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삼각함수

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by

훈짱 전성

on 16 July 2014

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Transcript of 삼각함수

삼각함수
A
B
C
연구의 필요성 및 목적
대부분의 학생들은 삼각함수에 대해 기본적이고 교과서적인 내용만 알고 있을 것이다. 우리는 이런 학생들에게 삼각함수는 구체적으로 어떤 것이며, 어디서, 어떻게, 왜 쓰이는지 알리기 위해 이번 연구를 시작하게 되었다. 또한 삼각함수는 우리의 실생활에 매우 밀접한 관계를 갖고 있으므로 우리는 삼각함수를 알아야 할 필요가 있다.
삼각함수의 정의
삼각함수
(Trigonometric functions)는
수학에서 사용되는 각에 대한 함수이다.
삼각함수는 삼각형이나 주기적 현상의 가정에
주로 사용된다. 삼각함수는 일반적으로 해당 각이
존재하는 직각삼각형의 두 변의 비로 정의되며, 단위원에
서의 가변적인 호의 길이의 비로 정의되기도 한다. 이들은
무한
급수
나 특정 미분 방정식의 해로도 표현되어, 그 영역이 임의의 양의
값과 음의 값, 또는 복소수로 확장되기도 한다. 삼각함수에는 6개의 기본
함수가 있다. 삼각함수는 삼각형의 각에 변을 연관시킬 때 사용된다. 삼각함수
는 여러 방면에 응용되고 있으며,
특히 삼각형의 연구나 주기적 현상의 모형 구축에 중요하게 쓰인다.
삼각함수의 역사적 배경
삼각함수의 역사는 처음에 누가 발견을 했는지는 아무도 모른다. 그리고 삼각함수의 역사는 깜짝 놀랄 만큼 오래되었다. 처음에는 옛날사람들이 토지를 관리하다, 또는 항해를 하다가 얻은 지식들이 하나씩 쌓여 오늘날의 내용으로 발전 되었다고 볼 수도 있다. 사실 삼각함수의 발전은 천문학의 발달과 많은 관련이 있다. 왜냐하면 정확한 삼각함수의 공식들을 이용하여야만, 별과 별사이의 거리에 대한 연구를 할 수 있었기 때문이다.
실제로 밤 하늘을 보며 두 별 사이의 거리를 잰다고 생각해 보자. 팔을 쭉 뻗어 30cm자를 들고 두 별 사이의 거리를 재면 충분하다고 생각하기 쉽지만, 이 방법은 사람마다 팔의 길이가 다르므로 정확한 거리를 구하는 것과는 거리가 멀다. 극단적으로 생각하면, 눈 앞에 자를 놓고 두 별 사이의 거리를 잴 때와 팔을 쭉 뻗어 잴 때를 비교하면 되겠다. 고대 수학자들은 직접 거리를 구하는 것이 잘 되지 않으므로, 대신에 두 별 사이의 각도를 재는 방법을 사용하였다. 이것은 팔의 길이에 상관없이 누구나 별 사이의 거리를 짐작할 수 있는 방법이었다.
모든 별이 하나의 구면에 있다고 생각하였으므로, 이제 별까지 이르는 거리만 알면 두 별 사이의 거리는 자동으로 결정된다. 만약 별까지 이르는 거리가 기존에 생각하던 것보다 두 배로 멀어진다면, 두 별 사이의 거리도 두 배로 멀어진다. 결국 두 별이 멀고 가까운 정도를 재는 데 중요한 것은 거리가 아니라 각도이며, 그에 따라 별에 이르는 거리와 두 별 사이의 거리를 결정하는 비례상수 또한 중요하다. 각도마다 이 비례상수를 구하려는 시도가 바로 삼각함수의 시작이었다.
히파르쿠스
메넬라우스
프톨레미
삼각함수를 연구한 주요한 인물
방앗골
전성훈
차동우
차정민
삼각함수가
활용 되는 곳
에 대하여
알아보겠습니다
자, 그럼 지금부터
A
B
d
h?
a
삼각함수의 정의에 의하여
여기서 식을 변형하면
두 식을 연립하여 소거하면
이다.
양변을 cosA, cosB 로 나눈 후 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면
와 같은 공식을 유도할 수 도 있다.
건물 높이 측정
우리 주변에는 똑같은 현상이 반복되는 것을 쉽게 볼 수 있다.
진자의 진동, 자동차 엔진 속의 피스톤이 오르내리는 모습 등도 주기운동의 간단한 예이다.
진동 또한 역학이나 전자기 현상에서 자주 일어나는 주기적인 물리적 현상이다.
그렇다면 가장 많이 사용되어 지는 곳에 대해 알아 보겠다.
바이오리듬과 심전도 그래프 역시 주기적으로 변화하는 현상의 예입니다. 이러한 주기적인 현상을 연구하는 데 삼각함수가 유용하게 사용된다.
이때 바이오리듬이란
인간주기율이라고도 하며, 신체·감정·지성의 머리글자를 따서 PSI 학설 이라고도 한다. 통속적으로는 생물시계·체내시계라고도 한다.
심전계로 재어 나타낸 심전도의 곡선인 심전곡선은 주기가 나타나는데
이러한 신호들을 보이는 것은 삼각함수의 그래프들처럼 주기적인 현상이 나타난다.
sin, cos 그래프
이러한 그래프들은 실제 sin, cos 그래프와 거의 일치하는 모습을 보여준다.
뇌파도 주기적인 현상의 예가 된다.
뇌세포가 활동하여 정신 작용이 일어나고 있을 때에 발생하는 전류의 파동을 뇌파라고 한다. 뇌파의 파형은 복잡하지만 규칙적이고 일정한 주기로 변한다.
이를 테면, 일직선 위에서의 주기적인 왕복 운도인 단진동 현상을 삼각함수로 표현할 수 있다. 연필 깎기의 손잡이를 일정한 속력으로 돌릴 때, 연직 위에서 빛을 비추면 등속 원 운동하는 손잡이의 그림자는 책상위에서 직선 위의 왕복 운동으로 나타나며, 이때 그림자의 변위는 삼각함수 형태로 표현된다.
삼각함수가 이처럼 널리 사용될 수 있는 이유는 어떤 물체의 왕복 운동이나 소리, 빛과 같은 파장 운동에 적용할 수 있기 때문이다. 요즘 우리가 살면서 없어선 안될 GPS나 내비게이션을 쉽게 찾아볼 수 있다. 또한, 이동통신사에서는 핸드폰의 발신지를 추적하여 실종자를 찾거나 각종 사고를 예방한다. 이것은 비행기, 우주선, 선박과 같이 움직이는 모든 장치에 위치추적을 위한 장치가 부착되어 있기 때문에 가능한 일이다.
삼각함수는 수학의 영역 중에서 여러 분야에 많이 응용되는 것 중의 하나이며, 주기적으로 반복되는 현상을 기술하는 데 유용한 도구이다. 뿐만 아니라 전자 공학, 광학, 음향학, 지진학 등 다양한 분야에 걸쳐 널리 활용된다.
위치추적에는 어떤 수학이 적용 되어 있는 것일까?
실제로 위와 같은 위치추적을 하기 위해서는 매우 복잡한 수학이 사용된다. 하지만 그것의 가장 기본적인 원리는 삼각함수이다. 여기서 위치추적에 대하여 간단히 설명하자면, 여러 개의 GPS 위성으로부터 전파를 보내 거리를 측정하여 현재의 위치좌표를 알아내는 방법이다. 단순히 건물의 높이나 토목 측정에 사용되던 삼각함수가 이제는 GPS라는 첨단 기기의 기본원리로 사용되고 있는 것이다
우리 주변에는 똑같은 현상이 반복되는 것을 쉽게 볼 수 있다. 우리가 사는 이 우주는 하루 하루가 반복되고, 달이 반복해서 차고 기울며, 일정한 주기의 공전, 자전을 하고, 일년의 사계절이 반복된다. 또한 회전하는 물체는 원래의 위치로 되돌아가기를 반복하며, 심장의 고동도 반복되고 호흡도 반복된다. 어디를 둘러보나 반복되는 것과 마주치게 된다. 결국 삼각함수는 우리가 살아감에 있어서 땔래야 땔 수 없는 학문인 것 같다. 모든 자연현상의 주기성을 삼각함수로 설명이 가능하기 때문이다. 물론 나도 삼각함수에 대해 이렇게 자세히 알게 된 것도 얼마 되지 않지만, 우리는 삼각함수가 우리가 모르는 곳곳에서 활용 된다는 사실을 알고 놀랐다. 그래서 우리는 좀 더 많은 학생들에게 삼각함수가 어떠한 것인지 설명하고, 어디서, 어떻게 쓰이는지 이 프로젝트를 통해 알릴 것이다.
마치며
결과
우리는 삼각함수의 발달 과정이 천문학으로부터 시작되었음을 알게 되었다. 그리고 우리는 삼각함수가 어디서 좀 더 쓰이는지 알아보았다. 실제로 천문학을 빼고도 과학부분에 전자기장의 그래프, 사인함수를 이용한 생체바이오리듬 기록, 단진동 하는 물체의 운동, 빛의 굴절 등 다양하게 쓰이고 있었다. 또한 모든 현대 건축이나 토지측량에 필요한 삼각측량법에 대한 지식도 알게 되었다.
그리고 또하나 중요하게 사용되는 곳이 있다
r
d
θ
태양과 지구의 거리를 어떻게 구할까?
태양과 지구 사이의 거리는 태양 질량이나 에너지 복사량등을 구하는 모든 식의 기본이 되는 수이다. 그 수는 삼각함수를 이용해 계산된다. 지구, 금성, 태양이 위의 그림처럼 직각삼각형을 만들 때, 지구에서 본 태양과 금성의 각도(θ)는 약 46` 이다. 금성에는 지구에서 발사한 레이더파가 이른다. 지구상에서 해저의 깊이 등을 측정하는 방법과 마찬가지로, 레이더파가 이르면 그 속도와 반사해서 되돌아오기까지의 시간으로 거리를 알 수 있다. 그 결과, 금성과 지구 사이의 거리(d)는 약 1억 350만 km로 알려져 있다. 이때 태양과 지구 사이의 거리 r 은
r = d / cos46`
로 계산된다. 그 결과 약 1억 5000만 km임을 알수 있다.
감 사 합 니 다.
우리 방앗골 팀은 우리의 이번 연구를 통해 기본적인 삼각함수의 내용만 알고 어디서 사용되어지는지 조금밖에 모르는 학생들에게 좀 더 많은 분야에 걸쳐 사용된다는 것과, 삼각함수를 깊이 있게 배움으로써 실제 실생활에서 사용함으로써 살아가는데 있어서 조금이나마 도움이 되지 않을까 라는 기대도 해본다. 또한 첨단 미래 산업에 있어서 빠져선 안되는 초고층빌딩을 건축, 설계 하는데도 삼각함수는 빠지지 않는다. 그리고 또 하나의 미래 산업인 우주산업도 삼각함수에 기반을 둔다. 예를 들어 아주 멀리 있는 태양계 행성들 뿐 만 아니라 은하 사이의 거리 등 이런 엄청난 거리를 계산 하는 방법 또한 삼각함수가 사용되어 진다. 이 세계는 삼각함수는 없어선 안되는 존재임을 이 연구를 통해 학생들이 깨닫지 않을까 생각된다.
연구의 기대 효과
여러분이 알고 있는 삼각함수
실제 삼각함수
두배각 공식
n배각 공
반각공식
삼각함수의 역함수
일상생활에 녹아있는
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