Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Liczby Pierwsze

No description
by

Maciej Basiuk

on 14 March 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Liczby Pierwsze

Liczby Pierwsze
Liczby pierwsze
Rozkład na czynniki doprowadza do definicji liczby pierwszej: Liczba pierwsza to taka liczba, której czynnikami są tylko 1 i ona sama.
Jak wyszukiwać liczby pierwsze?
Ile jest liczb pierwszych?
Zbiór liczb pierwszych ma nieskończenie wiele elementów.

Liczby pierwsze są jakby atomami, z których przy pomocy mnożenia można zbudować pozostałe liczby.
A co z jedynką?
Liczba jeden nie jest liczbą pierwszą, gdyż można ją zapisać na nieskończenie wiele sposobów:
1=1*1=1*1*1…
Sito Eratostenesa
Żeby odnaleźć wszystkie liczby pierwsze pośród danych N liczb, należy wykreślać wielokrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych
niż pierwiastek kwadratowy z N.
Szukamy wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 120. Wykreślamy wielokrotności liczby 2, następnie wielokrotności
liczby 3, 5 i 7. Tyle liczb wystarczy,
gdyż wykreślamy wielokrotności liczb mniejszych od pierwiastka kwadratowego ze 120.
Przykład:
Liczby doskonałe
Liczby bliźniacze
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby względnie pierwsze
Liczby doskonałe to liczby naturalne, które są sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych).
Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128, 33550336, 8589869056 i 137438691328.
Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2.
Przykłady liczb bliźniaczych:
3 i 5 ; 5 i 7 ; 11 i 13 ; 17 i 19 ; 29 i 31 ; 41 i 43 ; 59 i 61 ; 71 i 73.
Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych,
takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej
(nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).
Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa,
jest para liczb 220 i 284, ponieważ:
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284)
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)
Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych
i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.
Liczby względnie pierwsze to liczby całkowite,
które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników,
czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność.
Liczby pierwsze można łatwo odczytywać z tabeli, w której kolumny są oznaczone od 0 do 9, a wiersze oznaczone są od 0, wpisujemy liczby pierwsze. Aby odczytać, którą z kolei jest dana liczba pierwsza, odczytujemy numer wiersza, w której się znajduje i dopisujemy do niego numer kolumny.
Łatwo teraz stwierdzić, że:
liczba 17 jest 7 liczbą pierwszą
liczba 197 jest 45 liczbą pierwszą...
Zad.1. Określ którą z kolei liczba pierwsza jest liczba:
4073
1663
433
5441
11173
7457
10607
3
1237
2411
NWD i NWW
Największy wspólny dzielnik
dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich.
Najmniejsza wspólna wielokrotność
dwóch liczb jest to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością obu liczb.
Algorytm Euklidesa
Tradycyjny rozkład na czynniki pierwsze - faktoryzacja
Znajdźmy teraz NWD liczb 36 i 80
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
36 2
18 2
9 3
3 3
1
NWD(36,80)=2*2=4
NWW(36,80)=4*2*2*3*3*5=720
80=2*36+8
36=4*8+4
8=2*4+0
NWD(36,80)=4
NWW(36,80)=(36*80)/4=720
Dwie krawcowe obszywają brzegi obrusów. Pierwszej ta czynność zabiera 20 min,
drugiej 25 min. Obie zaczynają pracę o godzinie 7:00.
a) O której godzinie obydwie krawcowe pierwszy raz jednocześnie kończą obszywać obrusy?
b) Ile razy skończą jednocześnie obszywać obrusy w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy?
25=1*20+5
20=4*5+0
NWD(20,25)=5
NWW(20,25)=(20*25)/5=100
7:00+1:40=8:40
100 minut = 1h 40min
8 godzin = 8*60 minut = 480 minut
480/100=4,8
Bartek i Jurek postanowili zmierzyć odległość namiotu od przystani
za pomocą swoich kroków. Bartek stawia kroki o długości 48 cm,
zaś Jurek - o długości 56 cm. W jakiej odległości od namiotu znajduje się przystań, jeśli ślady stóp chłopców pokryły się 15 razy?
Wynik podaj w metrach.
56=1*48+8
48=6*8+0
NWD(48,56)=8
NWW(48,56)=(48*56)/8=336
Co 336cm ich kroki pokrywają się.
336*15=5040(cm)
5040cm = 50,4m
Zad.2. W pewnej chwili planety Wenus i Merkury zajmują określone położenie względem Słońca. Po upływie ilu dni znajdują się w tym samym położeniu, jeśli Wenus wykonuje pełny obieg wokół słońca w ciągu 234 dni
a Merkury - w ciągu 90 dni?
Rachunek Prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia pewnego określonego zdarzenia.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia, należy wyznaczyć liczbę zdarzeń sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń, a następnie podzielić mniejszą wartość przez większą (wynik nie może być większy od liczby 1). W szczególnym przypadku liczba zdarzeń sprzyjających może być:
równa liczbie wszystkich możliwych zdarzeń -–prawdopodobieństwo jest równe 1;
równa 0 -–prawdopodobieństwo jest równe 0.
Co oznacza liczba która jest wynikiem?
Jak ocenić, czy szansa sukcesu jest duża? Można to zrobić przedstawiając wynik w postaci procentowej.
Np. Jeżeli P(A)=3/4 (nasze pradwopodobieństwo zdarzenia "A"),
to po zamianie liczby na procent, mamy: 3/4*100%=75%
Co to takiego?
Losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania
ze zbioru Z = {1,2,3,4}. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowane liczby różnią się o 1.
1 2 3 4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
2
2
1
1
1
1
Zielone "X" wykluczają możliwość powtórzenia w losowaniu, ponieważ losujemy bez zwracania.
Teraz widzimy, że par liczb, które różnią się o 1 jest 6.
Zauważamy też, iż wszystkich możliwych wylosowań par jest tyle ile pól w tabeli (w których stoją liczby) tj. 12.
A więc P(A)=6/12=1/2
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej 5.
1 2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
1
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11
12
Ilość par, których suma wynosi 5 jest równa 4.
Ilość wszystkich możliwych par jest równa 36.
Zatem prawdopodobieństwo otrzymania pary,
której suma będzie wynosiła 5 w dwukrotnym rzucie monetą równe jest 4/36=1/9
Rzucamy dwa razy symetryczną monetą.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wypadnie orzeł?
Do rozwiązania tego przykładu pomocny będzie schemat drzewka
O
R
O - orzeł
R - reszka
1/2
1/2
O
O
R
R
1/2
1/2
1/2
1/2
Na zielono zaznaczyliśmy "ramiona" które prowadzą nas do uzyskania przynajmniej jednego orła w dwukrotnym rzucie monetą.
Następnie wymnażamy:
1/2*1/2+1/2*1/2+1/2*1/2=
=1/4+1/4+1/4=
=3/4
Rzucamy monetą, a następnie losujemy kulę z pudełka
(są 3 kule czarne, 2 zielone i 4 białe). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie monetą wypadł orzeł i z pudełka wylosowaliśmy białą kulę?
C - kula czarna (w pudełku jest ich 3 na 9 wszystkich kul, a więc na wylosowanie czarnej kuli mamy P(C)=3/9=1/3)
Z - zielona kula (jest ich 2 na 9 wszystkich, a więc P(Z)=2/9)
B - kula biała (jest ich 4 na 9 wszystkich, a więc P(B)=4/9)

O
R
1/2
1/2
C
C
Z
Z
B
B
1/3
1/3
2/9
2/9
4/9
4/9
Nasze obliczenia sprowadzają się do wymnożenia jednego ramienia, a więc prawdopodobieństwo wynosi:
1/2*4/9=4/18=2/9
Zad.3. Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby pierwszej jest równe?
Zad.4. Ze zbioru liczb dwucyfrowych pierwszych losujemy dwie liczby większe od 70. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3?
Zad.5. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest:
a) liczbą pierwszą;
b) liczbą doskonałą?
Zad.6. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczby oczek z jednej i drugiej kostki są:
a) względnie pierwsze;
b) bliźniacze?
Zad.7. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul:
4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul:
2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.
Dziękujemy za udział w prelekcji zorganizowaniej w
I Liceum Ogólnokształcącym w Świdniku
o liczbach pierwszych i rachunku prawdopodobieństwa.
Serdecznie zapraszamy na Dni Otwarte naszej szkoły - 28.04.2014r.,
liczymy również, że zobaczymy się we wrześniu.
Opiekun grupy: Józef Jaśkowski
Uczniowie zaangażowani w prelekcję: Maciej Basiuk, Kaja Bogucińska, Katarzyna Charytanowicz, Adrianna Czeczko, Patryk Samborski,
Marek Pucek, Kuba Bielak.
4 razy
NWW(a,b)=(a*b)/NWD(a,b)
Znalejdź parę liczb całkowitych (x, y) spełniających związek

42823x + 6409y = 17.
Full transcript