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Antenas Fractales

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by

Cristina Vivar

on 24 September 2013

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Transcript of Antenas Fractales

Antenas Fractales
The Way out
Escuela Politécnica Nacional
Erazo Andres
Saúl Ruiz
Cristina Vivar

En la iteración n-ésima tenemos:  
Nn = 8n, cuadrados.
Cada uno con un lado de longitud:   Ln = (1/3)n.  
El área total en la n-ésima iteración será:  
An= Ln2 Nn = (8/9)n.  
iteraciones tendiendo a infinito, superficie es nula. su perímetro, es: ¡infinito! 
 

Carpeta o alfombra de Sierpinski y esponja de Menger

Triángulo de Sierpinski

Dividimos cuadrado de lado unidad en nueve cuadrados
recortamos el central.
Repetimos el proceso en cada iteración

Descomponer en tres figuras congruentes -
tres copias  autosimilares - es autosimilar.
Cada una con mitad de tamaño de la original.
Si doblamos el tamaño de estas recuperamos el triángulo inicial.

triángulo de Sierpinski en 3
dimensiones con tetraedros.


(iteración n=2) repetimos el proceso
para cada triángulo de lado ½.
Tenemos ahora tres triángulos invertidos de lado 1/4.

(iteración n=1) tomemos puntos medios de cada lado
a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2.
Lo recortamos

Partimos (iteración n=0) de  la superficie
de un triángulo equilátero de lado unidad
.

cubo - aplicamos un proceso semejante –
obtenemos esponja de Menger.
En este caso la superficie es infinita y su volumen nulo.


repetimos infinitamente el proceso obtenemos fractal triángulo de Sierpinski.











1919

Waclaw Sierpinski

Curva de Hilbert
Curva de Hilbert
El Copo de Nieve de Koch
Las matemáticas pueden traicionar el sentido común cuando se construyen curvas que llenan el espacio
El copo de nieve de Koch
Para construirla se toma un segmento unitario y se extrae el tercio central, remplazandole por dos segmentos de longitud
Copo de nieve de Koch
frecuencia de resonancia cae - número
se aproxima a un límite de forma asintótica
Este límite representa la frecuencia que presentaría una curva de Koch ideal

de iteraciones del fractal crece.

Antenas con dipolos Fractales


anchos de mella: 1/5, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5 y 9/10
Para que todas ellas sean resonantes a
la misma frecuencia - tamaño:
Concreto
distinto al de las demás
Si crece el ancho de mella - mayor miniaturización
mayor ancho de mella - mayor dimensión
Por lo tanto: mayor dimensión fractal - mayor miniaturización de las antenas en bucle.


Antenas Fractales en Bucle

dipolos se benefician de esta geometría
Se consiguiendo una miniaturización
en la longitud total (en resonancia)
la frecuencia de resonancia disminuye -aumenta el número de iteraciones.
decremento en la frecuencia está íntimamente relacionando con la miniaturización

aunque la directividad de las antenas decrece cuando aumenta
el número de iteraciones, la eficiencia en la apertura del campo radiado aumenta
Una pérdida en la directividad de 1.28 dB se compensa con un decremento del 38% en el área ocupada (7 veces más pequeña)


perímetro de una antena en bucle próximo a
longitud de onda - más dependen sus características de la forma de la antena.
Una forma fractal
reduce el tamaño de la antena,
incrementando la eficiencia con la que se rellena el volumen con conductores eléctricos. 

Antenas Fractales Bucles Resonantes

La resistencia de entrada de ambas antenas frente al perímetro de la antena circular –en longitudes de onda-

Antena circular con un perímetro de 0.05l
resistencia de entrada de 0.000004 ohmios- cuando el
perímetro es de 0.26l
incrementa a sólo 1.17ohmios
Para el valor más bajo de frecuencia en la antena fractal
resistencia de entrada es de sólo 0.000015ohm, éste
en el extremo de las frecuencias altas.
alcanza el valor de 26.65W
Este valor mejora notablemente la conexión a una línea
de transmisión de 50W

en un rango de frecuencias normalizado
con la longitud del perímetro del bucle circular
ésta se mueve entre unos valores de 0.05l a 0.26l
El perímetro del fractal queda entre 0.13l y 0.68l .


Áreacurva Koch =
2.05 r2
El área de un círculo es: 
pi r2
Al comparar las dos áreas obtendremos: 
Áreacurva Koch / ÁreaBucle circular = 0.65
Perímetrocurva Koch / PerímetroBucle circular = 2.614

la cuarta iteración de una isla de Koch VS una antena circular

Incrementa el perímetro hasta el "infinito" manteniendo
constante el volumen
Este incremento de longitud disminuye el volumen ocupado por la antena en resonancia
En bucles pequeños aumenta la resistencia de entrada. 
Una isla de Koch encajada en una pequeño bucle circular aumenta de forma notable la resistencia de entrada.


propiedades

curvas de impedancia de entrada

la impedancia de entrada de los dipolos
frente a la frecuencia

cinco iteraciones VS dipolo recto clásico (iteración 0)

segunda iteración es mucho más
pequeña que el cuadrado original

la longitud total del segmento es variable.
2 segmentos extremos, y el central miden 1/3 longitud inicial.
Los otros 2 segmentos son variables, con el fin de ajustar el perímetro total
"ancho de mella" (indentation width).
mayor es este ancho, mayor es la dimensión

fractal de Minkowski con un perímetro cercano longitud de onda VS antena cuadrada clásica


variedad de geometrías euclídeas
limitaciones insalvables
una cantidad importante de espacio
la resistencia de entrada en los bucles
pequeños es muy baja si queremos conectar una línea de alimentación.
isla" fractal - salva inconvenientes

introducción

varias iteraciones , todas ellas resonantes a la misma frecuencia
alto grado de efectividad sólo para las primeras
iteraciones
longitud total del fractal crece sin límites - la reducción de tamaño tiende a un límite finito

Escala de interación

Trabaja como dipolo
con dos curvas de Koch dispuestas de
forma simétrica
alimentadas en su centro
beneficios de la geometría
fractal disminuye - número de iteraciones se incrementa más allá de unas pocas.

Monopolo de Koch  

trabajar con una aproximación - perímetro infinito es
imposible de fabricar
pocas iteraciones se aprecian las buenas propiedades de esta geometría. 

Ejemplo

Antenas Árbol
Utilizado como un dipolo lo constituyen las estructuras arboresentes
Antenas de árbol
Si definimos la longitud eléctrica total como la mínima distancia que debe recorrer un electrón desde la base del fractal hasta el extremo de cualquiera de sus ramas terminales, se observa que en los árboles fractales esta longitud permanece constante a lo largo del proceso iterativo.

Análisis de Antena
Estas antenas se montan de forma simétrica, alimentadas en su centro geométrico. Se puede ver cómo la frecuencia de resonancia decrece a medida que aumentan las iteraciones.
Análisis de la Antena
Los patrones de radiación de un dipolo en árbol son muy parecidos a los del dipolo recto en todos los cortes.
Análisis de la antena
Paralelo perpendicular
Antenas de árbol tridimencional
Su crecimiento tienen lugar en las tres dimensiones
Antena en árbol tridimensionales
En dos planos ortogonales
Análisis de la Antena
Resonancia disminuye
Los patrones de radiación
Varían al aumentar el numero de iteraciones.
Comparación de dipolos fractales
TIPOS

Una antena fractal es una antena que utiliza un fractal, diseñado para maximizar la distancia o el perímetro que puede recibir o transmitir, en un volumen o superficie dada.
La clave de su aspecto es la repetición de un patrón sobre uno o más espacios.
Debido a esta razón las antenas fractales son:
Muy Compactas
Son multibanda
De expectro expandido
Tienen varias utilidades en telefonia y en comunicación por microondas.


Si tomamos el intervalo [0, 1/9] y lo ampliamos 9 veces obtendremos de nuevo el conjunto de Cantor. De hecho, desde cualquier nivel podemos conseguirlo. De modo que toda parte, por minúscula que sea, contiene la información del todo. 


Las antenas compuestas se utilizan en transmisión de imágenes y comunicaciones.
Composición lineal.
Si asumimos una serie de simplificaciones: igual carga en cada antena y un espaciado uniforme de un cuarto de longitud de onda entre ellas, nos encontramos con un lóbulo principal -producto de la interferencia constructiva- así como una serie de pequeños lóbulos laterales. En la figura aparecen señalados en azul.

Antenas Compuestas

Una antena fractal tiene una respuesta en frecuencia completamente diferente a las antenas tradicionales ya que es capaz de ofrecer excelentes ganancias en diferentes frecuencias de manera simultánea.
Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas.

ANTENAS FRACTALES.

Fractales clasicos.

Un conjunto autosimilar afín S es un fractal si tiene como dimensión fractal un número que no es un entero.


Definición

Desde hace ya varios siglos atrás los conceptos de fractales interesaron a muchos intelectuales. ¿Cómo podes aplicar estas ideas desarrolladas en el pasado para el beneficio presente? ¿Qué diferencia una antena fractal de una convencional? ¿Cómo se relacionan estos conceptos con las telecomunicaciones? En nuestros días aprovechamos los aportes de ellos para mejorar nuestros elementos y sistemas de comunicación, y precisamente, este es el tema principal de este escrito.


Introduccion

Condición para una configuración optima.

Los haces secundarios laterales en distribuciones periódicas son mayores aún debido al elevado número de elementos presentes. Las configuraciones aleatorias aportan lóbulos laterales menores con una notable reducción en el número de elementos.
Las figuras comparan los niveles en los lóbulos laterales de ambas composiciones.  Según todo lo visto, se produce un punto de intersección donde el número de elementos hace que una de las composiciones funcione mejor que la otra.




Comparacion del lobulo lateral

Una distribución plana aleatoria presenta características más deseables. Esparciendo 324 elementos al azar en el mismo rectángulo que antes, observamos en la figura cómo los lóbulos laterales son, en general, menores. Además se produce una simetría rotacional alrededor de un centro. 




Generemos una antena fractal. Vamos a hacer uso de un sistema de funciones iteradas para ir rellenando, de forma aleatoria, un triángulo de Sierpinski.



Una antena óptima no debería presentar lóbulos laterales. La ventaja de poseer un solo haz es vital en lugares como los aeropuertos.
Distribucion plana.
Una configuración plana, en donde las antenas se distribuyen formando una matriz, tiene tendencia a producir haces principales y laterales de la mismas dimensiones.


El conjunto de Cantor toma su nombre de Georg F. L. P. Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.
Para obtenerlo se procede del siguiente modo. Partimos de  un segmento de tamaño unidad, S0 = [0,1], tal y como se muestra en el paso n=1 de la figura inferior.  Dividimos el segmento en tres subsegmentos de tamaño 1/3 cada uno.


Conjunto de cantor.
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