Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Egyenletek, egyenletrendszerek

No description
by

Dóra Antal

on 15 October 2015

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Egyenletek, egyenletrendszerek

Témák
III. Egyenletek megoldása szorzattá alakítással
II. Az egyenletek megoldása grafikus módszerrel
IV. Szöveges feladattal egyenletek megoldása
Egyenletek, egyenletrendszerek
I. Egyszerű egyenletek megoldása
Ókori Mezopotámiából
Kr. e. 2000 ékírásos táblák
az akkori írástudók meg tudtak oldani egyenleteket.
A legrégebbi egyiptomi írásos emléken láthatjuk nyomait a gyakorlatból eredő algebrai egyenleteknek és néhány egyenletre vezető feladatnak is.
Kezdetektől
A papirusz írója Ahmesz királyi írnok volt.
Mindennapi élettel kapcsolatban tűzött ki számolási feladatokat, és adta meg azok megoldásait.
Számos hasonló lelet bukkant fel, melyeken további feladatok találhatók, jelezve az akkori számolási technikák fejlettségi szintjét, melyeket egyszerű egyenletek megoldására használtak fel.
I. Egyszerű egyenletek megoldása
II. Az egyenletek megoldása grafikus módszerrel
III. Egyenletek megoldása szorzattá alakítással
IV. Szöveges feladattal egyenletek megoldása
1. példa
Melyik az a szám amelynek kétszereséből ha 1-et kivonunk, akkor az eredmény megegyezik azzal az értékkel, melyet úgy kapunk, hogy a szám háromszorosát 2-ből kivonjuk.
2. példa
Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:
2(x-3)-4=2x+2
1. példa
Oldjuk meg grafikusan a 2x-2=7-x egyenletet!
2. példa
Oldjuk meg a következő egyenletet: |X+5|=- x-1
Az egyenlet két oldalát úgy tekinjük, mint függvények hozzárendelési szabályát, és ezeket ábrázolva keressük meg a
grafikonjaik metszéspontját
.
A közös pont
x
koornátája megadja ez egyenlet gyökét.
Projekt B
1. példa
Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán:
(x-2)(2x+2)(3x-6)(4x-3)=0
2. példa
Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:
(2x+7)(x+2)-(x-5)(X+2)=(2x-3)(x+2)
3. példa
Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:
(2x+6)(x+2)+(x+3)(2x-1)=(3x+9)(x-2)
4. példa
Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

Egyenletekkel megoldható feladatok
1. példa
Négy CD lemezen összesen 1000 kötetnyi anyagot sikerült tárolni. Ha az elsőn 15-tel többet, a másodikon 70-nel többet a harmadikon kétszer annyit, a negyediken pedig feleannyit tárolnánk, akkor mindegyik lemezen ugyanannyi kötet szerepelne. Hány kötet szerepel az egyes lemezeken külön-külön?
2. példa
Egy apa kétszer annyi idős mint fia.Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint fia. Hány éves most az apa és a fia?
3. példa
Egy kirándulás során a költségeinket a következőképpen tudtuk fedezni. Az első nap elköltöttük a pénzünk harmadát és még 900 Ft-ot, a második nap a megmadt rész harmadát és még 600 Ft-ot, így az utolsó, harmadik napra 1400 Ft-unk maradt. Mennyi pénzt vittünk magunkkal?
4. példa
Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 10. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 36-tal nagyobbat kapunk. Melyik ez a szám?
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
1. példa
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
2x+y=3
4x+2y=6
2. példa
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x-3y=3
3x-9y=8
3. példa
Egy háromszög egyik külső szöge 130°, a nem mellette fekvő két belső szög különbsége 10°. Mekkorák a háromszög szögei?
1. példa
(tk. 148. old.)
Melyik az a szám amelynek kétszereséből ha 1-et kivonunk, akkor az eredmény megegyezik azzal az értékkel, melyet úgy kapunk, hogy a szám háromszorosát 2-ből kivonjuk.
Megoldás:
A keresett szám legyen x! A feladatban megfogalmazott tulajdonságokat írjuk le a matematika nyelvét használva:
2x-1=2-3x

5x=3
x=
2. példa
(tk. 149. oldal)
Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:
2(x-3)-4=2x+2
Ellenőrzés:
2 -1=

2-3 =
Megoldás:
2x+6-4=2x+2
2x+2=2x+2
A egyenlet rendezése után végeredményül olyan egyenlőséghez jutunk, amely minden esetben igaz lesz, függetlenül attól, hogy milyen értéket adunk az x változónak. Tehát minden egész szám megoldása a feladatnak. Az ilyen egyenleteket
azonosságoknak
hívjuk.
Az egyenlet fogalma
Az egyenlettel valójában egy kijelentő mondatot fogalmazunk meg, melyben egy, vagy esetleg több ismeretlen, változó található.
A matematikai logika azokat a mondatokat, melyekről egyértelműen eldönthető, hogy igazak-e vagy hamisak, kijelentéseknek vagy állításoknak nevezi.
Az egyenletek megoldása során arra törekszünk, hogy olyan x értéket keressünk, melyre az állítás igaz logikai értéket vesz fel.
Mi is az az egyenlet?
1. példa
(tk. 152. oldal)
Oldjuk meg grafikusan a 2x-2=7-x egyenletet!
Megoldás:
Az egyenlet alaphalmaza, melyen a megoldásokat keressük: R.
A két oldalnak megfelelő függvények, melyek grafikonjait elkészítjük:
f(x)=2x-2 g(x)=7-x
A két lineáris függvénynek egyetlen közös pontja van, melynek x koordinátája 3. Tehát az egyenlet megoldása x=3.
Ellenőrzés:
f(3)=2 3-2=4 valamint g(3)=7-3=4
Láthatjuk, hogy f(3)=g(3), tehát az x=3 valóban megoldás
.
.
Megoldás:
A halmaz a valós számok halmaza: R. A jobb és bal oldal függvényei:
f(x)=|x+5| és g(x)=- x-1







A metszéspontok a grafikonokról leolvashatók x =-8 és x =-4
2. példa
(tk. 152. oldal)
Oldjuk meg a következő egyenletet: |X+5|=- x-1
1
2
Ellenőrzés
után a kapott eredmények megfelelnek a feladatnak.
1. példa
(tk. 157. oldal)
Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán:
(x-2)(2x+2)(3x-6)(4x-3)=0
.
Megoldás:
Az egyenlet bal oldalán egy szorzat áll. Ennek az értéke akkor és csak akkor lehet 0, ha a tényezők közül valamelyik 0. Ez négy esetmegvizsgálását jelenti
Ha x-2=0, akkor x=2
Ha 2x+2=0, akkor x=-1
Ha 3x-6=0, akkor x=2
Ha 4x-3=0, akkor x=
Az egyenletünknek tehát négy különböző racionális szám lesz a megoldása. Ezeket egymástól mekülömböztetve a következőképpen adhatjuk meg:
Ellenőrzéssel könnyen meggyőződhetünk a gyökök helyességéről.
2. példa
(tk. 157. oldal)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:
(2x+7)(x+2)-(x-5)(X+2)=(2x-3)(x+2)
Megoldás:
A bal oldalon álló két tagból emeljük ki a közös tényezőt:
(x+2)[(2x+7)-(x-5)]=(2x-3)(x+2)
(x+2)(x+12)=(2x-3)(x+2)
Ezután rendezzük 0-ra az egyenletet, majd kiemeljük az
(x+2) tényezőt:
(x+2)[(x+12)-(2x-3)]=0
(x+2)(15-x)=0
Ez az egyenlet akkor lesz igaz, ha x+2=0, azaz x=-2, vagy ha 15-x=0, ekkor x=15. A feladatnak tehát ez a kettő gyöke van, ezek helyességéről ellenőrzés során meggyőződhetünk.
3. példa
(tk. 158. oldal)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:
(2x+6)(x+2)+(x+3)(2x-1)=(3x+9)(x-2)
Megoldás:
Észrevehetjük, hogy 2x+6=2(x+3) és 3x+9=3(x+3). Így az egyenletünket a következő alakra hozhatjuk:
2(x+3)(x+2)+(x+3)(2x-1)=3(x+3)(x-2)
(x+3)[2(x+2)+(2x-1)]=3(x+3)(x-2)
(x+3)(4x+3)=3(x+3)(x-2)
A jobb oldalt 0ra rendezve és az azonos tényezőket ismét kiemelve a következő egyenletet kapjuk:
(x+3)(x+9)=0
A bal oldali szorzat értéke akkor lesz0, ha valamelyik tényező értéke 0. Azaz x+3=0 vagy x+9=0. Innen az egyenlet megoldásai a következők lesznek: és , ezek helyességéről ellenőrzés során könnyen meggyőződhetünk.
4. példa
(tk. 159. oldal)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

Megoldás:
A megoldás során arra törekszünk, hogy az egyenlet bal oldalán álló kifejezést szorzattá alakítsuk.
Mindegyik tagból kiemelhetjük az x változót, ekkor a következő egyenletet kapjuk:
=0
Ezután a második tényezőt tovább tudjuk bontani. Csoportosítsuk a benne szereplő tagokat az alábbi módon:

x[x(x-1)-3(x-1)]=0
A szögletes zárójelben szereplő (x-1)-et kiemelve, az egyenlet bal oldalát szorzattá alakítjuk:
x(x-1)(x-3)=0
Ennek az egyenletnek a gyökei, az előzőek alapján:

Ezek helyességéről az ellenőrzés után meggyőződhetünk.
1. példa
(tk. 179. oldal)
Négy CD lemezen összesen 1000 kötetnyi anyagot sikerült tárolni. Ha az elsőn 15-tel többet, a másodikon 70-nel többet a harmadikon kétszer annyit, a negyediken pedig feleannyit tárolnánk, akkor mindegyik lemezen ugyanannyi kötet szerepelne. Hány kötet szerepel az egyes lemezeken külön-külön?
Megoldás:
Válasszuk ismeretlennek a kötetszám változása utáni egyenlő értékeket, és ezt jelöljük x-szel! A CD-ken található kötetszámok kifejezhetők x-szel.
A kötetszámot ismerve felírhatjuk a következő egyenletet:
2
x=210
Tehát a változás utáni egyenlő kötetszám 210 kötet, ezért az egyes CD-ken található kötetek száma rendre 195, 280, 105 és 420 kötet.
Ellenőrzés: 195+280+105+420=1000
2. példa
(tk. 179. oldal)
Egy apa kétszer annyi idős mint fia.Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint fia. Hány éves most az apa és a fia?
Megoldás:
Ha a fiú most x éves, akkor az apa 2x. Tíz évvel ezelőtt a fiú x-10, az apa 2x-10 éves volt. Az apa ekkor háromszor annyi idős volt, mint a fia, tehát: 3(x-10)=2x-10
Az egyenlet megoldása:
3x-30=2x-10
x=20
Tehát a fiú most 20 éves, ugyanakkor az apja 40. 10 évvel ezelőtti koruk pedig 10, illetve 30 év, azaz az apa valóban háromszor annyi idős volt, mint fia.
3. példa
(tk. 180.oldal)
Egy kirándulás során a költségeinket a következőképpen tudtuk fedezni. Az első nap elköltöttük a pénzünk harmadát és még 900 Ft-ot, a második nap a megmadt rész harmadát és még 600 Ft-ot, így az utolsó, harmadik napra 1400 Ft-unk maradt. Mennyi pénzt vittünk magunkkal?
Megoldás:
A kérdéses összeget megkereshetjük úgy, hogy az időben "visszafelé" haladva lebontogatással megadjuk az előző nap rendelkezésünkre álló összeget.
A harmadik napon 1400 Ft-unk volt.

A második napon, mivel az 1400+600=2000 Ft a rendelkezésünkre álló pénz

része, ezért (1400+600) =3000 Ft volt nálunk a nap elején.

Az első napon hasonló okok miatt (3000+900) =
5850
Ft volt nálunk.
4. példa
(tk. 181. oldal)
Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 10. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 36-tal nagyobbat kapunk. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Általában egy alakú kétjegyű számot a következőképpen írhatunk fel: 10a+b
Legyen az eredeti szám tízeseinek száma x!





A feladat alapján felírhatóegyenlet:
9x+10+36=100-9x
18x=54
x=3
Eszerint az eredeti szám a 37. A felcserélt számjegyű szám a 73, és valóban 73-37=36.
1. példa
(tk. 188. oldal)
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
2x+y=3
4x+2y=6
Megoldás:
A feladatban szereplő egyenletrendszerben a második egyenlet éppen kétszerese az elsőnek. Ezért az egyik egyenlet következménye a másiknak, azaz nem hordoz újabb információt. Ezért ennek az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.
2. példa
(tk. 189. oldal)
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x-3y=3
3x-9y=8
Megoldás:
A második egyenlet 3-mal osztva: x-3y= adódik, ami ellentmond

az első egyenletnek. Ezért ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása.
3. példa
(tk. 193. oldal)
Egy háromszög egyik külső szöge 130°, a nem mellette fekvő két belső szög különbsége 10°. Mekkorák a háromszög szögei?
Megoldás:
Jelőljük a szóban forgó két belső szöget -val és -val! Tudjuk, hogy ezek összege a nem mellettük található külső szög nagyságát adja.







Ez alapján és a feladatban megfogalmazott feltételek alapján a következő egyenletrendszert kapjuk:


A két egyenletet összeadva 2 =140°, vagyis =70° adódik. Ezt valamelik egyenletbe visszahelyettesítve: =60°
A háromszög szögei tehát: 70°, 60° és 50°.
Köszönöm a figyelmet!
Készítette: Antal Dóra
Felhasznált irodalom:
Kiadó: Mozaik Kiadó
Cím: Sokszínű Matematika 9.
Szerzők: Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János Dr., Vincze István
Full transcript