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Teorema de Bolzano

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by

ernesto garcia

on 3 May 2013

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Transcript of Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano Definición Conclusión Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0.

H) f(x) continua en [a,b]
f(a).f(b) < 0
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f(c) = 0 Necesitamos los PSMC para la demostración del Teorema de Bolzano Par de sucesiones monótonas convergentes (PSMC) 1. Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.)
2. Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2. Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Sino, f será positiva o negativa en (a+b)/2.
3. Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo
4. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa
5. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2
6. Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales que a <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ... >= bn
Demostración Teorema de Darboux: Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un valor d entre a y b para el cual f(c)=k.
H) f continua en [a,b]
f(a) < k < f(b)
T) Existe d perteneciente a (a,b) / f(c)=k Consecuencias del Teorema de Bolzano Aunque en un primer momento, el Teorema de Bolzano podría parecer obvio y simle, hemos comprobado que nuestro amigo Bolzano era bastante inteligente y un gran matemático, casi tanto como mi profesor David Definición de los PSMC:

((an),(bn)) es un PSMC <=>
1) (an) es creciente
(bn) es decreciente
2) Para todo n natural an < bn
3) Para todo E> 0 existe h natural / bh - ah <E Propiedad de los PSMC: tienen frontera;
((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+. 7. Veamos cuál es el limn->+inf bn - an. (bn - an es la longitud del intervalo [an,bn])
8.
La longitud del intervalo [a1,b1] es (b - a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es b - a.
La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b - a)/2.
Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n.
Es decir,
a) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente.
b) Los ai son siempre menores que los bi.
c)limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0 9. a), b) y c), son propiedades del PSMC, así:
((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+
lim an = c- significa que para todo Z>0 existe n1 / para todo n>=n1 c - Z < an < c
lim bn = c+ significa que para todo Z>0 existe n2 / para todo n>=n2 c < bn < c +Z 10. Tomando el mayor entre n1 y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas. Es decir, para todo >0 existe n3 / para todo n >= n3 c- < [an,bn] < c+. Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno.
11. Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, limx->c f(x)=f(c). Si f(c)<0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es negativa.
12. Dentro de este entorno, existe un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo.
13.Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es positiva. Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de distinto signo que f(bn).
14. Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.
Teorema de Weierstrass: si una función f(x) es continua en el intervalo [a,b], en ese intervalo existe un mínimo relativo en f(m) y un máximo relativo en f(M)
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