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EVGBMPhLK Atomphysik II

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by

Philipp König

on 25 December 2013

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Transcript of EVGBMPhLK Atomphysik II

Materiewellen
Atomphysik
Materiewellen
Unschärferelaton
Wahrscheinlichkeitswelle
Interpretation
der QM
Material
Was ist Atomphysik?

Die Untersuchung der physikalischen Eigenschaften von Atomen, insbesondere der Atomhülle (Atomkern → „Kernphysik“). Anwendungen der Erkenntnisse finden sich hauptsächlich in der Chemie (Bindungsenergie etc.)

Problem: Atome liegen im Größenbereich ~〖10〗^(-10) m und sind damit kleiner als die Wellenlänge des optischen Lichtes, daher nicht unmittelbar beobachtbar.

Wahrscheinlichkeitswelle
Atommodelle
Unschärferelaton
Interpretation
der QM
Atommodelle
Atomphysik

Linearer Potentialtopf
Linearer Potentialtopf
Genauso wie Albert Einstein schloss, das Wellen Materieeigenschaften besitzen, schloss Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie, das Materie auch Welleneigenschaften besitzt. Louis de Broglie gehörte dem französischen Adel an und war Physiker. Er bekam für seine Materiewellen Theorie, die das wellenartige Verhalten von Elektronen beschreibt, 1929 den Nobelpreis, er gilt als einer der bedeutendsten Physikern des 20. Jahrhunderts. Dass dies nicht schon viel früher experimentell entdeckt wurde muss an der außerordentlich kleinen Wellenlänge der Elektronen liegen.
Die Wellenlänge eines Teilchens lässt sich über den Quotienten aus dem planckschen Wirkungsquantum und dem Impuls bestimmen:

Diese Gleichung wird auch die De-Broglie-Gleichung genannt, die die De-Broglie-Wellenlänge angibt.



h: das plancksche Wirkungsquantum
p: Impuls des Teilchens
m: Masse des Teilchens
V: Geschwindigkeit des Teilchens

Materiewellen
De Broglie


Aufgabe: Berechnen Sie die De-Broglie-Wellenlänge von Elektronen, die eine Beschleunigungsspannung von 20kV durchlaufen haben, ebenfalls auch ihre Frequenz und Energie. Vergleichen Sie die kinetische Energie eines Elektrons mit der Energie der Welle und kommentieren Sie dies.

1. Voraussetzung: Beim Interferieren von Wellen summieren sich die Intensitäten; es gibt aber keine negativen Intensitäten (z.B. das Interferieren zweier Schallwellen, „weniger als Stille gibt es nicht“).
- Vergleiche Gesamtenergie beim mechanischen Pendel:





- Die Energie, also auch die Intensität ist proportional zum Amplitudenquadrat:





2. Voraussetzung: Interferenz am Einzel- und Doppelspalt mit kontinuierlichem Lichtstrahl
Intensitätsverteilung kann als Vektorsumme von „vielen Teilstrahlen“ beschrieben werden.

3. Experimente am Einzel- und Doppelspalt mit einzelnen Photonen:
- Rein zufälliges Auftreffen der Photonen am Schirm
- Mit der Zeit stellt sich eine „Trefferverteilung“ ein, deren Muster genau dem Interferenzmuster beim kontinuierlichen Licht entspricht. Dies ist ein Wiederspruch zur Wellenoptik!!!

Erklärung als Wahrscheinlichkeitsverteilung w(x). Das Auftreffen eines Teilchens am Ort x ist vom Zufall bestimmt.


Das Herz der Quantenmechanik
Die Trefferposition ist von der Breite des „bemessenen“ Raumausschnitts ∆x abhängig: Die Trefferwahrscheinlichkeit pro Raumausschnitt ist die Wahrscheinlichkeitsdichte:





ρ
Da das Intensitätsmuster I(x) genau der Trefferverteilung w(x) entspricht, ist I(x)~w(x) und für n Teilchen:




Wellentheorie Teilchentheorie


oder eingesetzt:




Vergleich von Wellen und Teilchenbild:
Das Herz der Quantenmechanik
Wellenbild: Die Intensitätsverteilung könne wir durch das Betragsquadrat der E-M-Welle beschreiben:



Teilchenbild: Der wahrscheinliche Erwartungswert der Intensität eines einzelnen Photons ist proportional zur Wahrscheinlichkeitsdichte mal Anzahl n der Photonen:




Neue, fundamentale Vorstellung: LICHT IST EINE WAHRSCHEINLICHKEITSWELLE; WAHRSCHEINLICHKEITEN KÖNNEN INTERFERIEREN
BOX
Ein Beispiel für ein Amplitudenquadrat.
Heisenbergsche Unschärferelation
Quantenobjekte wie Photonen oder Elektronen müssen bei einem kurzen Signal, beispielsweise bei einem Lichtblitz, als eine Überlagerung von verschiedenen Frequenzen angesehen werden (vergleiche die Schwebung in der Akustik), da das Signal einen Anfang und ein Ende benötigen.








Werner Heisenberg (1901- 1976) war ein deutscher Wissenschaftler, der 1927 die Heisenbergsche Unschärferelation oder auch Unbestimmtheitsrelation aufstellte.





Dem nach sind Ort und Impuls eines Quantenobjektes nur begrenzt genau bestimmbar. Die genaue Bestimmung von Ort und Impuls eine Quantenobjektes, zur gleichen Zeit, ist dem nach unmöglich. Wird der Ort eines dieser Objekte genauer bestimmt geschieht dies auf Kosten der Impulsgenauigkeit und umgekehrt.
Das Selbe gilt ebenfalls für Energie und Zeit:








Zurückzukommen auf unser Signal, hat dies die Bedeutung, dass je kürze das Signal, desto größer ∆f und desto breiter ist das Frequenzspektrum.

Ist der Ort bzw. die Raumausdehnung ∆x, gut definiert, erhält die Wellenfunktion ein breites Spektrum. Ist die Frequenz eindeutig, dann ist die Ortsausdehnung „unendlich“ (z.B. reine Sinusschwingung)








Diese Unschärfe bzw. die Ungenauigkeit sind KEINE Messungsungenauigkeiten, sondern von grundsätzlicher Natur!!!
Heisenbergsche Unschärferelation

Aufgabe: Bei einem Wasserstoffatom im Grundzustand beträgt die Ortsunschärfe 10% des Atomdurchmessers (10^-10m). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Elektrons und erläutern Sie mit dem Ergebnis, warum das Atommodell nach Bohr nicht mit der Unschärferelation vereinbar ist.

Die klassische Physik ist durch den Determinismus geprägt. Sind die Anfangsbedingungen eines Prozesses, so kann man den Zustand zu jedem beliebigen Zeitpunkt bestimmen.

Die Krise der klassischen Physik kam durch die Experimente mit einzelnen Photonen am Doppel- oder Einzelspalt, Tunneleffekt und Quantenverschränkung, die den Determinismus stürzten. Ort und Frequenz (Impuls) sind nicht gleichzeitig exakt bestimmbar (Heisenbergsche Unschärferelation). Die Wellenfunktion, welche die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Frequenz eines Teilchens vorgibt, zerfällt in absolute Bestimmtheit, sobald man „hinschaut“/ „misst“.








Sie sogenannte
Kopenhagener Interpretation
liefert die Erkenntnis: „Wir beeinflussen die Wirklichkeit schon durchs bloße Hinschauen, Wahrheit kann nur das Messbare sein…“, dies führte zum
logischen Positivismus.

Der
kritische Rationalismus
entstand als „Gegenposition“ zum Positivismus. Aufgrund fehlender Messmethoden wurde eine These verworfen. Die Gegenposition stattdessen fordert, dass eine Hypothese solange gültig ist, bis sie experimentell falsifiziert wurde! Der kritische Rationalismus entspricht auch unserer heutigen überprüfungsweise von Thesen.
Interpretation der Quantenmechanik
Fazit:
Die Quantenmechanik leistet den Ausgangspunkt einer weltanschaulichen philosophischen Debatte, an deren Ende unser heutiges Verständnis von Wissenschaft und Erkenntnisgewinnung steht!
Die Verknüpfung von Elektronenimpuls (und mit De Broglie auch der Elektronenwellenlänge λ=h/p ) mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeitvorstellung der Quantenphysik, führte zum Modell des linearen Potenzialtopfes. Ein zunächst rein mathematisches Modell, welches sich jedoch experimentell bestätigte. Dieses Modell geht davon aus, dass ein Elektron zwischen zwei unendlich hohen Wänden eingesperrt wird. Zwischen den Potenzialwänden bildet sich eine stehende Welle aus, anderen Knotenpunkte die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons gleich null ist. Im Potentialtopf ist die potentielle Energie auf null normiert worden E_pot=0 und außerhalb, durch die unendlich hohen Wände, auf unendlich E_pot=∞. Damit das Elektron den Potentialtopf verlassen kann muss es die Wände überwinden, das ist jedoch aufgrund der unendlichen Höhe nicht möglich (Ausnahme Tunneleffekt), somit ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Potenzialtopfes glich null. Die Funktion der Aufenthaltswahrscheinlichkeit muss stetig sein, da sie außerhalb gleich null ist, muss sie folglich an den Potentialwänden ebenfalls genau Null sein.




Wenn das Betragsquadrat der Wellenfunktion, welche die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschreibt, gleich null ist, ist die Wellenfunktion an dieser Stelle ebenfalls gleich null. (Randbedingungen)



Mit diesen Randbedingungen lässt sich die Quantenbedingung aufstellen. Dadurch, dass an den Potentialwänden Knotenpunkte sein müssen, muss die Halbewellenlänge ein Vielfaches von der Potentialtopflänge sein. (Quantenbedingung)




Nun kann mit den bekannten Formeln eine Formel für die Energie im linearen Potentialtopf hergeleitet werden:












I nach V umformen und II nach λ umformen:




In einander einsetzen:




V und IV in III einsetzen, sowie VI




Daraus folgt die Energie für den linearen Potentialtopf:




Dabei gibt n das Energieniveau an.

Mit der „normalen“ Wellenfunktion und der Quantenbedingung kann eine Wellenfunktion speziell für den linearen Potentialtopf hergeleitet werden.







II einsetzen in I




Mit diesem Modell kann man zum Beispiel die Emissions- und Absorptionsenergie des Wasserstoffatoms beschreiben oder welche Wellenlängen bestimmte Farbstoffe aufgrund ihres delokalisierten π-Elektronensystems absorbieten.

Linearer Potentialtopf
Linearer Potentialtopf

Aufgabe: Setzen Sie die Energie des linearen Potenzialtopfes mit der Energie aus dem Bohrschen Atommodell gleich. Vereinfachen Sie diese Gleichsetzung und interpretieren Sie das Ergebnis.

Linearer Potentialtopf

Aufgabe: Welche Länge müsste der lineare Potenzialtopf haben, damit er von n=5 auf n=6 die Wellenlänge λ=455nm absorbiert.

Der Versuchsaufbau:






















Dies ist unser Versuchsaufbau. Eine Elektronenkanone, an der die Beschleunigungsspannung U anliegt beschleunigt die Elektronen auf die Geschwindigkeit V und sie werden durch eine Lochblende geschossen, vor der eine dünne Graphitplatte eingespannt wurde. Sie treffen dann auf einen weißen fluoreszierenden Schirm, der beim auftreffen von Elektronen grünes Licht abstrahlt.

Nach der klassischen Physik würden wir nun auf dem Schirm einen einfachen Punkt erwarten oder auch mehrere Punkte, die auch ihre Position wechseln können, da die Flugbahn der Elektronen durch einen Stoß mit den Atomen in dem Graphitplatte abgelenkt werden könnten.























Was wir jedoch beobachten ist ein klares Interferenzmuster(, charakteristisch für eine Lochblende). Die einzig logische Erklärung ist, dass Elektronen welleneigenschaften besitzen. Dies ist ein Beweis für die Hypothese von De Broglie, der behauptet, dass Elektronen (Materie) Welleneigenschaften besitzt.

Nun überprüfen wir die Formel λ mit Hilfe der Bragg- Gleichung λ











Unser Schirmabstand e beträgt 14cm und wir haben in unserer folgenden Messreihe beschreibt r das erste Nebenmaximum (abstand Mittelpunkt Maximum).












Die Geschwindigkeit V der Elektronen für den Elektronenimpuls ergibt sich aus der Gleichsetzung von der elektrischen Energie aus dem E-Feld mit der kinetischen Energie des Elektrons.










Angaben der Konstanten:
Elektronenladung e= 1,602176462*〖10〗^(-19) C
Abstand der Graphitatome d=123 pm
Plancksches Wirkungsquantum h= 6,62606876*〖10〗^(-34) J*s
Ruhmasse des Elektrons m=9,10938188*〖10〗^(-31) kg

Messreihe:










Die durchschnittliche Abweichung beträgt ca. 29,5%.











Die durchschnittliche Abweichung beträgt ca. 27,5%.

Berechnung der Unschärfe:










Die Unschärfe ist so gering, das die ca. 27,5% und die ca. 29,5% Abweichung nahe zu vollständig auf den Ablesefehler zurückzuführen ist, da wir nur eine Schiebleere zur Verfügung hatten.




Fazit: Dieses Experiment hat bewiesen, das Elektronen welleneigenschaften besitzen und sich diese nach der Formel λ berechnen lassen. De Broglies Hypothese hat sich somit bestätigt.

Elektronenbeugung
Thomsen

Thomsen geht von einem starren Teilchen aus, das elektrisch neutral ist (im nicht ionischen Zustand). Sein Modell wird oft scherzhaft als Rosinenkuchen- Modell bezeichnet. Seine besondere Leistung war, dass er herausfand, dass Atome aus geladenen Teilchen bestehen.


Rutherford

Rutherford fand heraus, dass die Hauptmasse des Atoms im positiven Kern liegt und sich das Elektron in einer Atomhülle, die aus überwiegend „Nichts“ besteht, irgendwie aufhält. Dies fand er heraus als er Heliumkerne durch eine Goldfolie schoss.


Bohr

Bohr stellte ein Atommodel auf, in dem Elektronen auf festen Bahnen strahlungsfrei um den Atomkern kreisen. Die besondere Leistung dieses Modelles ist das es die Balmer- Formel bestätigt, Emission und Absorption als Energieänderung des Atoms beschreibt, das Wasserstoffatom und wasserstoffatomähnliche Atome berechenbar macht und die Ionisierungsenergie bestimmbar macht.


Schrödinger

Die Schrödinger Gleichung ist ein zunächst völlig mathematisches Modell. Aus dieser Gleichung wurde das Orbitalmodell berechnet. Orbitale sind Räume in denen sich Elektronen zu einer 90% Wahrscheinlichkeit aufhalten. Die Schrödinger Gleichung liefert die Quantenzahlen die zur vollständigen Beschreibung der Elektronen nötig ist, denn jedes Elektron eines Atoms besitzt eine andere Kombination von Quantenzahlen. Die besondere Leistung dieses Modells ist es, dass es zunächst rein mathematisch war und die Quantenphysik in Form der Wahrscheinlichkeitswelle zum ersten Mal in einem Atommodell angewandt wird.

Atommodelle
Quelle: Metzler Physik, 4. Auflage herausgegeben von Joachim Grehn und Joachim Krause, Seite 390
Das Heißt, dass der Potenzialtopf nun die Oberfläche der Atomhülle ist. Das Atom wird bei Energiezufuhr nicht mehr größer, wie nach Bohr, sondern die Wellenberge und –Täler der Wahrscheinlichkeitswelle nehmen auf der Atomhülle zu. Lässt man nun die Wellen, die auf der Atomhülle entstehen, um dien Atomkern rotieren erhält man die bekannten Orbitale (z.B. s- Orbital Kugelform oder p- Orbital Hantelform) aus dem Orbitalmodell.
Lösung
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