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Alles ist Zahl!

Prezi about Numbers
by

Joerg Zender

on 30 April 2013

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Transcript of Alles ist Zahl!

Alles ist Zahl! - Pythagoras von Samos - Zählen Zahlbereiche Objekte in der Natur lassen sich abzählen... 2 = = 4 + = ... und man kann damit rechnen! + = Das Prinzip ist bekannt... N Z Q R C Der Ishango-Knochen Alter ca. 20.000 Jahre
Fundort im Kongo
Vermutetes Bindeglied zwischen der Ishango Kultur und den späteren Hochkulturen der Ägypter und Babylonier Ägyptisches Zahlsystem Nebenbei: Die Schrift wurde vermutlich erst vor etwa 6.000 Jahren erfunden. Römische Additiv-Subtraktive Zahlschrift Stellenwertsystem Unser Dezimalsystem Die Natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
- Leopold Kronecker - Die ganzen Zahlen Die reellen Zahlen 1 = 10 = 100 = 1.000 = 10.000 = 100.000 = 1.000.000 = Die Zeichen werden entsprechend oft in beliebiger Reihenfolge geschrieben und addiert. = 1203 Zum Beispiel: 1 = I 5 = V 10 = X 50 = L 100 = C 500 = D 1000 = M Komplizierte Schreibregeln um Platz zu sparen: nicht IIII sondern IV = 4 nicht VIIII sondern IX = 9 nicht IL sondern XLIX = 49 nicht IC sondern XCIX = 99 nie eine 5er Zahl zum
Abziehen verwenden:
also nicht VC sondern XCV = 95 Additive Zahlsysteme sind zum Rechnen unpraktisch. Schonmal versucht CLXXXIV mit XCIX zu multiplizieren??? Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci führt 1202 erstmals in Europa die indo-arabischen Ziffern und damit das Stellenwertsystem ein. Mitte des 16. Jh. setzt sich bei Kaufleuten das Stellenwertsystem durch, vorangetrieben durch die Zunft der Rechenmeister, bekannsterer Vertreter: Adam Ries(e). Die Idee: nicht das Zeichen, sondern seine Position entscheidet über den Wert der Zahl. Der Vorteil: man kommt mit weniger Zeichen aus und kann unbegrenzt große Zahlen darstellen. Dieses System braucht dringend eine neue Zahl: die Null. Es muss nicht immer 10 sein... ...und nun? zählen können wir, also fangen wir mit dem Rechnen an! 1000 = CI C 10.000 = CCI CC 2.138.726 =
2 1.000.000
+ 1 100.000
+ 3 10.000
+ 8 1.000
+ 7 100
+ 2 10
+ 6 1 Im Dezimalsystem sind die Stellen nach Zehnerpotenzen geordnet. Wir sprechen auch von Einern, Zehnern, Hundertern, Tausendern, usw. Wir brauchen zehn Ziffern um alle Zahlen darstellen zu können: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 Aus der Basis 10 leiten sich die Teilbarkeitsregeln ab. Die 10 ist nicht die einzig mögliche Basis. Computer rechnen im Binärsystem, also zur Basis 2. Eng verwandt ist das ebenfalls in der Programmierung eingesetzte Hexadezimalsystem zu Basis 16. Generell ist jede Zahl abgesehen von 0 und 1 als Basis eines Stellenwertsystems möglich. Allgemein spricht man von einem b-adischen System: 11010 = 26 15F7A = 89978 Man braucht vor allem b Ziffern zur Darstellung. Beim 16er System zählt man nach 9 mit A, B, C, D, E und F weiter. 5000 = I CC Die Lösung lautet natürlich CCI I MMMCCXVI CC CC Die Rationalen Zahlen Die Komplexen Zahlen Es gibt also einen Bedarf an neuen Zahlen. Die natürlichen Zahlen entstehen aus der Abzählung und Rechnung mit Objekten "aus der Natur". Zwei natürliche Zahlen können immer miteinander addiert oder multipliziert werden und das Ergebnis ist stets wieder eine natürliche Zahlen. Diese Eigenschaft nennt man auch abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation. Probleme fangen an, wenn man Subtrahieren will. Das geht solange gut, bis man eine größere Zahl von einer kleineren abziehen will. In den natürlichen Zahlen existieren keine negativen Elemente. Es ist umstritten, ob die Null zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht. Zum Glück gibt es das Deutsche Institut für Normung, denn in der DIN 5473 wird festgelegt, dass die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Um eine unbeschränkte Subtraktion zu ermöglichen, führt man einfach die negativen Zahlen ein. Jede natürliche Zahl erhält so ein Gegenstück mit gleichem Betrag aber negativem Vorzeichen, man spricht von "Inversen". 0? Nun ist die Subtraktion als Gegenstück
der Addition gerettet, aber die Division
als Gegenstück der Multiplikation ist höchst problematisch. Wichtige Konvention ist, dass Minus mal Minus Plus ergibt und dass Minus mal Plus Minus ergibt. Das Problem mit der Division lässt sich nur über die Einführung neuer Zahlen lösen: den rationalen Zahlen. Rationale Zahlen bestehen aus einem Zähler und einem Nenner, die beide aus den ganzen Zahlen kommen. Der Nenner darf allerdings nie Null sein. Also Nun können alle Grundrechenarten unbeschränkt und ohne Probleme ausgeführt werden. Der Name rationale Zahlen kommt vom lateinischen Ratio her, was Verhältnis bedeutet. Mit den rationalen Zahlen werden Verhältnisse zwischen zwei Objekten beschrieben.
Das Zeichen Q kommt von Quotient. Pythagoras entdeckte über die rationalen Zahlen die Harmonielehre in der Musik. Er glaubte alles in der Natur lasse sich durch Verhältnisse beschreiben. Die glückliche Welt der rationalen Zahlen wurde durch einen Schüler des Pythagoras erschüttert. Der Schüler konstruierte ein Quadrat mit der Seitenlänge eins und kam dann mit dem Satz des Pythagoras darauf, dass die Diagonale in diesem Quadrat die Seitenlänge Wurzel aus zwei haben muss. 1 1 ? Der Begriff reell ist aus dem Französischen abgeleitet und bedeutet so viel wie "auf die Wirklichkeit bezogen". Die reellen Zahlen beschreiben die Längen, Maße, Gewichte usw. von Objekten aus der Wirklichkeit. Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die sich als
unendliche Dezimalbrüche darstellen lassen.
Dabei sind die rationalen Zahlen als periodische oder abbrechende Dezimalbrüche enthalten.
Hinzu kommen die unendlichen, nicht-periodischen Dezimalbrüche. Man spricht auch von den irrationalen Zahlen, die sich aufteilen in die algebraischen Zahlen, die Lösungen von Polynomen sind, und die transzendenten Zahlen wie e und Pi, die sich nicht als Polynom darstellen lassen. In den reellen Zahlen sind aber auch nicht alle Gleichungen lösbar. So hat


keine Lösung. Allgemein existieren die Wurzeln negativer Zahlen nicht in den reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen waren lange Zeit
das Schmuddelkind der Mathematik, über
300 Jahre lang rechnete man im
Verborgenen mit ihnen. Der erste Mathematiker, der mit den komplexen Zahlen rechnete, war Cardano, der zu einer der schillernsten Gestalten der Renaissance gehört. Die komplexen Zahlen werden
zusammengesetzt (und bilden einen
Komplex) aus einem reellen Teil und
einem imaginären Teil. Um den negativen Wurzel Herr zu
werden, definiert man einfach die Wurzel von Minus eins als i, die imaginäre Einheit. .
.
.
.
.
.
. Werden die reellen Zahlen durch eine Zahlengerade dargestellt, so brauchen
die komplexen Zahlen zwei Geraden,
eine reelle Achse und eine imaginäre Achse.
Zusammen ergibt sich so eine Ebene, die
auch die Gaußsche Zahlenebene genannt
wird. Die komplexen Zahlen lassen sich
auf diese Weise auch zwei-dimensionale
Vektoren über R interpretieren. Hierdurch erhalten wir die Polarkoordina-
tendarstellung der komplexen Zahlen, in
der wir nur den Winkel und Abstand vom
Ursprung angeben.
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