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Geometria Espacial

Trabalho sobre Geometria Espacial
by

Lucca Penza

on 25 August 2015

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Transcript of Geometria Espacial

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Esfera
Área e Volume da Esfera
Área - Calota esférica e segmento esférico
A área lateral de ambos é dada por:




Sendo a área-total da calota dada por:
A(total) = π.h(4R-h)


E a área-total do segmento dado por:
A(total) = π(2Rh+R1²+R2²)

Exemplos de Esferas
Volume- Calota esférica e segmento esférico
Calota:
Segmento:
Resumo - Fórmulas
Objeto
Relações e fórmulas
Esfera

Volume = (4/3)π.R³
A(total) = 4.π.R²
Calota esférica (Altura H, Raio da base R)
R² = H (2R-H)
A(Lateral) = 2.π.R.H
A(Total) = π.H.(4R-H)
V = π.H²(3R-H)/3 = π(3R²+H²)/6

Segmento esférico (Altura H, Raios das bases R1>R²)
R² = A² + [(R1² -R2²-H²)/2H)]²
A(Lateral) = 2.π.R.H
A(Total) = π(2RH+R1²+R2²)
Volume = π.H(3R1²+3R2²+H²)/6
Questão Enem
Questão de Fixação
2) Determine a área da superfície esférica e o volume de uma esfera de raio 5 cm.
R = 5 cm
Cilindro
Cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados.
Exemplos de Cilindro
Objetos geométricos em um "cilindro"
Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".

Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".

Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.

Área total: É a medida da superfície total do cilindro.

Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Classificação dos Cilindros Circulares
Cilindro circular oblíquo



Cilindro circular reto



Cilindro equilátero
Área lateral= 2.π.r.h

Área da base= 2.π.r²

Área total= 2.π.r.h + 2.π.r² = 2.π.r(h+r)

Volume= π.r².h
Volume e Área lateral, da base e total
Questão Vestibular
3) (UDESC) A altura de um cilindro circular reto é 3 cm e a superfície lateral é de 12π cm². Logo, o raio da base é:

a) 5 cm
b) 3 cm
c) 1 cm
d) 2,5 cm
e) 2 cm
Questão Enem
4) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m3.
Considere 3 como valor aproximado para π.
Cone
Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone
Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

Vértice: O vértice do cone é o ponto P.

Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.

Exemplos de Cone
Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do Cone
Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.



Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Observações sobre um Cone circular reto
1) Cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

2) A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.



3) Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g² = h² + R².
4) A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A(lateral) = π.r.g

5) A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A(total) = π.r.g + π.r² = π.r.(g+r)

Cones Equiláteros
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

ABase = π.R²

h = R.

V = (1/3) π. .R³

ALat = π.R.g = π.R.2R = 2.π.R²

ATotal = 3.π.R²

Exercícios de Fixação
5) A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.
6) Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?
Pirâmide
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplos de Pirâmides
Elementos de uma Pirâmide
Plano;

Base;

Faces laterais;

Vértice;

Altura(h);

Aresta da base(Ab);

Arestas Laterais(Al);

Apótema(Ap);

Apótema da base(r).
Classificação das Pirâmides
A pirâmide recebe o nome a partir de sua base, uma pirâmide de base triangular ou quadrada recebem o nome, respectivamente de, pirâmide de base triangular, pirâmide de base quadrada, etc.

Pirâmide regular é aquela onde, sua base é um polígono regular e a projeção do ponto que une todas as faces (vértice) na base, fica no centro da base.
Área lateral de uma Pirâmide
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
A(lateral) = n.A(face) ou n.(Ab.Ap)/2
A(face) = b.h/2
Área total de uma Pirâmide
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
A(lateral) = n.A(face) ou n.(Ab.Ap)/2
A(base) = Área do polígono que forma a base da pirâmide. Ex: Quadrado = l² / Triângulo = b.h/2
Volume de uma Pirâmide
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Volume = (1/3).A(base).h ou (A(base).h)/3
Seção Transversal de uma Pirâmide
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.
Questão Enem
Questão de Fixação/Vestibular
2) (VUNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será:
a) 36
b) 27
c) 18
d) 12
e) 4
Geometria Espacial
Corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões.
- História;

- Conceitos Primitivos.
Prismas
'' Um prisma é um sólido com bases paralelas poligonais iguais e paralelogramos como faces laterais. O polígono nas bases paralelas, define o nome do prisma. ''
Exemplos de Prismas
Elementos do Prisma
Classificação dos Prismas
Heptagonal



Octogonal
Volume do Prisma
V(prisma) = A(base).h
Questão de Fixação
9) Suponhamos que neste exemplo o paralelepípedo meça 20 cm de comprimento, 20 cm de largura e 40 cm de altura. Calcule o volume desse prisma:
Área total e área lateral do Prisma
Área do Prisma
At = 2.Ab + Al


Área Lateral do prisma reto
AL = n.A(face lateral) ou AL= P.h

Questão de Fixação
Casos especiais
1) Paralelepípedo (prismas quadrangulares) : Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo.
Volume : V=Ab.h --> V= a.b.c

Diagonal da Base : db²= a² + b²
Área Total : At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
2) Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Seções de um Prisma
• Secção reta é normal às arestas. É a secção de menor área.
• Secção transversal é paralela às bases. É uma secção igual às bases.
• Secção inclinada é inclinada em relação às bases e às arestas.

Alisson Menezes, Christian Aleph, Lucca Penza, Matheus Prates e Maurício Alan.
Colégio Sistema - 3º ano A
Altura dos Prismas
Reto Oblíquo
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de:

A) 1,6.
B) 1,7.
C) 2,0.
D)3,0.
E)3,8.
Ab = Aresta da base
Ap = Apótema
Relações Métricas na Pirâmide
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