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Die Kettenlinie

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by

Lena Neuffer

on 3 November 2015

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Transcript of Die Kettenlinie

● Addiert man und punktweise,

erhält man
Die Kettenlinie oder auch Seilkurve ist die Kurve, die eine frei hängende Kette einnimmt, die nur durch ihr eigenes Gewicht belastet ist.
Der Kosinus Hyperbolicus (cosh)
Thursday, May 15, 2014
Die Herleitung der Formel
Bilderquellen:

● http://www.slipperysnake.co.uk/educational-materials/science/famous-scientists/galileo-galilei/
● http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg
● http://allesoversterrenkunde.nl/#!/actueel/artikelen/_detail/gli/christiaan-huygens/
● http://blogerma.ru/?p=2430
● http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/kettenlinie.htm
● http://rechneronline.de/funktionsgraphen/
● http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sinh_cosh.svg
● http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kette_Kettenkurve_Catenary_2008_PD.JPG
● http://www.waeschekorb.co/waescheleine/
● http://i49.tinypic.com/r26uxf.jpg
● http://media.jh-profishop.de/media/resources/images/huge/Ketten-Warnstander-aus-Kunststoff-im-6-teiligen-
Set_%24_3334-1.jpg
Quellenverzeichnis
Die Geschichte der Kettenlinie
Die Kettenlinie
Galileo Galilei hielt die Kettenlinie
für eine Parabel
Lena Neuffer JS 1/3
Christiaan Huygens erkannte, dass die
Kettenlinie keine Parabel sein kann
Zeitgleiche Veröffentlichung von drei richtigen Herleitungen der Kettenlinie (Christiaan Huygens, Gottfried Willhelm Leibniz, Johann Bernoulli)
16. Jahrhundert:
1646:
1690er Jahre:
GFS in Mathematik
H
V
T
● entsteht durch punktweise Addition zweier
an der y-Achse gespiegelten
Exponentialfunktion
● Somit gilt:

entspricht
Die Bedeutung der Formel
Die Integrationskonstanten c1 und c2
● Sie beeinflussen nicht die Form der Kettenlinie
Der Parameter a
● beeinflusst die Form der Kettenlinie
Berechnung von a
● bei vorgegebenen Punkten (x1/y1 und x2/y2) und
der Länge l dieses Abschnitts:
Die Ableitung der Kettenlinie für a = 1
Weitere Vorkommnisse der Kettenlinie
Die Kettenlinie oder auch Seilkurve ist die Kurve, die eine frei hängende Kette einnimmt, die nur durch ihr eigenes Gewicht belastet ist.
Mein Modell
Ähnlichkeit Parabel & Kettenlinie
Parabel
Kettenlinie
Gliederung
Aufgaben
Wie lautet die Funktionsgleichung der Kettenlinie, wenn eine Kette der
Länge

50,7 cm
an zwei Punkten aufgehängt wird, die
17 cm auseinander
und in einer
Höhe von 25,75 cm
liegen?
entspricht

= Sinus Hyperbolicus
Die Bedeutung des sinh für a = 1
1. Steigung der Funktion an der Stelle x1:
x1
0
Literaturquellen:

● http://blog.wurzt.de/wp-content/uploads/2008/01/kettenlinie.pdf Aufgerufen am 6.5.2014
● http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/kettenlinie.htm Aufgerufen am 6.5.2014
● http://de.wikibooks.org/wiki/Fortran:_Anhang_B:_Kettenlinie:_Seilstatik Aufgerufen am 6.5.2014
● http://mathematische-basteleien.de/kettenlinie.html Aufgerufen am 6.5.2014
● Funktionsgleichungen aufgestellt mit: http://www.wolframalpha.com/ Aufgerufen am 6.5.2014

Ableiten mit a = 1:
* Definition
* Mein Modell
* Die Geschichte der Kettenlinie
* Ähnlichkeit Kettenlinie/Parabel
* Herleitung der Formel
* Der Kosinus Hyperbolicus
* Die Bedeutung der Formel
* Die Ableitung der Kettenlinie für a = 1
* Vorkommnisse
* Aufgaben
* Quellenverzeichnis
l = 50,7
x1 = -8,5 y1 = 25,75
x2 = 8,5 y2 = 25,75
Rechnung
Ein Bauer möchte seine Schafsweide neu einzäunen. Die Pfosten für den Zaun stehen schon. Sie sind jeweils 2 m voneinander entfernt und 1,5 m hoch. Der Bauer hat ein 300 Meter langes Seil. Pro Pfosten-zwischenraum würde dieses Seil 3 m lang sein. Damit die Schafe nicht unter dem Seil hindurchpassen, darf das Seil in der Mitte nicht höher als 50 cm über dem Boden sein. Gelingt dem Bauer das bei den gegebenen Werten, oder muss er noch Seil dazukaufen und eine zweite Reihe spannen?
Voraussetzungen
● Ketten sind biegeschlaff.

● Ketten sind dehnstarr.

● Ein Gleichgewicht zwischen der tangential zur
Seilachse wirkenden Seilkraft und der äußeren
Belastung entsteht.

● Die Kette muss sich in Ruhelage befinden.


Das Eigengewicht der Kette
Abhängig von:

● der Masse m

● der Länge L
= Gravitationskraft pro Längeneinheit
[g = Ortsfaktor ≈ 9,81 N/kg]
An der Kettenlinie wirkende Kräfte
Zugkraft (Tangentialkraft) lässt sich aufspalten in:

● Horizontalkraft H (nach rechts/links) = konstant

● Vertikalkraft V (nach oben)
Die Vertikalkraft V
Die Vertikalkraft steigt, je höher man entlang der Kette geht:
(I)
Im tiefsten Punkt: Vertikalkraft ist Null
Die Horizontalkraft H
Im tiefsten Punkt: Horizontalkraft = Tangentialkraft
Steigung und Länge
● Die Steigung:
Aufstellen der Differentialgleichung
Die drei Gleichungen
(II)
( )
a
b
Die Differentialgleichung
H
V
T
(II)
(III)
● Die Länge:
( )
a
b
dy

ds

dx

Lösung:
l = 3
x1 = -1 y1 = 1,5
x2 = 1 y2 = 1,5
Rechnung
Lösung:
Der Bauer muss ein
zweites Seil spannen,
da das Seil keine 50 sondern 62 cm über
dem Boden ist.
(I)
(III)
(I) in (II)
(IV)
(IV) ableiten
(V)
(III) in (V)
Lösung:
● c2: Verschiebung auf der Ordinate
für c2 < 0: Verschiebung nach unten
für c2 > 0: Verschiebung nach oben
● c1: Verschiebung auf der Abszisse
für c1 < 0: Verschiebung nach rechts
für c1 > 0: Verschiebung nach links
für a < 0: Spiegelung der
Funktion an der x-Achse
je näher a an 0:
schmalere Funktion
● Öffnung der Funktion
je weiter a von 0 entfernt:
breitere Funktion
● c1=0 und c2=0: Abstand Scheitelpunkt/Ursprung
Die Stammfunktion ist somit:
Bei wiederholtem Ableiten ergibt sich:
2. Flächeninhalt unter der Kurve von 0 bis x1: Flächeneinheiten
3. Länge der Strecke zwischen 0 und x1: Längeneinheiten


nach

(Gleichung III)

( )
a
b
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