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Historia de la factorización

Juliana Camacho. http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias14/8.Factorizaci%F3n%20Algebraica.pdf
by

Juliana Camacho

on 25 February 2013

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Transcript of Historia de la factorización

La Historia de la Factorización ¿Que es la FACTORIZACIÓN? La factorización es una herramienta usada por los matemáticos para transformar una expresión algebraica, para resolver algún problema La primera vez La primera vez fue hace más de 400 años, y fueron los Babilonios. Usaron el método que actualmente se conoce como "completar el cuadrado perfecto", y para realizarlo, se basaron en factorizaciones simples que ya conocían. Más tarde... Los griegos y los árabes consiguieron resolver ecuaciones de segundo grado, también utilizando el método de completar el cuadrado, pero ellos le añadieron la aplicación de áreas. que en terminos modernos se conoce como... Primera proposición "si hay dos rectas y una de ellas se corta en un número cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos obtenidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos" Lo cuál equivale a la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición:

ab+ac+ad=a(b+c+d). Segunda Proposición para resolver ecuaciones de la forma ax2 + bx = c los griegos y los árabes desarrollaron un procedimiento para encontraron número x tal que x2 + 4x = 140 (por ejemplo) ya que consideraban x como el lado de un área x2 y a 4x como el área de un rectángulo de lados 4 y x, respectivamente; en consecuencia, x2 + 4x es el área de la figura. luego cambiaban las figuras de la siguiente forma De esta manera, el área de la región sombreada equivale a 140 (pues corresponde a x2 + 4x) unidades cuadradas y el á́rea del cuadrado en blanco es 4 unidades cuadradas; es así, como el á́rea total corresponde 144, luego el lado del cuadrado grande, llamémoslo y, es 12, de donde x = 10 unidades. fue el primer matemático que planteo ́ y recopilo ́ los conceptos básicos de la factorizació́n de nú́meros Euclides de Alejandría trata a los números como objetos que se representan por medio de segmentos y en consecuencia, Euclides emplea las expresiones “esta ́ medido por”y “mide a”, para referirse a los conceptos mú́ltiplo y divisor, respectivamente. En términos modernos, si a,b y c son números enteros tales que cumplen la igualdad ab = c, se dice que a y b son factores o divisores2 de c, y que c es un mú́ltiplo de a y de b. Si a tiene ú́nicamente dos divisores distintos (1 y ́el mismo), se dice que a es un nú́mero primo, los demás son nú́meros compuestos. Euclides enuncia tambíén el que se conoce en la actualidad como teorema fundamental de la aritmética, demostrado formalmente, siglos después, por Carl Friedrich Gauss: Si a es un número entero tal que a ̸ = 0 y a ̸ = ± 1 , entonces a se puede expresar como el producto de números primos por ±1:
a = (±1)p1p2 ···pn,
y esta descomposició́n es única salvo el orden de los factores. El desarrollo moderno de la factorizació́n se inicia en el Renacimiento Italiano, hacia el anño 1545, con la publicació́n del Ars Magna de Girolamo Cardano (1501-1576), en el cual se muestran las soluciones para la ecuacioón cúbica y cuá́rtica, desarrolladas por Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557), Ludovico Ferrari (1522-1565) y ́el mismo, obtenidas a partir de un procedimiento sistemático completando el cuadrado, de una manera conveniente, para llegar a la solución. La factorización moderna esta fue, probablemente, la mayor contribución al álgebra desde los babilonios ya que inició una motivación tremenda para la gente. A partir de esta publicació́n, los matemáticos centraron sus esfuerzos en la bú́squeda de la solución para la ecuación de quinto grado durante más de dos siglos y medio. Niels Henrik Abel creyó ́haber encontrado la solución; ́el mismo encontró el error en su demostración y en 1824 publicó “Sobre la resolución algebraica de ecuaciones”, donde demuestra la imposibilidad de hallar alguna solucó́n por radicales para la ecuacióńn de quinto grado4, acabando de esta manera con la búsqueda infructuosa de muchos matemáticos. a partir de los trabajos de Lagrange, Legendre, Gauss y Abel, Evariste Galois (1811-1832) logro ́ determinar cuáles ecuaciones polinómicas de grado superior a cuatro eran solubles por radicales y cuáles no, estudiando las permutaciones de las raíces de la ecuación. El conjunto de estas raíces conforman una estructura de grupo, concepto introducido por ́el e incorporado a la teoría de ecuaciones algebraicas. Así, el objeto de estudio del ́álgebra trascendió ́ de la solució́n de ecuaciones, al estudio de estructuras como la de grupo y posteriormente, la de campo. En este contexto, crece el interés por encontrar mejores métodos para resolver ecuaciones algebraicas de cualquier grado; la búsqueda de la solución de ecuaciones de grado mayor que cuatro, llevo ́ a encontrar los teoremas de factorizacó́n en el dominio de integridad5 de los polinomios y en general, para cualquier dominio de integridad. El problema de determinar la solución de una ecuació́n algebraica general, tiene su sustento teórico en el estudio de dominios de factorizació́n única (DFU). Este teorema se vuelve importante, cuando se aplica a polinomios sobre el campo de los números complejos, en el cual se contemplan los coeficientes de las ecuaciones algebraicas. En este caso, la herramienta decisiva para ver la factorizació́n se conoce como “Teorema Fundamental del Álgebra”: Sea C el campo de los números complejos. Si p(x) ∈ C[x] y es de grado positivo, entonces p(x) tiene al menos una raíz en C. Del teorema fundamental del á́lgebra, se deriva que si p(x) ∈ C[x] es un polinomio de grado n > 0, entonces p(x) se puede expresar como un producto de n factores lineales (no necesariamente diferentes) y por cada uno de estos factores se obtiene un cero del polinomio o, lo que es lo mismo, una solució́n de la ecuación algebraica p(x) = 0. As ́ı, el problema de determinar las soluciones de una ecuación algebraica es equivalente al problema de factorizar completamente el polinomio. Puesto que el anillo de los polinomios es un domino euclidiano, el comportamiento algebraico del dominio de integridad de los polinomios, es idéntico al del dominio de integridad de los enteros, con lo cual teorema fundamental del ́álgebra tiene su equivalente en los números enteros, el teorema funda- mental de la aritmética juntos equivalentes con el teorema de factorización ú́nica para un dominio de integridad. La ú́nica diferencia entre los dos, es que en la aritmética existe un procedimiento sistemático para llegar a la factorizació́n, basada en divisiones sucesivas, mientras que en los polinomios no existe procedimiento alguno. Esto muestra teóricamente, la correspondencia entre la factorización de enteros y polinomios, y por tanto, la posibilidad de estudiar los procesos de factorizació́n desde la aritmética, para entender los procesos de factorizació́n en el álgebra, valiéndose también de los procedimientos, problemas y explicaciones empleados por diversas civilizaciones y personajes, como se puede dilucidar en la historia de las matemáticas. http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias14/8.Factorizaci%F3n%20Algebraica.pdf factorizsción. capricho o necesidad? Según lo que acabamos de ver en la linea del tiempo, la factorización se remonta desde hace más de 400 años, desde los babilonios. El método que ellos usaron para hacerlo fue completar el cuadrado pero ¿porque?. Yo pienso que es un capricho de los matemáticos ya que la factorización es solo llegar a la pregunta cuando ya tienes las respuestas. No creo que sea muy importante en las matemáticas ya que lo único que hace es hallar la pregunta. Los métodos son un capricho aún más grande ya que lo único que hacen es complicarle la vida a gente que no comparte los caprichos de estos matemáticos.
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