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생명과학과 수학

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by

서연 안

on 6 September 2017

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Transcript of 생명과학과 수학

62
ECG
bpm
Thank You!
EPISODE 1. CT?
X선 발생장치가 있는 원형의 큰 기계에 들어가서 촬영
인체를 가로로 자른 횡단면상을 획득
X선 에너지가 내부의 밀도에 따라 얼마나 줄어들었는지를 측정

e.g. 뼈처럼 밀도가 높은 부분을 통과하는 X선은 많이 줄어듦
근육처럼 밀도가 낮은 부분을 통과할 때는 적게 줄어든다.
사이노그램이란?
파란색으로 표시한 것과 같은 2차원 물체
동그라미로 둘러싼 영역 내부는 밖에서
보이지 않는 상황
X선 사진을 여러 장 찍어 보이지 않는
물체의 위치 및, 모양을 알아내는 게 목표
바깥에서 내부를 향해 일정 방향으로 X선을 쬐기
파란색 부분에서는 일정 비율로 흡수가 일어남
나머지 부분은 온전히 통과
X선을 투입한 반대쪽에 감지기를 달면 얼마나 흡수되었는지 알 수 있음
X선이 지나간 길에 놓인 물체의 길이에 따라, 흡수된 양이 결정
X선 발생 장치를 회전시켜가며 투과시키면 그래프를 얻게 됨
e.g. 45, 90도와 나란하게 쬐어 흡수된 양을 나타낸 그래프
1도씩 회전하면서 사진을 찍었다면 모두 180개의 그래프
(180도 이상 회전하여 얻는 그래프는 똑같을 것)
여러 각도로 X선 사진을 찍어 얻은 그래프를 시각화한 것
=사이노그램
e.g. 세로축을 보면 각이 주어져 있음
0도부터 180도까지 나와 있음
각도마다 중심축을 기준으로 그래프의 높이를 명암을 써서 시각화
흰색에 가까울수록 흡수가 많이 됐다는 뜻
e.g. 45도쯤을 보면, 가장자리 쪽은 거의 흡수가 없음
중심 부분에서 상당히 흡수가 많이 일어남
여러 각도로 조밀하게 X선 사진로 얻은 그래프를 이용해, 원래 영상을 복원
EPISODE 2. SINOGRAM
안서연, 이소은, 임지수
생명과학과
수학

CT (computed tomography)란?
인체의 여러각도에서 투과한 X선을 컴퓨터로 측정
인체의 단면에 대한 흡수치를 재구성할때
여러 각도로 X선 사진을 찍어 얻은 그래프가 필요

=사이노그램
사이노그램으로부터
적분
을 사용하는 변환과정을 거치면 원래 영상을 복원할 수 있음
아래쪽(0도 방향)에서
나란하게 X선을 쬐어
흡수된 양의 그래프
X선이 지나간 부분의
길이의 그래프
사이노그램의 복원
X선이 통과하는
영역의 길이를 구하면
얻을 수 있음
수학적
으로
X선 흡수량은
적분값

구하는 문제로 이해
실제로 의학용 진단 장비가
치환적분,

부분적분
하는 것은
아님
적당히
많은 구간으로 쪼개 측정치
를 구한 뒤,값을
더하는 방식
정확성을 보장하려면 측정치가 많아야 함
문제
는 측정치가 많을수록
계산량이 급속도로 늘어남

라돈 변환과 역변환이 알려진 후 의학용 진단 장비 등장
계산이 빠른 컴퓨터가 등장한 후 CT가 실용화
결정적인 역할은 이산풀이에 변환을 빠르게 계산하는 방법
컴퓨터에도 이식하기 좋은 계산법
=고속 풀이에 변환(FFT, Fast Fourier Transform)
CT 진단법에 기본이 되는 수학 원리
=연립일차방정식
e.g. 일부 방향에서 X선을 쏜다고 가정
X선은 환자의 몸을 통과하면서 에너지 손실
환자 몸의 단면을 격자로 나눔
나눠진 영역의 왼쪽 맨 위칸부터 미지수를 정함
X선이 통과하는 영역(신체 일부)에서 각각 흡수한 에너지를
더한 값
=신체를 통과하며 손실된 X선의 전체 에너지 양
따라서 X선이 신체를 통과할 때 흡수한 에너지 양의 합

->일차방정식으로 세워 구할 수 있다. 
e.g.❶번 X선은 x+t+ 2/3 h=A
❷번 X선은 y+t+ 5/7 w+ 3/4 r=B 와 같이 표현

미지수의 계수
는 X선이 통과하는 영역에서 신체가 차지하는
비율
계속해서 X선 방향을 바꾸어 같은 방법으로
방정식
을 세움
모든 영역을 표현하는
미지수가 포함된 일차방정식
이 세워짐
이를
연립방정식
으로 묶어
해를 구할 수 있음
그 결과 각 영역이 흡수한 에너지 양을 구할 수 있게 됨
이를 흑과 백, 명암을 나타내는
함수로 1:1 대응
단층촬영 사진이 완성된다.
EPISODE 3. WHO MADE IT FIRST?
수학자가 먼저 만든 CT
실제 병원에서 사용되는 첨단 기기는 일일이 연립방정식을
세워 계산하는 방식은 아님
같은 원리지만 일차방정식보단 고차원적인
‘적분방정식’
으로 설계
-> 그래야 더 선명하고 정밀한 결과를 얻을 수 있기 때문
CT 진단법
1979년 영국의 공학기술자 고드프리 하운스필드와 미국의 앨런 코맥
->노벨 생리의학상을 받으면서 세상에 알려짐
하지만 CT 진단법의 원리는 이미
1917년에 오스트리아의 수학자 요한 라돈
에 의해 개발
라돈은
‘모든 방향에서 평면으로 자른 단면의 넓이로 입체의 모양을 복원할 수 있다’는 수학 문제
를 증명
-> CT 진단법의 기초 원리
->
‘밀도함수에서 모든 방향에서의 적분 값을 알 때, 원래의 밀도함수를 복원할 수 있는가’
로 바꿔 생각
‘밀도함수의 적분 값’
=3차원 좌표에 그려진 그래프를 평면으로 잘랐을 때 생기는
단면의 넓이
라돈은 이 문제를
‘역문제’
를 활용해 증명
역문제
=말 그대로 문제를
반대로 생각
해 주어진 문제를 다르게 해결하는 과정
e.g.일반 문제는 X=A✽B라는 연산식이 주어질 때, A와 B 값으로부터 X 값을 얻음
하지만 역문제는 X 값으로부터 A 또는 B 값을 구하는 문제
일반적으로는 입체를 단면으로 잘라 각 단면의 넓이를 구한 뒤 그 합으로 입체의 부피를 구함
하지만 라돈은 이를 반대로 이용한 것
-> 단면의 넓이로부터 입체 모양을 복원할 수 있는
‘라돈 변환’
을 발표할 수 있었다.
라돈 변환을 이용해 촬영 후
내부에 흡수된 X선 양의 적분 값을 구해 3차원으로 표현 가능
EPISODE 4. WHAT CAN YOU SEE?
보이지 않는 것을 보여주는 사이노그램
EPISODE 5. USING MATHEMATICS
수학으로 복원하는 의료영상
자료의 일부가 손실되거나, 기계의 성능이 떨어져 잡티가 많이 생기는 것
그 중 기계의 성능 문제로 낮은 해상도의 결과물이 나왔을 때
->정밀한 진단을 위해 잡티를 제거하는 편이 좋음
먼저 잡티를 제거하기 위해서는
블러링 작업
이 필요
블러링 작업
=요즘 스마트폰에서 사진을 올릴 때 사용하는 ‘뽀샤시’ 기능
사진을 선명하게 만들기 위해 사진을 오히려 뿌옇게 만듬
1.거친 원본 사진을 뿌옇게 만듬
2.선명하게 복원해야 할 이미지 영역의
평균값을 구함
3.복원 작업을 진행
모든 흑백사진 이미지는 영역을 잘게 나눠 숫자로 표현가능
이진법
을 기준으로 할 때, 검은색을 0, 흰색을 1로 표현
각 사진은 명암에 따라 0과 1 사이의 값으로 좌표 위에 수치 표현 가능
그 다음은
미분방정식
을 이용
먼저 구한 사진 데이터의
평균값
을 미분방정식에 대입해 각각의 해를 구함
복원하는 사진의 경계를 더욱 자연스럽게 만듬
미분방정식을 이용하면 ‘해’는 물론
‘해가 가진 성질(기울기 등)’
까지 앎
->자연스러운
변화율
을 찾아낼 수 있음
-> 좀 더 고차원적인 정보가 필요할 때 일반 방정식 대신

미분방정식
을 이용한다.
미분방정식은 영상 복원 과정에서 잡티 제거
원본 영상과 복원 영상 사이의 관계를 파악하고 복원 처리 과정을 기록
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