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ITAM - Productos Derivados y Cálculo Estocástico aplicado a Finanzas

Semana de Actuaría 2014
by

Germán Sánchez

on 30 September 2014

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Transcript of ITAM - Productos Derivados y Cálculo Estocástico aplicado a Finanzas

"Ambition is a state of permanent dissatisfaction with the present"

"What is it that mathematicians and physicists do on Wall Street?"


Emanuel Derman
¿Qué es un Producto Financiero Derivado?

Como su nombre lo indica, son instrumentos financieros cuyo valor se deriva o depende de la evolución de los precios de activos riesgosos denominados activos subyacentes.
Introducción
Se utilizan con finalidad de cobertura o inversión.

¿Para qué se utilizan?
No hay modelos buenos o malos... sólo son modelos matemáticos!!
¿Es un buen modelo?
1570, Londres. Royal Exchange, primer mercado en el que se pactan contratos con entrega futura "forwards"
Un poco de historia...
Tipo de Cambio

EUR-USD
USD-MXN
GBP-USD
USD-JPY
Tasas de Interés
e Inflación

TIIE
Libor
Euribor
Bonos
Agricultura

Maíz
Soya
Trigo
Cocoa
Café
Leche
Energía

Petróleo Crudo
Gas Natural
Electricidad
Combustibles
Uranio
Metales

Oro
Plata
Cobre
Aluminio
Acero
Platino
Climáticos

Temperatura
Huracanes
Heladas
Tormentas de Nieve
Pero... ¿Qué es Cálculo Estocástico?
Pero... ¿Qué activos subyacentes?
Equity

Acciones
Índices
ETF's
Crédito

CDS
EDS
¿Cuáles son los subyacentes en el Mercado de Derivados?
¿Para qué se utilizan?
Cobertura

Inversión

Siglo XVII, Países Bajos. Tulipomanía!! Gran burbuja económica, uno de las primeras crisis. Euforia especulativa. Compradores dispuestos a pagar cifras exorbitantes con entrega futura...
En 1900, L. Bachelier fue el primero en describir el precio de acciones financieras mediante el movimiento Browniano y llegó a asignar precio a opciones cotizadas en Francia en aquella época.
EL GRAN MODELO
En 1944, Itô se inspiró en Bachelier para introducir su Cálculo Estocástico y el movimiento Browniano Geométrico para modelar activos financieros.
"The Midas Formula".
En 1973, F. Black y M. Scholes e independientemente R. Merton utilizaron el movimiento Browniano geométrico para asignar precio a diferentes Productos Derivados y en particular a opciones. Ganaron el Premio Nobel de Economía!!
Siglo XVII, Japón. Primeros contratos futuros: Futuros de arroz!! Existían muchos pagos en cantidades de arroz y surgió la necesidad de cobertura ante bajadas en el precio.
1848, USA. Chicago Board of Trade. Primer mercado organizado de futuros, Contratos de futuros sobre maíz y granos en general.
1973, USA. Chicago Board of Options Exchange. Primer mercado organizado de opciones!! Opciones sobre commodities y sobre tipo de cambio
En 1971 las grandes economías empezaron a dejar fluctuar la moneda y se creó el International Money Market.
Bajo los supuestos, el modelo permite valuar productos derivados de forma dinámica!! Utilizando Cálculo Estocástico, brinda una descripción detallada de la estrategia a seguir en todo momento para poder cubrir el riesgo asociado.
El boom: Un nuevo mundo
¿Las hipótesis siempre se cumplen?
¿Qué queremos modelar?
¿Qué sucede en escenarios de estrés?
Black Monday: 19 de Octubre de 1987. El crash comenzó en Hong Kong, se propagó rápidamente a Europa y finalmente a Estados Unidos.
Black Monday 1987:
La caída del gran Modelo

Mayor derrumbe porcentual sucedido en un día de toda la historia!!
Algunas estadísticas:
En un día: Índice Dow Jones 22.68%
15 días después, porcentajes totales:
Hong Kong 45.8%
Australia 41.8%
UK 26.4%
Nva Zelanda 60.0%
Computer Trading
Causas:
Iliquidez
US Deficits - Dólar débil
Subida repentina de Tasas
Mercado de Derivados
Se violaron varias de las hipótesis del modelo!!

Volatilidad:
¿Constante?
¿Independiente del precio del subyacente?

¿Rendimientos Normales?

¿Continuidad?
¿Y el modelo de Black-Scholes?
¿Qué sucedió? ¿Cuál fue el impacto?
Nuevos restos después del 2008...
A muy grandes rasgos, es un híbrido entre el Cálculo Newtoniano y el cálculo de Probabilidades. Permite incorporar factores de incertidumbre en el comportamiento de funciones.

En teoría de valuación resulta útil por que nos permite modelar el comportamiento del precio de activos, y de esta forma el comportamiento del valor del derivado!!

¿Qué es Cálculo Estocástico y por que resulta útil?
Supongamos que seis meses atrás invertimos $100 y que el balance de nuestra cuenta hoy es de $110.
Ejemplo: Modelación de una acción
La tasa de rendimiento efectiva es la razón de crecimiento de la inversión durante el plazo y es de:
El rendimiento de la inversión fue de
Ejemplo: Modelación de una acción
La tasa de rendimiento del 10% obtenida representa la razón de cambio de la ganancia efectiva en un período de seis meses y por tanto, la tasa de rendimiento anual se calcula de la siguiente forma:
En general, el cálculo de la tasa de rendimiento anual de una inversión está dado por:
Ejemplo: Modelación de una acción
Para el caso de una acción, podemos pensar que el valor inicial (VI) de una Acción es el precio de compra y el valor final (VF) es el precio de venta.
Definamos como al precio de una acción al tiempo .

La tasa de rendimiento anual de una Acción en un período de tiempo de longitud está dada por:
Los intereses generados en el período son:



Denotemos por al cambio en el precio de la acción, es decir:
Ejemplo: Modelación de una acción
Si consideramos un período de tiempo de longitud infinitesimal obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
El precio de una acción es un fenómeno de carácter aleatorio, no es posible determinar con certeza cuál será el rendimiento anual en el futuro. Incorporamos un factor de incertidumbre en la ecuación diferencial anterior, una variable aleatoria para cada instante de tiempo y obtenemos:
Ejemplo: Modelación de una acción
En la práctica, es común suponer que el proceso es un movimiento browniano por que ha mostrado ajustarse adecuadamente. La ecuación diferencial estocástica resultante es:




A continuación podemos observar algunas simulaciones de este proceso errático:
Ejemplos de Productos Derivados
Una empresa automotriz con planta en México recibe ingresos en dólares generados por la venta de automóviles en América. La mayor parte de sus egresos son en pesos por lo que es necesario que la automotriz venda una cantidad considerable de dólares para poder cubrir sus gastos en pesos.
1) Contrato Forward
Riesgo de Tipo de Cambio
La empresa tiene un riesgo de tipo de cambio latente ya que si el peso se aprecia frente al dólar recibirá una cantidad menor en pesos por sus ingresos en dólares y decide entra un contrato forward de venta de dólares en el cual pacta un tipo de cambio fijo de 13.70 MXN/USD al que podrá vender los dólares al final de un año.

Denotemos por al tipo de cambio USD-MXN dentro de un año, representa la cantidad de pesos necesarios para comprar un dólar dentro de un año.
Ejemplos de Productos Derivados
1) Contrato Forward
Ventajas
Garantiza un tipo de cambio fijo al cual podremos intercambiar los dólares por pesos.

Nos permite tener certidumbre en el balance de cuentas.

Ofrece protección ante eventos catastróficos.
Existe obligación de ambas partes.


Posibles pérdidas al intercambiar dólares a un nivel por debajo del nivel spot de mercado.

Posibilidad de pérdidas infinitas.
Desventajas
Ejemplos de Productos Derivados
Una de las fuentes de recursos más importantes para el gobierno de México es los ingresos por la venta del petróleo. Una bajada en el precio del petróleo podría impactar considerablemente en los ingresos de la nación!!!
2) Opción Put
Riesgo al Precio del Petróleo
El gobierno mexicano puede adquirir protección ante bajadas en el precio del petróleo.

Una alternativa es fijar un precio de venta a través de un forward. La desventaja es que no disfrutaría del beneficio en alzas en el precio del petróleo.

Una alternativa más conservadora sería fijar un precio mínimo de venta a 85 USD/barril, de esta forma estará cubierto ante un escenario a la baja pero disfrutará del beneficio de un escenario al alza.
Ejemplos de Productos Derivados
1) Contrato Forward
Ventajas
Garantiza un tipo de cambio fijo al cual podremos intercambiar los dólares por pesos.

Nos permite tener certidumbre en el balance de cuentas.

Ofrece protección ante eventos catastróficos.
Existe obligación de ambas partes.


Posibles pérdidas al intercambiar dólares a un nivel por debajo del nivel spot de mercado.

Posibilidad de pérdidas infinitas.
Desventajas
Ejemplos de Productos Derivados
Supongamos que una corporativo mexicano obtiene un financiamiento cuya tasa de interés está referenciada a la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio a 28 días (TIIE) por 1,000 millones de pesos mexicanos a un plazo de 10 años. Las expectativas actuales de mercado no indican una inminente subida en las tasas pero podría materializarse en los próximos años.
3) Opción Call de Tasa de Interés (Cap)
Riesgo al alza en Tasas de Interés
El corporativo mexicano está expuesto a un riesgo de tasa de interés ya que si se observa un escenario al alza en tasas tendrá que pagar mayores montos de intereses.

Una alternativa es fijar una tasa de interés para todo el plazo (swap) con la desventaja de que no podrá gozar del beneficio de un escenario de tasas bajas.

Una buena alternativa sería fijar una tasa máxima de 6.50% a pagar en caso de un escenario al alza de las tasas de interés.
Ejemplos de Productos Derivados
1) Contrato Forward
Ventajas
Garantiza un tipo de cambio fijo al cual podremos intercambiar los dólares por pesos.

Nos permite tener certidumbre en el balance de cuentas.

Ofrece protección ante eventos catastróficos.
Existe obligación de ambas partes.


Posibles pérdidas al intercambiar dólares a un nivel por debajo del nivel spot de mercado.

Posibilidad de pérdidas infinitas.
Desventajas
Gracias!!




Alfredo Hernández Lammoglia
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