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Valor en Riesgo

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Javier Medrano Sullca

on 19 January 2013

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Transcript of Valor en Riesgo

Valor en Riesgo Método para el cálculo del VaR para un activo Método Paramétrico Método no Paramétrico VaR para un portafolio con más de un activo Método paramétrico Método no paramétrico Extensiones del VaR: Volatilidad no constante Volatilidad histórica
(Promedio móvil) Promedio móvil con ponderaciones exponenciales
(Risk Metrics) Modelos univariados de series de tiempo con varianza no constante Modelo ARCH Modelo GARCH Modelo TARCH Modelo GARCH multivariado una de las herramientas más empleadas para la medición de riesgo es por reguladores, agentes y académicos. después de la segunda mitad del año 90, el VaR adquiere mayor reconocimiento en el mundo como medida del riesgo de mercado de activos o portafolio una razón es lo intuitivo de su interpretación al ser ésta la medida de la máxima pérdida posible para un horizonte de tiempo y un nivel de significancia determinados el VaR sintetiza en una única medida el riesgo total de un portafolio facilitando la toma de decisiones es necesario resaltar la importancia de escoger dos parámetros para nuestro cálculo el horizonte de tiempo N es escogido dependiendo del uso que se le vaya a dar a esta medida puede afectar el modelo y los supuestos que se empleen al momento de cálculo del VaR. es El nivel de confianza (1- )% selección del nivel de confianza también depende del uso que se le vaya a dar al VaR. práctica, los niveles de confianza más empleados corresponden al 95%, 99% y 99.9%. en la poder responder a la pregunta: ¿cuánto podremos perder con una probabilidad de (1- )% en los próximos N días? para claro que el VaR no sólo dependerá del horizonte de tiempo y el nivel de confianza, sino también de la distribución que siguen los posibles valores que tomaría el portafolio. queda conocer los posibles valores que puede
tomar nuestro portafolio al final del año y la probabilidad asociada a cada uno de estos
posibles valores; es decir, su distribución de probabilidad. el comportamiento de los posibles valores del portafolio, tendremos que estimar o conocer unos parámetros (como por ejemplo la media y la varianza) que permitirán hacer los cálculos requeridos con este tipo de métodos es necesario suponer una distribución y estimar o conocer unos parámetros de la distribución, a esta aproximación se le conoce como método paramétrico. para que los rendimientos del próximo periodo R(t+1 ) del único activo que compone nuestro portafolio sigue una distribución normal se explicará según un caso si no suponemos una distribución y se emplea la información histórica
para determinar de forma empírica la distribución no será necesario conocer los parámetros y por tanto se conoce esta aproximación como no paramétrica entonces dado y dado E [Vf] =Vo+(1+E [Rf])=Vo(1+μ)
Para nuestro caso, tendremos =15%, entonces: E [Vf] =100( 1+15%) =115 millones de dólares para el proximo año. La respectiva varianza del valor del portafolio la varianza del valor del portafolio será la desviación estándar es decir la desviación del valor del portafolio será de 20 millones de dólares contamos con los precios de rendimientos de un portafolio
conformado por un único activo que el valor actual del portafolio es de 0 V . Observen que cada uno de estos rendimientos corresponden a “un escenario” diferente, determinar cuál sería el valor de nuestro portafolio para el próximo período bajo los diferentes escenarios, provee de una distribución empírica de posibles valores que puede tomar el portafolio en el próximo período. A partir de esta distribución, podemos detectar el valor de corte ( c V ) tal que este sea superior al % de los escenarios. nos para se supone consideramos un portafolio conformado por más de un activo, tendremos que tener en cuenta no sólo los rendimientos esperados y sus correspondientes desviaciones estándar cuando también las relaciones que existen entre ellas. Así mismo, no solamente se necesitará asumir un comportamiento (distribución conjunta) de las series sino también necesitaremos calcular más parámetros, pues no solamente requeriremos las medias y desviaciones estándar sino también de las covarianzas sino tenemos que el rendimiento esperado del portafolio (E[R portafolio ]) será: el rendimiento esperado del portafolio corresponderá al promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de cada uno de los activos es decir suponiendo que los rendimientos de los tres activos siguen una distribución normal multivariada, ahora podemos concluir que el rendimiento del portafolio seguirá una
distribución normal con media así que contamos con un portafolio de valor Vo compuesto por tres activos:
1 A , 2 A y 3 A . Además, la participación de cada uno de los tres activos corresponde a 1 q , 2 q y 3 q , respectivamente se supone suponga que cuenta con una serie lo suficientemente grande de los rendimientos para cada uno de los tres activos ahora contaremos con n diferentes “escenarios” de rendimientos, por lo que sólo necesitamos valorar el portafolio actual con las participaciones actuales en los diferentes escenarios es decir El gran supuesto que hemos realizado hasta el momento es que el comportamiento de
los rendimientos será el mismo en el futuro que lo que ha sido en el pasado. Pero, adicionalmente hemos supuesto que la volatilidad (desviación estándar) de la
distribución de los rendimientos es constante en el tiempo. además consideraremos la posibilidad de que la volatilidad de los rendimientos varíe en el tiempo pero más nuestro principio inspirador en esta sección será que la volatilidad de las trayectorias de serie de tiempo financieras puede ser predecible y proviene de un comportamiento especifico que no necesariamente es lineal. Una de las maneras más sencillas de capturar esta idea es calcular una varianza móvil”, una varianza que va cambiando de acuerdo a la nueva información que se va acopiando en los últimos m días es decir como se ve en la fórmula sin embargo los rendimientos diarios exhiben una media cercana a cero; supondremos que ésta es cero entonces la fórmula será: Para determinar cuál es la mejor opción, se puede emplear una medida de bondad de ajuste conocida como la Raíz del Error Medio Cuadrado (RMSE por su nombre en inglés Root Mean Squared Error): tenemos que el menor RMSE corresponde a la media móvil que considera un período de una semana. opción conocida como el EWMA (por su nombre en ingles Exponential Weighted Moving Average) pondera de manera diferente cada observación de tal forma que asigna mayor peso a las observaciones más recientes. ésta forma de estimar la volatilidad, fue empleada inicialmente por JP Morgan denominándolo RiskMetrics®, el cual fue hecho público en 1994. En general, de acuerdo a la EWMA la varianza en el momento t será: ésta donde donde lambda es un parámetro que se debe escoger por medio de un proceso de optimización.
JP Morgan emplea en su RiskMetrics® un de 0.94 para
datos diarios y 0.97 para datos mensuales. la varianza de hoy será igual veces la volatilidad del día anterior más el cuadrado de la rentabilidad del día anterior. Es importante anotar que este no es el caso general, por el contrario nuestro resultado depende de los datos que estamos empleando. por lo tanto es el comportamiento de los rendimientos de
activos normalmente presentan una volatilidad variable grandes retornos tienden a estar seguido de grandes retornos y pequeños retornos tienden a estar seguidos por pequeños retornos de hecho, el análisis empírico de las series permite intuir la
necesidad de considerar modelos en los que la variabilidad no sea constante, es decir,
que presenta heteroscedasticidad (varianza diferente). es Los modelos ARCH6 (Heteroscedasticidad Condicional Auto-Regresiva) relajan el
supuesto de la volatilidad constante permiten detectar cambios en la volatilidad de
acuerdo a patrones preestablecidos en la historia de la serie. y anotar que este tipo de modelo tiene más como objetivo pronosticar la variabilidad de los rendimientos y no tanto el rendimiento per se. es importante en muchos casos y, en especial, cuando se consideran periodos de tiempo muy cortos (10 días o menos), se emplea como hipótesis que = 0 . así se supone que la varianza condicional es la suma del promedio ponderado de los cuadrados de las p innovaciones anteriores y una constante.
en otras palabras, noten que de este supuesto surge el nombre del modelo, pues la varianza condicional es
diferente para cada periodo y esta depende de sus valores anteriores (ARCH) resaltar que hemos empleado el término condicional, pues la varianza depende del conjunto de información que en este caso corresponde a las innovaciones
aleatorias en los p periodos anteriores. es importante la varianza condicional estimada para el período T +1 se da por : por tanto la rentabilidad en T +1 seguirá una distribución con media estimada dada por µ y varianza condicional Otro modelo muy empleado es el de heteroscedasticidad condicional auto-regresiva generalizado, GARCH(p,q) por su nombre en inglés. En este caso tenemos que: Donde la varianza condicional ( sigmat+ 1) se supone que seguirá el siguiente patrón: con p y q Beta ≥ 0 y alfa > 0 .
Noten que este modelo es una generalización del modelo ARCH donde la varianza condicional depende no solo de los p cuadrados anteriores de las innovaciones, sino también de los q valores pasados de la misma varianza. Un modelo un poco menos usado pero mucho más potente corresponde al TARCH (Treshold ARCH). Este tipo de modelo intenta capturar la presencia de comportamientos asimétricos en la varianza a rentabilidades negativas se asignan mayores varianzas condicionales con respecto a rentabilidades positivas. En este caso el modelo corresponde a: es decir Donde la varianza condicional podemos capturar el mayor riesgo
asociado a rendimientos negativos que positivos. El modelo GARCH se puede generalizar al caso donde contamos con más de un activo. Un modelo GARCH multivariado proporciona una estructura más rica que en el caso univariado. Sin embargo, el número de parámetros que hay que estimar crece rápidamente y obliga a introducir ciertas hipótesis ad hoc, para facilitar la estimación como para garantizar ciertas características deseadas en la matriz de varianzas y covarianzas. tanto consideremos dos activos, en este caso un modelo multivariado GARCH(1,1) corresponde a: por simplicidad Donde la varianza condicional se supone que seguirá el siguiente patrón: la correspondiente matriz de varianzas y covarianzas condicional corresponde a:
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