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Teoría de Juegos

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Andrea Macías

on 25 April 2013

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Teoría de Juegos Teoría matemática que estudia situaciones competitivas de manera formal tomando en cuenta los procesos de toma de decisiones de los adversarios Teoría de Juegos Teoría matemática que estudia situaciones competitivas de manera formal tomando en cuenta los procesos de toma de decisiones de los adversarios Juegos de dos personas y suma cero Sólo dos adversarios o jugadores, un jugador gana lo que el otro pierde Consta de las estrategias del jugador 1, las estrategias del jugador 2 y la matriz de pagos Estrategia: Regla predeterminada que especifica cómo se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego Matriz de pagos: Muestra la ganancia de un jugador con las diferentes combinaciones de estrategias de ambos jugadores. La matriz del otro jugador es el negativo de ésta. Ejemplo: Pares y nones Ambos jugadores son racionales y eligen sus estrategias sólo para promover su propio bienestar Dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos, si
el número total de dedos mostrados es par, el jugador que apuesta pares gana al jugador que elige nones. Suponemos que el jugador 1 elige pares y el dos, nones. La matriz de pagos para el jugador 1: Estrategia Jugador 1 1 2 Jugador 2 1 2 1 -1 -1 1 Una estrategia es dominada por otra si esta última es siempre tan buena, o mejor, sin importar lo que haga el oponente. Este tipo de estrategias se pueden eliminar del problema. El valor del juego es el pago cuando ambos jugadores operan de manera óptima, si esta valor es igual a cero se dice que es un "juego justo" Otro ejemplo Dos políticos elaboran sus planes de campaña en dos ciudades importantes, Bigtown y Megalópolis, planeando pasar un día en cada una o dos días en la misma ciudad. Como deben hacer los arreglos por adelantado, ninguno de los dos conocerá lo que su oponente tiene planeado hasta después de concretar sus propios planes.
Cada político tiene un jefe de campaña en cada ciudad para asesorarlo sobre el efecto que tendrán las combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad en miles de votos ganados o perdidos. Estrategia 1: Pasar un día en cada ciudad
Estrategia 2: Pasar los dos días en Bigtown
Estrategia 3: Pasar los dos días en Megalópolis Variación 1 del ejemplo Estrategia Jugador 1 Jugador 2 1 2 3 1 2 3 1 1 0 2 0 1 4 5 -1 Variación 2 del ejemplo Variación 2 del ejemplo Estrategia Jugador 1 Jugador 2 1 2 3 1 2 3 -3 2 5 -2 0 -2 6 2 -4 Mínimo Máximo 0 -3 -4 5 0 6 Valor minimax Valor
maximin Criterio minimax: criterio estándar de la teoría de juegos que establece elegir la mejor estrategia aún cuando ésta fuera anunciada al oponente.
Punto silla: Elemento que proporciona el valor mínimo y el valor máximo.
Solución estable: Ningún jugador puede aprovechar la estrategia de su oponente para mejorar su posición. Variación 3 del ejemplo Estrategia Jugador 1 Jugador 2 1 2 3 1 2 3 0 5 2 -2 4 3 2 -3 -4 Máximo Mínimo 5 4 2 -2 -3 -4 Valor minimax Valor
maximin Juegos con estrategias mixtas Cuando un juego no tiene punto silla se debe asignar una distribución de probabilidad sobre su conjunto de estrategias.

x = probabilidad de que el jugador 1 use la estrategia i ( i=1, 2, ... , m )

y =probabilidad de que el jugador 2 use la estrategia j ( j=1, 2, ... , n )

m y n, número de estrategias disponibles i j El jugador 1 hace su plan de juego al asignar valores a x , x , x , ... , x . Como estos valores son probabilidades, deben ser no negativos y sumar uno.
El jugador 2 hará lo mismo con y , y , y , ... , y .
Éstas se conocen como estrategias mixtas, y las estrategias originales se llaman estrategias puras.
Al momento de jugar, cada participante usará una de sus estrategias puras, eligiéndola aleatoriamente según la distribución que especifica la estrategia mixta 1 2 3 m 1 2 3 n El pago esperado es una medida de desempeño útil.

Pago esperado para el jugador 1:




p = Pago si el jugador 1 usa la estrategia pura i y el jugador 2 la j. ij Así se puede extender el criterio minimax a juegos sin punto silla.
La estrategia mixta óptima del jugador 1 es la que proporciona el valor maximin, maximizando el mínimo pago esperado, y es denotado por v.
Por otro lado, la estrategia óptima del jugador 2 proporciona el valor minimax, minimiza la máxima pérdida esperada, y se denota por v.
Si sólo se usan estrategias puras los juegos que no tienen punto silla son inestables pues v < v y los jugadores quieren mejorar su posición; pero en los juegos con estrategias mixtas v=v y la solución óptima es estable. Teorema minimax Si se permiten estrategias mixtas, el par de estrategias óptimas según el criterio minimax, proporciona una solución estable con v=v=v (el valor del juego). Procedimiento gráfico Estrategia Jugador 1 Jugador 2 0 1 2 1 3 2 5 2 -2 3 4 3 -3 -4 2 Útil para cuando, después de eliminar estrategias dominadas, un jugador queda con sólo 2 estrategias puras. Las estrategias mixtas del jugador 1 son (x , x ) y x =1-x , entonces sólo se debe calcular el valor óptimo de x .
Para cada estrategia pura del jugador 2, el pago esperado para el jugador 1 será:











Pago esperado para el jugador 1= y (5-5x )+y (4-6x ) +y (-3+5x ) 1 2 1 1 2 (y , y , y ) Pago esperado (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) 0x +5(1-x )= 5-5x 1 1 -2x +4(1-x )= 4-6x 2x -3(1-x )= -3+5x 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 3 Ejercicio Para la siguiente matriz de pagos determine la estrategia óptima de cada jugador eliminando las estrategias dominadas. Estrategia Jugador 1 Jugador 2 2 1 1 1 2 3 -3 2 1 2 1 1 0 3 -2 Ejercicio Dos compañías comparten el mercado de un producto, ambas elaboran nuevos planes de comercialización para quitar parte de las venta a la otra compañía.
Cada una considera 3 posibilidades:
Mejor empaque del producto
Aumento de publicidad
Pequeña reducción de precio
Los costos de las tres opciones son comparables y lo suficientemente grandes para que cada compañía elija sólo una.










Sin eliminar las estrategias dominadas, utilice el criterio minimax para determinar la mejor estrategia de cada compañía. Estrategia Jugador 1 Jugador 2 1 2 3 1 3 2 1 3 2 3 4 -2 0 1 -1 Ejercicio Considere el juego que tiene la siguiente matriz de pagos:










Determine la estrategia óptima de cada jugador eliminando las estrategias dominadas. Proporcione una lista de estas estrategias dominadas y la estrategia dominante correspondiente, en el orden en el que la eliminó Estrategia Jugador 1 Jugador 2 1 2 1 3 2 3 4 -3 1 -1 -1 2 -2 2 -1 -1 3 2 1 Ejercicio Dos políticos que compiten entre sí, deben elegir el aspecto principal sobre el que hará hincapié en el programa de trabajo. Cada uno tiene 3 temas ventajosos que puede elegir, pero la eficacia dependerá del que seleccione su oponente.
El aumento estimado del número de votos para el político 1, expresado en porcentaje de la votación total:








Qué tema debe elegir según las siguientes situaciones:

a) Existe gran incertidumbre respecto a las preferencias actuales de los votantes por lo que cada punto porcentual ganado tiene el mismo valor para él. Utilice el criterio minimax.
b) Una encuesta confiable determinó que el porcentaje de votantes que prefieren al político 1 se encuentra entre 45% y 50%. Utilice el concepto de estrategias dominadas.
c) Suponga que el porcentaje fuera en realidad de 45%, debe usar el criterio minimax? qué tema se le puede recomendar? Tema
político 1 Tema político 2 1 2 3 1 2 3 -1 0 -3 7 1 -5 -1 2 3 Ejercicio Encuentre el punto silla del juego que tiene la siguiente matriz de pagos










Utilice el criterio minimax para encontrar la mejor estrategia de cada jugador. Tiene punto silla? se trata de un juego estable? Jugador 1 Jugador 2 Estrategias 1 2 3 2 1 -2 3 3 1 0 1 1 3 2 -1 Gracias por su atención Presenta: Vianey
TecuanhueySSSS (de los
Tecuanhueys de Puebla), ah..
y Memo y Andrea
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