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UNIVERSIDAD DE TECNOLOGIA EXPERIMENTAL YACHAY TECH

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Soffy Fierro

on 23 November 2016

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CONTENIDO
ANTECEDENTES
METODO AXIOMATICO
POSTULADOS DE EUCLIDES
INTENTOS DE DEMOSTRACIÓN DEL QUINTO POSTULADO
PROCLO
SACCHERI
LAMBERT
GEOMETRIA NO EUCLIDIANA
GAUSS
LOBACHEVSKY
BOLYAI
PROBLEMAS DE PUBLICACIÓN
PLANTEAMIENTOS POSTERIORES
RIEMANN
PSEUDOESFERA DE BELTRAMI
APLICACIONES DE LAS NUEVAS GEOMETRIAS
CONCLUSIONES

UNIVERSIDAD DE TECNOLOGIA EXPERIMENTAL YACHAY TECH
ANTECEDENTES

GEOMETRÍA

La palabra “geometría” proviene del griego geometrein (de geo: tierra, y metrein: medir); originalmente pues la geometría fue la ciencia que se ocupó de medir la tierra.

MÉTODO AXIOMATICO


EUCLIDES
“Línea (recta)" = “Aquella que tiene todos sus puntos en la misma dirección”.
“Punto” =“Lo que no tiene parte o dimensión”.

DAVID HILBERT
1899
"Fundamentos de la Geometría"
Punto (términos indeterminados)
Línea
Sobre (como en “dos puntos distintos están sobre una única recta”)
Entre (como en “el punto C está entre los puntos A y B”)
Congruente (como en “todos los ángulos rectos son congruentes”)

LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES
Geometría no euclidiana
Gauss, Lobachevsky, Bolyai, Riemann

Historia y Filosofía de la Ciencia
Katherine Freire
TALES DE MILETO
Primera Geometría Lógica
Rechazó los métodos de ensayo y error.
EUCLIDES

Obra "Elementos"
Creó el método axiomático-deductivo.
Cinco postulados

Intentos por demostrar el quinto postulado
de Euclides

PROCLO. Filósofo, natural de Constantinopla, (412-485 d.C), considerado como el mayor escolástico del neoplatonismo pagano.
Se dijo que (1) los puntos X, Y y Z son colineales, y (2) los segmentos XZ y PQ son congruentes. Por tanto, cuando XZ sea más grande que PQ, entonces XY será también más grande que XZ, por lo que el punto Y estará en el otro lado de l. La conclusión se sigue de (1) y (2). El gran problema es que las afirmaciones (1) y (2) no se han justificado adecuadamente.
Gerolamo Saccheri

Nació en San Remo, Milán (1667-1733)
Fue un jesuita, matemático italiano.
Publicó una pequeña obra titulada “Euclides liberado de toda falla”.
Saccheri demostró fácilmente que si en un cuadrilátero ABCD, los ángulos A y B son rectos, y los lados AD y BC son iguales, entonces los lados D y C son iguales.

Heinrich Lambert
Nació en Francia el 26 de agosto de 1728 – y falleció el 25 de Septiembre de 1777.
“La teoría de las paralelas”
Lambert eligió un cuadrilátero que contenía tres ángulos rectos (la mitad de un cuadrilátero de Saccheri) como su figura, y consideró las tres posibles hipótesis para el cuarto ángulo: agudo, recto u obtuso.
Problemas de Publicación

En el caso de Dos paralelas y una perpendicular:
Considere un punto P exterior a la recta dada l, a y b rectas paralelas a l. Considere ahora una recta m perpendicular a l y que pasa por P.
El ángulo A en la geometría euclidiana sería de 90 grados.
En la nueva geometría éste ángulo es agudo.
El ángulo A depende de la longitud de la perpendicular m.
Conforme m se acerca a 0 el ángulo A se acerca a 90 grados.
PLANTEAMIENTOS POSTERIORES

Bernhard Riemann
Matemático Alemán
Nació el 17 de septiembre de 1826, falleció en Verbania, Italia, 20 de julio de 1866.
Fue estudiante de Gauss en la Universidad de Göttingen.
Geometría de Riemann.

La idea radica en diferenciar las rectas, entre las que se prolongan al infinito, y las que se extienden indefinidamente.
Una recta esférica es un círculo grande. No posee principio ni fin. Es ilimitada, pero no es infinita.
Asumió que no pasaba ninguna recta por un punto exterior a la recta dada.
Como usaba postulados euclidianos, al igual que con las otras geometrías no euclidianas, obtenía resultados euclidianos; como,
Por ejemplo, el criterio de congruencia de triángulos.
• La suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor de 180 grados.
• Esta suma, además, varía de acuerdo al tamaño del triángulo. Conforme hacemos el triángulo de menor área, la suma se hace más pequeña, cercana a 0 cuando el área tiende a 0.
Geometría Diferencial de Riemann

Es el estudio de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro.
Cuando se da este tipo de variación (de punto en punto) se utiliza las técnicas del Cálculo.
El cálculo de rectas normales o tangentes, puntos de inflexión (de cambio de concavidad), curvaturas, serían los asuntos de la geometría diferencial en un plano.
Por pedazos

Para estudiar el espacio debía hacerse localmente y no como un todo.
Una variedad diferencial es uno de esos pedazos a estudio.
Demuestra que el espacio físico es un caso específico de variedad .
En tres dimensiones los puntos son de la forma. El conjunto de puntos forma una variedad.

Se trataba de un espacio donde la curvatura varía de lugar en lugar y, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia también de tiempo en tiempo.
Curvatura

Concepto importante usado por Riemann en 1854 .
Trató de caracterizar el espacio euclidiano y los espacios en los cuales las figuras pueden ser movidas sin que cambien en forma y magnitud.

Existes dos tipos de geometrías: hiperbólica y elíptica
La geometría hiperbólica:
Satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa (en esta geometría, por ejemplo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es inferior a 180°).

La geometría elíptica o geometría esférica:
Llamada así por Félix Klein, satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva (en esta geometría, por ejemplo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°)
La pseudoesfera de Beltrami
Una pseudoesfera es la superficie de revolución que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota.
Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla, donde la pendiente es cero.
"Pseudoesfera" proviene de ciertas analogías existentes con la esfera de dimensión 2.
La aplicación de las nuevas geometrías

Consideremos por ejemplo el globo terráqueo ya que muestra las líneas de longitud y las líneas de latitud que se usan para definir la posición en nuestro planeta.
CONCLUSIONES
Las geometrías no euclideanas lograron cuestionar el estatus de la geometría euclideana como una descripción de las propiedades geométricas del mundo que nos rodea.
Fueron pocos los matemáticos que pensaron que estas teorías eran aplicables a la realidad.
A través de la geometría hiperbólica se puede estudiar acerca del espacio visual.
Las geometrías no euclideanas también demostraron que no hay teorías definitivas, absolutas y que entonces la mejor actitud en el conocimiento es la apertura y flexibilidad para nuevas ideas y teorías.
Referencias Bibliografícas

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Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides
Recuperado de:https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides
Gauss (1777-1855).-
Nació en la ciudad alemana de Brunswick
Se educó en la Universidad de Göttingen.
"Príncipe de los matemáticos''
Existen triángulos con áreas tan grandes como se quiera"
Anti-euclidiana / Astral / No euclidiana

Lobachevsky (1792-1856).-
Profesor de la Universidad de Kazán
El primer ensayo se llamó "Sobre los fundamentos de la geometría" (1829-1830) .
Imaginaria /Pangeometría
Propuso un sistema geométrico basado en la hipótesis del ángulo agudo.

Bolyai (1802-1860).-

Hijo de Farkas Bolyai.
En 1832-1833, János publicó "Ciencia absoluta del espacio''
Desarrolló un concepto geométrico riguroso de los números complejos como pares ordenados de números reales.
GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA
Una geometría en la que el V postulado no se satisface, recibe el nombre de geometría no euclidiana
Segundo "D"

Exposición #12

Gauss no publicó sus resultados
Lobachevsky y Bolyai no provenían de los países ``importantes'' en la ciencia de la época.
Lobachevsky publicó primero en ruso.
La geometría de moda era la proyectiva
Los matemáticos no se sentían cómodos con ideas radicalmente nuevas.
Recuperado de: http://geometrica.com/es/boveda-news
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