간의 원리 발견하고 빛의 반사·굴절의 법칙을 유도해냈고, 후년의 역학 전개에 중대한 영향을 주었다.
5)배로
`미분 삼각형`이라고 부르는 것을 사용
페르마와 배로 및 그 당시 일부 수학자들의 업적에 힘입어 미분법의 과정이 크게 발전하였으나, 아직 도함수의 계산을 위한 형식적인 해석학적 규칙들이 체계와 함께 일반적인 기호의 발견이 남아 있음

6)라이프니츠
일반적인 실행 가능한 미분법을 최초로 발표함
`접선 및 최대값과 최소값을 찾는 새로운 방법, 이 방법은 분수 또는 무리수에 의해서 제약을 받지 않으며, 이것을 위한 뛰어난 계산법`이라는 제목으로 1676년 출판된 논문에서 오늘날 사용되고 있는 미분법의 표기와 도함수를 계산하는 일반적인 많은 법칙들을 제시
거의 모든 기계적인 연산에 대한 미분법을제공
7)뉴턴
뉴턴은 그가 명명한 대로 `유율학`을 고안해 냈었는데, 이는 라이프니츠가 `미분학`을 고안해 내기 이전이었다.
이 논문을 1687년까지 발표하지 않아 발생한 발견의 우선권에 대한 논쟁은 앞서 제출한 보고서에서 다룬 적이 있다.
미적분을
중,고등학교때??
대학교때도?
미분 이용
구의 부피 구하는 공식

구의 부피를 구하기 위해
1)먼저 원의 면적을 구한뒤
2)이 원을 다시 하나의 축으로 360도 회전시킨 양의 합으로 구할 수 있다


→미분법
원의 면적:1) 원점을 중심으로 매우 작은
각도로 쪼갠 삼각형의 면적을
구한 뒤
2)얻어진 삼각형의 면적을 다시
쪼개진 수만큼 곱하기
→적분법(미분된것을 다시 합해가는)
구의 부피공식:미적분을 통해 얻어진 단순화된 공식!

미분을 통해 여러 그래프의 변화(기울기)를 알 수 있다!

1)시간에 따른 개체의 수 변화율
→박테리아 배양연구/전구의 수명 및 인구수 예측하는 경우에 중요
2)속도를 미분-가속도 구할 수 있다
→로켓이나 미사일의 운동 살펴보는데 중요
3)위치에너지 그래프 미분- 특정 지점에서 작용하는 힘의 세기, 방향 알 수 있음
→전위를 알고있는 구조물에서 하전입자가 어디로 갈것인지 알아보는데 유용

어느 이차 함수의 접선의 기울기가 0이 될 때의 x좌표를 구하면 이차 함수의 최대, 최소점을 구할 수 있다.
고등학교 1학년 때 배운 나머지 정리에 대한 문제도 미분을 이용하면 쉽게 구해진다.


적분 이용
변화율을 알고자 미분개념이 나왔고
역으로 변화율에서 원래의 양을 계산하고자 할 때 적분을 사용
1)도형의 넓이나 부피를 구할때 직접적 응용

2)적분→ 미분의 역과정이므로
미분방정식을 푸는 데 쓰인다
→지수적 증가나 감소의 문제, 단진동 문제

3)매우 다양한 성분으로 이루어진 파동을 간단한 몇가지 파동으로 분해하는 기술에 씀
→특정 진동수 갖는 소음차단/전자악기 디자인/ 음성인식

1. 경제학(미분활용)
: 수요,공급의 탄력도, 한계대체율, 무차별곡선이론에서 소비자균형, 생산함수,비용함수

2.토목공학, 건축공학
건물 건축 시 필요한 지지대 계산

3.전기공학
신축건물에 필요한 전기,형광등의 필요한 전류계산

4. 물리학: 위치, 속도, 가속도
김새연, 박민지, 장혜정
서원혁, 남준호, 차우현
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