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SISTEMA MASA - RESORTE

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Daniela Tellez

on 24 April 2014

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Transcript of SISTEMA MASA - RESORTE

SISTEMA MASA - RESORTE
Suponga que un resorte flexible se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se une a una masa m a su extremo libre.
Por
ley de Hooke
, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la cantidad de elongación s.
F=ks
donde k es una constante de resorte.
El resorte se caracteriza en esencia por el número k.
Ley de Hooke
Después que se une una masa m a un resorte, éste alarga el resorte por una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W=mg, se equilibra mediante la fuerza restauradora F=ks.
Segunda ley de Newton
m (d^2 x)/(dt^2 )=-k(s+x)+mg=-kx+mg-ks=-kx (1)
Al dividir la ecuación (1) entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden d2x/dt2 + (k/m) x=0, o bien,
(d^2 x)/(dt^2 )+w^2 x=0 (2)
donde w^2=k/m.

Ecuacion diferencial de movimiento no amortiguado
Ejemplo 4: Movimiento críticamente amortiguado
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas restauradoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, abra por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante. Como se ilustra en la figura 3, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o unida a un dispositivo amortiguador.
Ecuación diferencial de un movimiento libre amortiguado
SISTEMA RESORTE-MASA: LIBRE NO AMORTIGUADO
Sistemas con constantes de resortes variables
En el modelo analizado antes se supuso una situación ideal, una en que las características físicas del resorte no cambian con el tiempo. No obstante, en la situación no ideal, parece razonable esperar que cuando un sistema resorte-masa esta en movimiento durante un largo tiempo, el resorte se debilita; en otras palabras, varia la constante de resorte o, de manera más específica, decae con el tiempo. En el modelo para el resorte cada vez más viejo la constante de resorte k en (1) se remplaza con la función decreciente k(t)=ke^(-Bt) ,k>0 ,B>0 ; dando como resultado una ecuación diferencial lineal de la forma:
0=mx"+ke^(-Bt) x
Ejercicio 15
Un modelo de un sistema de resorte-masa es 4x"+e^(-0.1t) x=0
Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un largo periodo .

Rta:
4x"+e^(-0.1t) x=0

Teniendo en cuenta que t→∞ entonces:

4x"+e^(-0.1(∞)) x=0
4x"=0
x"=0

En conclusión, al pasar el tiempo la fuerza del resorte decaerá hasta que este alcance su mayor elongación y sea incapaz de retornar la masa.


SISTEMA MASA - RESORTE: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
GRACIAS!!
En el estudio de la mecánica, las fuerzas amortiguadas que actúan
sobre un cuerpo son consideradas proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se deduce de la segunda ley de Newton que:
H= landa
m (d^2 x)/(dt^2 )=-kx-Bdx/dt (3)

Donde B es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento.
Al dividir la ecuación (3) entre la masa m, se encuentra que la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado es d2x/dt2 + (B/m)dx/dt + (k/m)x=0 , o bien:

m ( d^2 x)/dt^2 +2H dx/dt+w^2 x=0 donde 2H=B/m , w^2=k/m

El símbolo 2H se usa solo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar es m^2+2λm+ω^2=0 y por lo tanto, las raíces correspondientes son
m_1=-H+√(H^2-w^2 ), m_2=-H-√(H^2-B^2 )

Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies de un resorte.Suponiendo que una fuerza
amortiguada igual a dos veces la velocidad instantanea actua sobre el sistema,
determine la ecuacion de movimiento si la masa inicial se libera desde la posicion
de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s

Solucion:
De la ley de Hooke se ve que 8=k(2) da k=4 lb/pie,y que W=mg da m=8/32=1/4 slug.

1/4 (d^2 x)/ dt^2 =-4x-2 dx/dt o (d^2 x)/dt^2 +8 dx/dt+16x=0

La ecuacion auxiliar para anterior ecuación es
m^2+8m+16m=(m+4)^2=0, si
que m_1=m_2=-4. Por consiguiente el sistema esta críticamente amortiguado, y
x(t)=c_1 e^(-4t)+c_2 te^(-4t)

Aplicando las condiciones iniciales x(0)=0 y x^' (0)=-3,se encuentra, a su ves,
que c_1=0 y c_2=-3. Por lo tanto, la ecuación de movimiento es

x(t)=3te^(-4t)

Para graficar x^' (t),de x^' (t)=-3e^(-4t) (1-4t) se que x^' (t)=0 cuando t=1/4. El
desplazamiento extremo correspondiente es x(1/4)=-3(1/4) e^(-1)=-0.276 pie.
Como ilustra la siguiente gráfica, este valor se interpreta para indicar que la
masa alcanza una altura máxima de 0.276 pies arriba de la posición de equilibrio.
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