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História da Matemática 2

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Thiago Cruz

on 26 October 2012

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AS DÉCADAS POSTERIORES DO SÉCULO XIX E A ARITMETIZAÇÃO DA ANÁLISE Até os tempos modernos pensava-se que os gregos haviam esgotado, bastante satisfatoriamente, a geometria sintética do triângulo e do circulo. Longe disso, pois o século XIX testemunhou uma reabertura surpreendente do estudo dessa matéria. A impressão que se tem hoje é que esse campo de investigações deve ser ilimitado. Afora algumas descobertas anteriores isoladas, como o teorema de Commandino de 1565 e o teorema de Ceva de 1678, poucas contribuições novas e significativas foram dadas a geometria sintética. O geômetra e poeta italiano do século XVIII, Lorenzo Mascheroni, fez a
surpreendente descoberta de que todas as construções euclidianas, na medida em que os elementos dados e procurados são pontos, podem ser feitas apenas com o compasso, sendo a régua portanto um instrumento supérfluo. Muito dos importantes elementos associados a um triângulo, foram descobertos na primeira metade do século XIX, mas foi na segunda metade desse século que o assunto floresceu e se multiplicou de maneira prodigiosa. A maioria dessas descobertas se deu na França, Alemanha e na Inglaterra. Compasso ou régua apenas Obviamente não se pode traçar uma reta com o compasso, mas qualquer reta a que se chegue numa construção euclidiana pode ser determinada com o compasso apenas encontrando-se dois de seus pontos. Lorenzo nasceu em Castagneta, Itália, em 1750. Começou a estudar matemática tarde, era amigo de Napoleão. Mascheroni morreu em Paris em 1800. Geometria Projetiva
Embora Desargues, Monge e Carnot tivessem iniciado o estudo da geometria projetiva, seu desenvolvimento verdadeiramente independente se iniciou no século XIX com Jean Victor Poncelet. Poncelet nasceu em Mertz em 1788, foi aluno de Monge na Escola Politécnica, serviu como tenente de engenharia na campanha fatal de Napoleão na Rússia. Foi prisioneiro de guerra e nesse tempo planejou seu grande Traité dês Proprietés Projectives dês Figures. Morreu em Paris, em 1867, quando tinha 79 anos de idade. Muitas das ideias de Poncelet referentes a geometria projetiva foram posteriormente desenvolvidas pelo geômetra suíço Jacob Steiner. Steiner nasceu em Utzensdorf em 1796 e só aprendeu escrever ao 14 anos de idade. Aos 17 tornou-se aluno de Pestalozzi, famoso educador suíço que o incutiu o amor pela matemática. Diz-se que ele detestava o método analítico, que considerava uma muleta para os espíritos menos dotados. Ele produziu geometria nova com uma rapidez tão grande que as vezes não tinha tempo de anotar suas demonstrações, resultando daí que muitas de suas descobertas permanecessem por anos como quebra-cabeças para aqueles que procuravam demonstrações. O lado analítico da geometria projetiva teve progressos extraordinários nos trabalhos de Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868), Michel Chasles (1793-1880) e, particularmente, Julius Plücker (1801- 1868). Plücker ganhou fama de grande campeão da geometria analítica tanto quanto Steiner da geometria sintética. No fim do século XX a geometria projetiva recebeu muitos tratamentos postulacionais e se descobriram geometrias projetivas finintas. E se mostrou que, com graduais acréscimos e alterações de postulados, pode-se passar da geometria projetiva a geometria euclidiana, encontrando-se muitas outras geometrias importantes no caminho. Geometria Analítica Há outros sistemas de coordenadas além dos sistemas cartesianos retangulares e oblíquos. Alias, podem-se inventar sistemas de coordenadas bastante facilmente. O sistema cartesiano é, de longe, o mais comum de todos e tem sido explorado enormemente. Algumas curvas, porem, como muitas espirais, apresentam equações impraticáveis quando referidas a um sistema cartesiano, ao passo que, quando referidas mais apropriados, passam a ter equações relativamente simples. No caso das espirais é particularmente útil o sistema de coordenadas polares. Segundo parece, a ideia do sistema polar foi introduzida em 1691 por Jacob Bernoulli. Um desenvolvimento interessante quando a sistema de coordenadas foi inaugurado pelo geômetra prussiano Julis Plücker em 1829, ao notar que nosso elemento fundamental não precisa ser um ponto, podendo ser qualquer ente geométrico. Embora Descartes tenha mencionado a geometria analítica sólida, ele não a elaborou. Só em 1700 o assunto foi desenvolvido sistematicamente por Antoine Parent (1666-1716). Enquanto a geometria sintética fazia avanços de grande monta com facilidade, a geometria analítica atolava-se num pantanal de cálculos algébricos Dentre os pioneiros que contribuíram para a geometria analítica está Julius Plücker. Plücker nasceu em Elberfeld em 1801, estudou em Bonn, Berlim e Heidelberg. Faleceu em Bonn em 1868. Por quase 20 anos, seguindo-se a sua indicação como professor de física, Plücker dedicou-se amplamente a pesquisas em analise espectral, magnetismo e superfícies de ondas de Fresnel. Mais tarde voltou ao seu primeiro amor, a matemática, e desenvolveu a geometria quadridimensional das retas no espaço simultaneamente com a sua teoria dos “complexos” e “congruências” de retas do espaço. Geometria n-dimensional As primeiras e nebulosas noções de um hiperespaço n-dimensiona (n>3) em pontos se perdem na obscuridade do passado e se confundem com considerações metafísicas. A geometria projetiva de dimensão superior foi quase que inteiramente desenvolvida pela escola de geômetras italianos, embora seu estudo tivesse sido inaugurado por Clifford em 1878. Sem sombra de duvida, a expressão inicial mais importante desse ponto de vista analítico da geometria de dimensão superior encontra-se na grande conferência probatória de Riemann em 1854, embora só publicada em 1866. Foi nessa conferência que Riemann construiu sua noção de variedade n-dimensional e suas relações mensuradoras, mantendo a frente do espírito, por toda a discussão, as concepções geométricas e a imaginação. Felix Klein e o programa de Erlanger Indicado em 1872, com apenas 23 anos de idade, professor titular da faculdade de filosofia e membro do conselho da Universidade de Erlanger. Klein revelava de uma lado seu interesse profundo por questões pedagógicas e de outro seu envolvimento sério com a pesquisa matemática Seu trabalho escrito, baseado em pesquisa desenvolvida por ele próprio e Sophus Lie (1842-1899) em teoria dos grupos, apresentava a notável definição de geometria que serviu para codificar essencialmente toas as geometrias existentes na época e apontou o caminho para novas e frutíferas avenidas da pesquisa geométrica. Tornou-se conhecido como Programa de Erlanger e apareceu exatamente na época em que a teoria dos grupos estava invadindo quase todos os domínios da matemática e alguns matemáticos começavam a achar que toda a matemática não passaria de alguns aspectos dessa teoria. Talvez se possa considerar esse programa como a realização matemática isolada mais importante de Klein. Do ponto de vista de Klein a geometria projetiva é o estudo das propriedades dos pontos de um plano projetivo que permanecem invariantes quando se submetem os pontos ao grupo das transformações chamadas projetivas Felix Klein nasceu em Düsseldorf em 1849. Estudou em Bonn, Göttingen e Berlim e foi assistente de Julius Plücker em Bonn. Foi professor na Universidade de Erlanger, onde seu trabalho inaugural lançou o programa descrito acima. Morreu em Göttingen em 1925. A aritmetização da análise Além da libertação da geometria e da libertação da álgebra, um terceiro movimento matemático profundamente significativo teve lugar no século XIX. Esse terceiro movimento, que se materializou lentamente, tornou-se conhecido como aritmetização da análise.
Quando se entende apenas parcialmente a teoria subjacente a uma certa operação matemática, há o perigo de se aplicar essa operação de maneira formal, cega e, talvez, ilógica. O primeiro grande progresso se deu em 1821, quando o matemático Frances Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) pôs em prática com êxito a sugestão de desenvolver uma teoria dos limites aceitável e definir então continuidade, diferenciabilidade e integral definida em termos do conceito de limite. Weierstrass defendeu um programa no qual o próprio sistema de números reais antes de mais nada fosse tornado rigoroso para que assim tudo que dele decorresse na analise inspirasse segurança. Esse notável programa, conhecido como aritmetização da análise, revelou-se difícil e intrigado, mas acabou se concretizando através de Weierstrass e seus seguidores e hoje a análise pode ser deduzida logicamente de um conjunto de postulados que caracterizem o sistema dos números reais.
Weierstrass e Riemann Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, nasceu em Ostenfelde em 1815, é uma exceção notável a essas duas regras gerais. Mal orientado, encaminhou-se na juventude para o estudo de leis e finanças, o que retardou sua iniciação em matemática; e só aos 40 anos de idade conseguiu se libertar do ensino secundário, quando obteve um lugar de instrutor na universidade de Berlim. Ele foi provavelmente o maior professor de matemática avançada que o mundo já teve. Grande parte de suas descobertas matemáticas tornaram-se de domínio do mundo matemático não através de suas publicações, mas através de notas de suas aulas. Generosamente permitia que alunos e outros polissem (ficando com os méritos) muitas das jóias matemáticas descobertas por ele. Weierstrass foi talvez o primeiro a dar uma definição postulacional de determinante. Georg Friedrich Riemann exerceu uma influência profunda em vários ramos da matemática, em particular geometria das funções, e poucos matemáticos deixaram a seus sucessores legado de ideias tão rico para o desenvolvimentos posteriores. Riemann nasceu em 1826, numa aldeia de Hanover, filho de um pastor luterano. Suas maneiras sempre foram tímidas e sua saúde sempre foi frágil. Riemann tornou claro o conceito de integralidade. Em 1857 Riemann foi indicado professor assistente de Göttingen. Em 1866, com apenas 40 anos de idade , morreu vítima da tuberculose no norte da Itália, para onde havia ido a procura de melhoras para sua saúde.

Cantor, Kronecker e Poincaré Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu em S. Petersburgo, Rússia, em 1845. Recebeu influência de Weierstrass e faleceu no hospital de doenças mentais de Halle em 1918. Os primeiros interesses de Cantor se voltavam para a teoria dos números, equações indeterminadas e séries trigonométricas . Em 1874 começou seu revolucionário trabalho em teoria dos conjuntos e teoria do infinito. Com este ultimo trabalho, Cantor criou um campo novo da pesquisa matemática. Seus pontos de vista encontraram oposição considerável, principalmente da parte de Leopold Kronecker, que resolutamente se opôs aos esforços de Cantor no sentido de conseguir um lugar de professor na Universidade de Berlim, onde Kronecker lecionava. Kronecker nasceu em Liegnitz, perto de Breslau, 1823. Acumulou considerável fortuna pessoal graças ao seu incomum talento financeiro. Como finitista, ele condenava o trabalho de Cantor, que considerava como teologia e não como matemática. Acreditando que toda matemática deve se basear em métodos finitos desenvolvidos a partir dos números inteiros, era um pitagórico do século XIX. É sua a famosa frase: “Deus fez os números inteiros, todo o resto é criação do homem.” Faleceu em Berlim em 1891. Jules Henri Poincaré, geralmente reconhecido como o principal matemática de sua época, nasceu em Nancy, França, em 1854. Era um escritor prolífico, tendo deixado mais de 30 livros e mais de 500 artigos técnicos. Como Laplace, Poincaré contribuiu notavelmente para a teoria das probabilidades. Por toda a vida Poincaré foi uma pessoa de modos canhestros, além de míope e distraídos. Morreu em Paris em 1912. Sonja Kovalevsky, Emmy Noether e Charlotte Scott Sophia Korvin-Krukovsky, posteriormente conhecida como Sonja kovalevsky , nasceu em Moscou em 1850, numa família da nobreza russa. Casou com um paleontólogo em 1868 e mudou-se para Heidelberg. Em Heidelberg assistiu preleções na área de matemática e física. Chegando a Berlim em 1870, encontrou a universidade irredutível quanto a não aceitação de alunos do sexo feminino. Por isso aproximou-se de Weierstrass que, aceitou-a como aluna particular. Logo tornou-se sua discípula predileta. Morreu em 1891.
Amalie Emmy Noether, uma das mais importante matemáticas no campo da álgebra, nasceu em Erlanger, Alemanha, em 1882. Assim como seu pai, Npether era uma algebrista. Sua tese de doutorado, sobre sistemas completos de invariantes para formas biquadradas ternarias, foi defendida em 1907 sob a orientação de Gordan Em 1922 tornou-se professora, até 1933 quando, devido ao domínio e excessos nazistas, foi proibida , juntamente com muitos outros intelectuais, de participar de atividades acadêmicas. Logo após deixou a Alemanha para ocupar uma cadeira no Bryan Mawr College, Pennsylvania. Seus poucos anos nos Estados Unidos foram talvez os mais felizes e produtivos da sua vida. Faleceu em 1935, com 53 anos de idade, no auge de sua capacidade criativa. Charlotte Scott foi a primeira inglesa a receber um doutorado em matemática, na universidade de Londres. Ela passara nove anos na Universaide de Cambridge que, somente em 1948, iria propiciar as mulheres a oportunidade desse grau acadêmico. Scott foi uma professora magistral e seu campo de estudos foi principalmente a geometria das curvas. Escreveu três livros. Scott também teve papel ativo na fundação da sociedade matemática de Nova York.
Essa mulheres foram matemáticas competentes como inspiraram e capacitaram outras mulheres a entrar para a matemática. Quebraram-se as barreiras do sexo existentes no séculos XIX e começo do século XX no campo da matemática e as universidades por fim se abriram para a aceitação das mulheres em suas faculdades e para seu reconhecimento acadêmico.
Números primos O teorema fundamental da aritmética diz-se que os números primos são tijolos de construções a partir dos quais os outros inteiros são formados multiplicativamente. A partir do crivo de Erastóstenes pode-se obter uma formula maljeitosa para determinar o numero de primos inferiores a n. essa formula foi consideravelmente aprimorada em 1870 por Ernest Meissel. Talvez o mais surpreendente dos resultados já encontrado referentes a distribuição dos primos seja o chamado teorema dos números primos. Há muitas conjeturas em aberto com relação aos números primos. Uma delas aponta para a existência de infinitos pares de primos gêmeos. Outra é a conjectura feita por Christian Goldbach. Goldbach observou que todo inteiro par, exceto o 2, parecia ser exprimível como a soma de dois primos. Já se comprovou a hipótese de Goldbach para os números até 100 milhões.
Sequências de Euclides
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