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Matemática

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by

Gabriel Vilela

on 12 March 2013

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Transcript of Matemática

{ Matemática Profª Andréia de Santa Clara Mesquita Geometria Analítica .Elipse: Uma elipse é o lugar geométrico de todos os pontos do plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante Como desenhar uma elipse??? . . F1 F2 x y Aparições Sistema
Solar (AF + AF = 2a). 1 2 Pátio do Coliseu Plano
oblíquo . F 1 O a b c . F 2 { C D B { A Elementos da elipse AB - eixo menor CD - eixo maior 2a - medida de CD 2b - medida de AB 2c - distância focal AF + AF = 2a 1 2 a = b + c 2 2 2 *excentricidade e = c a e = excentricidade c = OF ou OF 1 2 a = AF ou AF 1 2 0 < e < 1 circunferência - elipse - reta - e=0 e>0 e<1 e=1 Apolônio de Perga
"Épsilon" Mediterrâneo Perga HEMICYCLIUM Johannes
Kepler *Kepler e a Elipse* 1ª Lei de Kepler 2ª Lei de Kepler 3ª Lei de Kepler Planeta " Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma forma elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos " “…Uma linha unindo um planeta ao Sol varre áreas iguais em períodos de tempo iguais…” Planeta A B C D S S 1 2 S 1 S 2 = “… O quadrado do período de qualquer planeta em torno do Sol é proporcional ao cubo da distância média entre o planeta do Sol…” T = k R 2 3 T = período de revolução R = raio da órbita do planeta k = constante de proporcionalidade
a) I, IV, II, V e III

b) I, V, III, IV e II Com base no que vimos, associe corretamente as duas colunas: c) II, III, V, I e IV

d) III, II, IV, I e V e) IV, II, V, I e III Reta: temos só x² ou só y² .x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador .o número que no denominador de x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² Circunferência: .os números que tem denominador de x² e y² diferentes e temos uma soma de x² e y² Elipse: .temos uma subtração de x² e y² Hipérbole: Parábola: I IV II V III Ax²+ By² + Cxy+ Dx+ Ey+ F = 0 Reconhecimento de Cônicas A e B diferentes
c/ mesmo sinal AB > 0 A = B = 0 C = 0 D² + E² - 4AF > 0 A = 0 B = 0
A = 0 B = 0 ( só 1 pode existir) BD = 0 AE = 0 ( equação geral precisa ter 2 variáveis, x e y) AB < 0 D² + E² = 4F ( A e B -sinais diferentes) A B D² + E² > 4F A B Equações da Elipse Centro da elipse coincidente
com a origem do plano cartesiano Centro da elipse não coincidente
com a origem do plano cartesiano ( ( ( 2 Produto
Notável Produto
Notável + ( )² Distributiva Substitui
na fórmula em evidência em evidência . . a² b² ( 2 A equação de uma elipse é 16x²+ 25y² = 400. Obter: a) a excentricidade: b) o eixo maior: c) o eixo menor: d) a distância focal: 16x²+ 25y² = 400 a > b Lembre-se a² > b² 25 > 16 25 = a² 16 = b² a = 5 b = 4 Lembre-se a b c a² = b² + c² 25 = 16 + c² c² = 25 - 16 c² = 9 c = 9 a = 25 b = 16 c = 3 c = 3 a = 5 e = c a e = 3 5 ou e = 0,6 Lembre-se 0 < e < 1 0,6 Lembre-se Lembre-se Lembre-se eixo maior = CD CD = 2a a = 5 CD = 2a CD = 2x5 CD = 10 10 eixo menor = AB AB = 2b b = 4 AB = 2b AB = 2x4 AB = 8 8 distância focal = F1F2 F1F2 = 2c c = 3 F1F2 = 2c F1F2 = 2x3 F1F2 = 6 6 Resolução: 4x²+25y²=100 A equação da elipse de focos F1=(– 2, 0), F2=(2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por: (UNESP) Lembre-se eixo maior = 2a OF1 = c x² + y² = 1 a² b² Resolução: 2a = 6 a = 6 2 a = 3 (-2;0) { O c c = x c = 2 a b c a² = b² + c² 3² = b² + 2² 9 = b² + 4 b² = 9 - 4 b² = 5 x² + y² = 1 a² b² x² + y² = 1 9 5 4x+9y=36 2 2 a) x+2y=50 2 2 b) x y 3 6 2 2 + c) Determine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e a excentricidade das elipses das seguintes equações: F1: ( - 5; 0) F2: ( 5; 0) C: (-3;0) D: (3;0) e = 5 3 F1: (-5;0) F2: (5;0) C: (- 50;0) D: ( 50;0) e = 5 50 = 1 F1: (0; - 3) F2: (0; 3) C: (0; - 6) D: (0; 6) e = 3 6 Lembre-se Lembre-se Lembre-se OF = c OC ou OD = a x² + y² = 1 a² b² e = c a a² = b² + c² 4x+9y=36 2 2 Resolução: x² + y² = 1 a² b² 36 36 36 x² + y² = 1 9 4 a² = 9
b² = 4 a = 3
b = 2 O { a { c a² = b² + c² 9 = 4 + c² c² = 9 - 4 c² = 5 c = 5 = 5 = 3 e = c a e = 5 3 OF = c OC ou OD = a x² + y² = 1 a² b² a² = b² + c² e = c a Resolução x² + y² = 1 a² b² x² + 2y² = 50 50 50 50 x² + y² = 1 50 25 a² = 50 b² = 25 a = 50 b = 5 a² = b² + c² 50 = 25 + c² c² = 50 - 25 c² = 25 c = 5 { a O { c = 50 = 5 e = c a e = 5 50 a² > b² a > b x² + y² = 1 b² a² OF = c OA ou OB = a e = c a a² = b² + c² Resolução: x² + y² = 1 b² a² x² + y² = 1 3 6 a² = 6 b² = 3 a = 6 b = 3 a² = b² + c² 6 = 3 + c² c² = 6 - 3 c² = 3 c = 3 { a } c = 3 6 = e = c a e = 3 6 Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 4x² + 25y² = 100: Lembre - se OF = c eixo maior = 2a a² = b² + c² OC ou OD = a a > b a² > b² 25 > 4 25 = a² 4 = b² a = 5
b = 2 a² = b² + c² 25 = 4 + c² c² = 25 - 4 c² = 21 c = 21 F1: (-x;y) F2: (x;y) C: (-x;y) D: (x;y) eixo maior em x y = 0 F1 no eixo x x = c F1: (-c;y) F1: ( - 21; 0) eixo maior em x F2 no eixo x y = 0 x = c F2: (c;y) F2: ( 21; 0) eixo maior em x C no eixo x y = 0 x = a C: (-a;y) C: ( -5; 0) eixo maior em x D no eixo x y = 0 x = a D: (a;y) D: (5;0) (UNESP) A figura representa uma elipse A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é: O (-5;7) { a a = 7 - 3 a = 4 { b b = -2 - (-5) b = 3 Resolução: (x - xo)² + (y - yo)² = 1 b² a² (x - xo)² + (y - yo)² = 1 b² a² Lembre-se centro da elipse = origem do plano eixo maior // eixo y (x - (-5))² + (y - 7)² = 1 3² 4² (x + 5)² + (y - 7)² = 1 9 16 Uma elipse tem os focos nos pontos F1 (0;3) e F2 (0; -3).Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse Lembre - se OF = c eixo menor = 2b eixo maior no eixo y x² + y² = 1 b² a² F1 F2 (0;3) (0;-3) b b 2b = 2 b = 2/2 b = 1 } c c = 3 a² = b² + c² a² = 1² + 3² a² = 1 + 9 a² = 10 x² + y² = 1 b² a² x² + y² = 1 1 10 x² + y² = 1 1² 10 ou x² + y² = 1 10
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