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4. Derivaciones

Capítulo 4 de L&P
by

Moris Polanco

on 29 January 2013

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Transcript of 4. Derivaciones

Derivaciones En este capítulo se presentan la deducción natural y las reglas de inferencia para los conectivos.

Objetivos:

1. Explicar la estructura de las derivaciones.
2. Identificar y aplicar las reglas de inferencia para los conectivos binarios.
3. Probar la validez de las reglas de inferencia. Panorama y objetivos Fundamentos Considere el siguiente argumento: Si tuviéramos que probar su validez por medio de una tabla de verdad, tendríamos que hacer 16 líneas Diagrama de Fitch*: *Presupone que el agumento es válido. Conclusión Reglas de inferencia Introducción al ProofLab Raglas de introducción Las reglas de inferencia trabajan con la conjunción, la disyunción y la implicación.

Estas reglas se dividen en reglas de introducción y reglas de eliminación.

Las reglas de introducción nos permiten introducir conjunciones, disyunciones e implicaciones; la de eliminación, extraer ciertas fórmulas de conjunciones, disyunciones o implicaciones presentes en la derivación.

Empezaremos con las reglas de introducción. Panorama Si A y B son verdaderas, (A & B) es verdadera. Será la conclusión de un argumento, o una premisa legítimamente derivada de A y B (premisas o supuestos). Introducción de la conjunción: &I Regla Convenciones:
p1,..., pn.: Premisas
c.: Conclusión
Letras griegas: cualquier fórmula (bien formada, se entiende).
Respetar el orden: si p1 es A y p2 es B, &I será (A & B). Una disyunción es verdadera si cualquiera de sus disyuntos lo es.
Esto implica que a una fórmula cualquiera A, que sea una premisa o un supuesto (y por lo tanto, verdadero), podemos añadirle otra fórmula, mediante una disyunción. Si A es verdadera, (A v B) será verdadera, independientemente del valor de B. Introducción de la disyunción: VIL Y VIR Definiciones: Ejemplo: Definición: Introducción del condicional: ->I Observe que:
1. El condicional se introduce a partir de un supuesto.
2. La subderivación que abre el supuesto se debe cerrar.
3. El resultado es la conclusión o una nueva premisa.
4. Solo se cita la conclusión del supuesto, no el supuesto. Ejemplo: Supuesto Solo se cita p1 (la conclusión del supuesto) Subderivación Las reglas de introducción se pueden aplicar hacia adelante y hacia atrás.

Aquí recomendamos aplicarlas para atrás. Tiene que ver con la estrategia que más adelante se desarrollará.

Al aplicar una regla de introducción para atrás estamos produciendo una nueva meta; si obtenemos esa meta con las premisas disponibles, el problema concluye. Cómo usar las reglas de introducción Ejemplo Reglas de eliminación Las reglas de eliminación se usan para eliminar conectivos, en forma opuesta a como se usan las reglas de introducción.

Al igual que con las reglas de introducción, hay una regla de eliminación para cada conectivo. Panorama Es la más sencilla y una de las más usadas. Se conoce, también, como Modus Ponens (Modus Ponendo Ponens: el modo que al poner, afirma). Eliminación del condicional Regla La idea que fundamenta esta regla es muy simple: si sé que (A&B) es cierto, A & B por separado también son ciertas. Esto significa que de (A&B) puedo deducir A, o B.

Tiene dos formas: &EL y &ER (eliminación de la conjunción a la izquierda o a la derecha) Eliminación de la conjunción Si de A llego a C y de B llego a C, en cualquier caso llego a C. Eliminación de la disyunción Note que hay dos subderivaciones Ejemplo: 1. Si A es una fórmula atómica, la única subfórmula positiva de ella es ella misma.
2. Si A es una fórmula negada -A, la única subfórmula positiva de ella es ella misma.
3. Si A es una conjunción (B & C), las subfórmulas positivas son ella misma, y todas las subfórmulas positivas de B y de C.
4. Si A es una disyunción (B v C), las subfórmulas positivas son ella misma, y todas las subfórmulas positivas de B y de C.
5. Si A es un condicional (B ->C), las subfórmulas positivas son ella misma y todas las subfórmulas positivas de C.

Si una fórmula B es una subfórmula positiva de una conjunción, disyunción o condicional A, decimos que C es es extraíble de A. Subfórmula positiva Página 47 Note que en &EL queda lo de la izquierda, y en &ER, queda lo de la derecha. 1. Extracción: aplique reglas de eliminación hacia adelante para obtener subfórmulas positivas anidadas.

2. Conversión: aplique eliminación de la disyunción para obtener una meta que sea una disyunción.

3. Inversión: aplique reglas de eliminación hacia atrás para obtener metas que no sean fórmulas atómicas.

4. División: aplique eliminación de la disyunción para obtener una meta que no sea una disyunción. Primeras tácticas Se deben aplicar en orden Ejercicio, p. 58
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