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Vibraciones Forzadas y Resonancia

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by

Javier Muñoz

on 9 June 2014

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Transcript of Vibraciones Forzadas y Resonancia

Vibraciones Forzadas y Resonancia
Vibración Forzada
Una vibración forzada ocurre con la aplicación de fuerzas externas al sistema, que le
imponen una respuesta.
Hay dos tipos de vibraciones Forzadas.
La ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por:
i)una solución complementaria;
y
ii) una solución particular .
¿Cuando ocurre una vibración forzada?
Hemos visto que la energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa.

Es posible compensar la pérdida de energía aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema.

En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.

Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse en movimiento por medio de impulsos sincronizados de manera apropiada.

La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que pierde por la fricción
Introducción
(a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento.
Aquellas vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningún tipo pero son producidas por fuerzas externas.

(b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento. Aquellas vibraciones producidas por fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso.

VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO
Fuerza armónica de excitación

Consideremos una partícula de masa m unida a un resorte ideal de rigidez
k y a la cual se aplica una fuerza externa F = Fo Sen(wt) tal como se muestra en la figura. Donde Fo es la amplitud de la vibración armónica y w
es la frecuencia de la vibración externa.



Aplicando las segunda ley de Newton se tiene

La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación y resolviendo la ecuación homogénea, es decir.
La solución de esta ecuación
es de la forma
Como el movimiento es periódico la solución articular es de la forma
Determinando dos veces esta ecuación y remplazando enla ecuación (1) se tiene
Despejando el valor de la constante B resulta
Remplazando 5 en 4
Xp= ((Fo/k)/1-(w/wn)^2)*sen wt (6)
Y la solución general será
x=xc+xp=Asen(wn*t+Fi)+((Fo/k)/1-(w/wn)^2)*sen wt
VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =PosenΩ, tal como se muestra en la figura.
Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene.
La ecuación diferencial (1)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una solución complementaria y una
solución particular .La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total se escribe
La solución complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. Así si el movimiento es sub amortiguado
La solución complementaria estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada por
Derivando esta ecuación se obtiene:
Reemplazando 4, 5 y 6 se obtiene:
Haciendo(Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y Pi/2, resulta
Elevando al cuadrado ambos miembros de las ecuaciones anteriores y sumándolos, resulta
De la ecuación se obtiene la amplitud la misma que está dada por
El desfase está dado por
Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe

Pero la frecuencia natural está dada por, w= k/m, y el valor del coeficiente crítico de amortiguamiento es Ccr= 2mωn, el factor de amplificación será
Resonancia
Una característica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, produciéndose cambios de configuración de los sistemas mecánicos que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas ya que depende de las características del material sometido a vibración.

Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del sistema ω = ω n, es decir, cuando ∆ω → 0, se produce la resonancia, la ecuación que rige dicho fenómeno es,
x=Fo*w/2k*t sen(ωn*t ).
Expresión que corresponde a un movimiento armónico de frecuencia ω n
y cuya amplitud tiende a infinito cuando t → ∞ .
Contenido
Vídeo
Introducción
Vibraciones Forzadas
Tipos de Vibraciones
Soluciones
Resonancia
Preguntas
¿Que relación existe vibración forzada y la resonancia?
¿Cual es el impacto de las vibraciones Forzadas en la Industria?
¿Por que la solución particular tiene al seno o al coseno como solución?
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