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Die Zwillinge Mathematik & Musik

SE: "Mathematisches Labor"
by

Wolfgang Hacker

on 19 August 2014

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Transcript of Die Zwillinge Mathematik & Musik

Gleichstufige Temperierung
Pythagoräische Stimmung
Harmonische /Reine Stimmung
Wohltemperierte Stimmung
Gleichstufige Temperierung
Tetraktys
(Vierheit)
Grundform einer periodischen Schwingung
Grundschwingung
+ Obertöne
Verklanglichung
von Zahlenverhältnissen
1:2 Oktave
2:3 Quint
3:4 Quart
1 +2+3+4 = 10
Frequenz
Amplitude
Ton vs. Geräusch
Re-Oktavierung
» Einheitsoktave
*3/2
*7/4
Additionstheorem
der Sinusfunktion
Aneinanderreihung
von Intervallen
algebraische Gruppenstruktur
Wie konstruiere ich ein Tonsystem ?
Wohltemperierte Stimmung
Harmonische /Reine Stimmung
Pythagoräische Stimmung
Grundton d (1/1)
diatonisch:
Quinten aufwärts: a (3/2), e (9/8), h(27/16)
Quinten abwärts: g (4/3), c (16/9) f (32/27)
chromatische:
fis (81/64), cis (243/128), gis (729/512)
b (128/27), es (256/243), as (1024/729)
Pythagoräisches Komma: gis ≠ as (1,4 %)
Syntonisches Komma: Terz ≠ rein (1, 25 %)
Die Zwillinge "Mathematik & Musik"
Oktave - Primzahl 2 (2:1)
Quint - Primzahl 3 (3:1) » Re-Oktav. » (3:2)
Terz - Primzahl 5 (5:1) » (5:4)
Naturseptim - Primzahl 7 (7:1) » (7:4) ... » Jazz, Blues
...... unendliche Folge von Primzahlen!
Quint » Quart
große Terz » kleine Terz
Kirchentonarten
Ziel: 1) Auflösung der Wolfsquint,
2) System mit möglichst vielen:
ungefähr reinen Terzen:
ungefähr reinen Quinten
guten Transponiervermögen
Erhalt der Tonartencharakteristik
Oktave in 12 gleichgroße Schritte geteilt
Vorteile:
Transponierbarkeit
chromatische Harmonik
Nachteile:
Unreinheit der Töne
Verlust der Tonartencharakteristik
Aufführungspraxis histor. Werke
3 große Terzen ≠ Oktave » kleine Diesis (2,4 %)
4 kleine Terzen ≠ Oktave » große Dieseis (3,7 %)
Da ist ja
fast alles verstimmt!
Vergleich reine Stimmung vs. gleichstufige Stimmung
Das Centmaß
Ct- Funktion:

multiplikative akustische Proportionen
» additive logarithmische Intervallmaße

exponentielle Frequenzverhältnisse
» Maß, das proportional zur
Intervallgrößen ist
1 Oktave = 1200 Cent
Eine Frage
hät' ich schon
noch .....
Das Wohltemparierte Klavier
J. S. Bach (Bd.1:1722; Bd.2: 1742)
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