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Investigación Operativa- María Florencia Silva

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by

Florencia Silva

on 28 July 2013

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Transcript of Investigación Operativa- María Florencia Silva

Trabajo Final

Investigación operativa
María Florencia Silva
Año 2013

Resolución
de problemas
con Geogebra

Para resolver el problema llamo:
x: cantidad de unidades de A
y: cantidad de unidades de B
Como se quiere obtener la máxima utilidad,debemos maximizar la función de la utilidad total que está dada por:
z = 8x + 10y

ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir dos soluciones de limpieza doméstica, A y B. Las disponibilidades diarias de las materias primas I y II son de 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución A consume 0.5 unidades de la materia prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto que una unidad de la solución B consume 0.5 unidades de la materia prima I, y 0.4 unidades de la materia prima II. Las utilidades por unidad de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución A es de entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B va de 40 a 200 unidades. Se deben determinar las cantidades óptimas de producción de A y B.

Problema 1
Utilizando el software GeoGebra graficamos las restricciones de tal manera de encontrar la región factible, es decir, el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones del problema.
Para este caso la región factible es la región más oscura del gráfico, en donde todas las restricciones del problema se cumplen.
Representando los distintos puntos de intersección de la región factible:

Para analizar cuál es el punto en donde z tiene su valor máximo,
tomo un punto arbitrario de la región factible.
Si tomo el punto (40, 80)
Z= 8*40 + 10*80 = 1120

Grafico la recta,
8x+ 10y= 1120
y vamos desplazándola en ambos sentidos para ver cuál es la dirección de crecimiento de z.

Desplazando paralelas a la recta de la función objetivo llegamos al límite de la región factible que nos da el máximo valor que puede tener z:
Para nuestro problema el máximo de z se da en el punto B (100,200),
es decir, hay que producir 100 unidades de A y 200 unidades de B para obtener la máxima utilidad que es:
Z= 8*100+ 10*200= $2800

Para el problema que se presenta las variables de decisión son:
x: cantidad de productos tipo A
y: cantidad de productos tipo B
Se quiere obtener el máximo beneficio, es decir, maximizar:
z = 20x + 50y

Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria máxima es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determinar la combinación óptima de productos para la compañía.
Problema 2
Utilizando el software GeoGebra graficamos las restricciones de tal manera de encontrar la región factible, es decir, el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones del problema.
Para analizar la dirección de mejora de la función objetivo, tomamos un punto arbitrario y vemos cuánto vale z:
Para el punto (50,10)
Z= 20*50 + 50*10= 1500
Trazamos entonces la recta
20x + 50y =1500
y desplazando paralelas vemos en qué dirección aumenta z:


Cuando llegamos al límite de la región factible obtenemos el máximo valor de z:

Para este problema el óptimo se da en el punto B(80,20) con lo cual determinamos que se deben producir 80 productos del tipo A y 20 productos del tipo B, esto nos dará una utilidad de:
Z = $2600

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON QTOCTAVE
Las variables de decisión del problema son:
x1 = Cantidad de cuadros pequeños a fabricar.
x2 = Cantidad de cuadros medianos a fabricar.
x3 = Cantidad de cuadros grandes a fabricar.

Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos: el pequeño, el mediano y el grande. El primero requiere triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de triplay se pueden obtener 12 cuadros pequeños u 8 medianos ó 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay, 68 rollos de estambre de 500 metros cada uno y 12.500 clavos. El cuadro pequeño requiere de 3 horas, el mediano de 5 horas y el grande de 6 horas para su elaboración. Mensualmente se dispone de 530 horas para la fabricación de los cuadros. La experiencia que se tiene de las ventas muestra que mínimo se venden 25 cuadros grandes por cada 60 cuadros pequeños. El margen de utilidad para los cuadros pequeños, medianos y grandes son $22, $35 y $45 respectivamente, ¿Cuántos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea máxima?

Problema 1
Teniendo en cuenta las restricciones y modelando el problema matemáticamente obtenemos;
max z= 22 x1 + 35 x2 + 45 x3
Sujeto a,
1/12 x1 + 1/8 x2 + 1/5 x3 ≤ 15
200 x1 + 300 x2 + 400 x3 ≤ 34000
85 x1 + 100 x2 + 125 x3 ≤ 12500
3 x1 + 5 x2 + 6 x3 ≤ 530
– 25 x1 + 60 x3 ≥ 0
x1, x2, x3 ≥ 0

Para resolver nuestro problema en la consola de QtOctave ingresamos:
c=[22 35 45];
a=[1/12 1/8 1/5;200 300 400;85 100 125;3 5 6:-25 0 60];
b=[15 34000 12500 530 0];
lb=[];
ub=[];
ctype=”UUUUL”;
vartype=”CCC”;
s=-1;
[xop,fop,status,extra]=glpk(c,a,b,lb,ub,ctype,vartype,s);

Se deben fabricar 60 cuadros pequeños, 40 cuadros medianos y 25 cuadros grandes y su venta generará una utilidad máxima de $ 3845.

Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. De aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a $2000 y $1500 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs.de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
Problema 2
Las variables de decisión del problema son:
x: bicicletas de paseo
y: bicicletas de montaña

Para resolverlo, en la consola de QtOctave ingresamos las siguientes instrucciones:
c=[2000 1500];
a=[3 2;1 2];
b=[120 80];
lb[];
ub=[];
ctype=”UU”;
vartype=”CC”;
s=-1;
[xop,fop,status,extra]=glpk(c,a,b,lb,ub,ctype,vartype,s);


Finalmente si además queremos graficar la recta de la función objetivo, ingresamos:
hold on;
x=0:0.1:40;
title('Area factible y funcion objetivo');
plot(x,(60000-2000*x)/1500,'r');
hold off


Como resultado sabemos que para obtener el beneficio máximo de $85000 debemos producir 20 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña.

Modelando matemáticamente el problema queda:
max Z= 2000x + 1500y
Sujeto a,
3x + 2y ≤ 120
x + 2y ≤80
x,y ≥ 0

Para graficar la región factible ingresamos las siguientes instrucciones:
x=0:0.1:40;
y1=(120-3*x)/2;
y2=max((80-x)/2,0);
ytop=min([y1;y2]);
area(x,ytop);

resolución de problemas con scilab
Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.

Para resolverlo a través de Scilab vamos siguiendo los siguientes pasos:
1)Escribo la matriz P de probabilidades
P=[0.6 0.2 0.2;0.3 0.5 0.2;0.3 0.3 0.4]

2)Calculo la transpuesta de p
t=P’

3)Creo la matriz identidad 3x3
eye(3,3)

4)Llamo I a la matriz identidad
I=ans

5)Calculo la matriz M=pT-I
M=t-I

6)Completo con unos y ceros para armar el sistema
C= [-0.4 0.3 0.3 0;0.2 -0.5 0.3 0;0.2 0.2 -0.6 0;1 1 1 1]

7)Busco la matriz reducida por filas
rref(C)

Problema 1
A la larga los clientes se distribuirán de la siguiente manera:
42,86% Movistar
32,14% Personal
25% Claro

En Argentina existen 3 operadores principales de telefonía móvil: Movistar (M), Personal (P) y Claro (C). Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para Movistar 0.4 para Personal 0.25 y para Claro 0.35. (estado inicial). Se tiene la siguiente información: un usuario actualmente de Movistar tiene una probabilidad de permanecer en la Movistar de 0.60, de pasar a Personal de 0.2 y de pasarse a Claro de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Personal tiene una probabilidad de mantenerse en Personal del 0.5, de que esta persona se cambie a Movistar de 0.3 y que se pase a Claro de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de Claro la probabilidad que permanezca en Claro es de 0.4, de que se cambie a Movistar de 0.3 y a Personal de 0.3. Se busca saber la distribución de clientes en el largo plazo.
Problema 2
Suponga que una industria produce dos tipos de comidas preparadas A y B. Si una persona compra la tipo A existe un 90% de que compre la misma la vez siguiente. Si una persona compró la tipo B, hay un 70% de que repita la vez siguiente.
a) Si una persona compró la primera vez B. ¿Cuál es la probabilidad de que compre A a la tercera compra?
b) Si una persona es comprador de A. ¿Cuál es la probabilidad de que compre A nuevamente pasadas cinco compras a partir de ahora?


La matriz de probabilidades en este caso, considerando el orden A, B es:

P=[0.90 0.10;0.30 0.70]
En Scilab:
P=[0.90 0.10;0.30 0.70]
P3=P^3
P5=P^5

Como queremos saber las probabilidades de compra a la tercera y a la quinta vez, tenemos que calcular P3 y P5.
Si una persona compró B inicialmente hay un 58,8% de probabilidades de que en la tercera compra se cambie a A. Si una persona compra inicialmente A en la quinta compra tiene un 76,9% de probabilidades de volver a comprar A.
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