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Geometria Espacial

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by

Gabriela Santana

on 1 September 2014

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Transcript of Geometria Espacial

Geometria Espacial
Cubos
É um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b = c). Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Princípio de Cavalieri
Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura (hS1=hS2) têm volumes iguais se as secções planas possuírem a mesma área.

Pirâmides
Elementos das Pirâmides
AB - aresta da base
VA - aresta lateral
VO - altura
VM - apótema
OM - apótema da base
O A - raio da circunferência circunscrita (R)

A
V
O
B
C
M
Pirâmides
Classificação das Pirâmides
Pirâmides Regulares
Pirâmides Oblíquas
Nota: A área da base sempre depende do polígono da figura.
Áreas das Bases das Pirâmides
Áreas das Laterais das Pirâmides
Área Total das Pirâmides
A área total é dada pela soma da área lateral com a área da base.
AT = AL + AB
Volume das Pirâmides

Nota:
Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e todas as arestas são congruentes).
Cones
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
A área total A é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
T
O volume de um cubo de aresta a é dado por:
V = a . a . a = a3
Volume:
Área Total:
Área Lateral:
Nota: Utilizamos o número 6 na fórmula, pois a pirâmide possui 6 lados, se ela possuisse 4 lados utilizaríamos o número 4.
O cone possui uma base e uma superfície descrita pelo movimento de uma reta sobre a curva da base. Essa reta é denominada geratriz e a curva que ela percorre é chamada de diretriz.
Geratriz
Diretriz
Base: região formada pela curva diretriz e seu interior;
Vértice: ponto de união das retas que formam a superfície lateral;
Eixo: reta que une o centro da base com o vértice do cone;
Altura: distância entre o plano da base e o vértice do cone;
Classificação
dos cones
Os cones podem ser classificados de acordo com o seu eixo:
Cone reto: quando o eixo é perpendicular ao plano da base.
Cone oblíquo: quando o eixo é oblíquo ao plano da base.
Cone de Revolução
Um cone reto pode ser obtido girando-se uma região triangular cujo contorno é um triângulo retângulo em torno de uma reta que contêm um dos catetos.
Por esse motivo, o cone reto é considerado um sólido ou corpo de revolução e é chamado cone de revolução.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g² = h² + R²

Secção Meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada de secção meridiana.
h
g
g
2 R
Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:

Área da Base
Área da Superfície Lateral
Volume
Área Total
At = Ab + Asl (Área da base + área da superfície lateral)

OU
Fórmula 1
Fórmula 2
Exercícios
(UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179m.A área da base dessa pirâmide, em m2, é:

a) 13272 b) 26544 c) 39816 d) 53088 e) 79432
(ENEM 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:

a)5 cm. b)6 cm. c)12 cm d)24 cm. e)25 cm.

(UFPA 2011) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando PI=3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente.
A) 18L B) 20L C) 22L D) 24L E) 26L
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