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Chapitre 7 - Loi normale et estimation de paramètres

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by

Marie-Eve Roussel

on 27 March 2014

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Transcript of Chapitre 7 - Loi normale et estimation de paramètres

Estimation d'un paramètre
Loi normale et estimation des paramètres
1. Estimation ponctuelle
Caractéristiques de la loi (courbe) normale
Courbe (loi) normale centrée réduite
Prendre n'importe quelle série stat (mauve, orange, verte...) et transformer les x en z via

= créer une courbe normale centrée réduite (en bleu: µ=0 et =1)
Estimation de paramètres
Estimation des paramètres requiert:
2. Estimation par intervalle de confiance
b) Niveau de confiance
Courbe en forme de cloche
Mo = Md = µ

Déterminée par sa µ et son
X~N(µ; )

2
Symétrique
Aire sous la courbe = 100% des données
Loi normale de moyenne 0 et de variance 1
Une variable X qui suit la loi normale centrée réduite se note X~N(0;1)
Trouver le % de données (aire sous la courbe) entre 2 valeurs: x1 et x2
Le secret de la table de loi (Codex)
Stratégies de calcul
Trouver un Z ou un score à partir d'une proportion
Trouver la cote Z
Faire le chemin inverse à partir de la table de loi normale centrale réduite
Une proportion de 0.4864 est circonscrite entre une cote Z de 0 et une cote Z de ...?
Si on connaissait la moyenne et l'écart-type de cette distribution, on pourrait trouver quelle valeur se cache derrière un Z de 2.21
Exemple
Les QI adultes suivent une loi normale dont la moyenne est 100 et l'écart-type est de 15.
X~N(100; 15 )
2
À quelle valeur de QI (et +) correspondent les 2,5% + intelligents de la population?
Z = 1,96 (proportion = 0,475)
Z = (X - µ) /
1,96 = (X - 100) / 15
29,4 = X - 100
129,4 = X
Utilités
Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance
Théorème central limite :
Si on extrait aléatoirement tous les éch. possibles de grandeur n d'une pop., alors
leur moyenne = µ
leur écart type =
Échantillonage aléatoire
Échantillon assez grand (n>30)
On aura besoin de:
Estimation ponctuelle (x ou p)
Niveau de confiance
Calculer la marge d'erreur
_
Estimation par intervalle de confiance
1-
Zone d'erreur /2= Les 2 sections de la courbe où les éch. sont à une distance de + de XYZ de la µ de la pop
Probabilité que l'intervalle de confiance de l'éch. contienne la valeur du paramètre
3 usages de la loi normale centrée réduite:

Trouver l'aire (% de données) entre 2 valeurs (X1 et X2)

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

Estimation d'une proportion par intervalle de confiance
Formule à utiliser pour trouver dans quel intervalle de confiance se trouve la µ
Étapes
1. Trouver x, s et n
2. Identifier le niveau de confiance
3. Diviser le niv. conf. /2, puis /100 (p)
4. Trouver la cote Z associée à ce niv. de conf.
5. Entrer les valeurs dans la formule et calculer
6. Interpréter
_
Étapes
2. Identifier le niveau de confiance
3. Diviser le niveau de confiance /2, puis par 100 (p)
4. Trouver la cote Z associée à ce niveau de confiance
5. Entrer les valeurs dans la formule et calculer
6. Interpréter
1. Identifier p et n
Formule
Exemple
Probabilité que l'éch. ait une moyenne à moins de XYZ "distance" de la µ de la pop
Exemple:
Paramètre = mesure prise sur une pop.
Statistique = mesure prise sur un éch.
Estimer directement que le paramètre = la statistique
Estimer la µ des élèves du cégep à partir de l'échantillon du sondage MQ (x)
Estimer la des élèves du cégep fumeurs à partir d'un échantillon XYZ (p)
Estimer que le paramètre = la statistique ± une certaine fourchette de valeurs
a) Marge d'erreur (ME)
La moitié de l'intervalle de confiance
Probabilité que le paramètre se situe à l'intérieur de l'intervalle de confiance de la statistique de l'échantillon
N(0;0.5²)
N(0;1²)
N(0;2²)
N(4;0.4²)
Choisir son niveau de confiance
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Trouver le Z associé à /2
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x
80%
90%
95%
99%
Politique:

Connaître la proportion de l'électorat qui a l'intention de voter pour la CAQ

Connaître la proportion de l'électorat que tel parti gagnerait s'il faisait passer un projet de loi XYZ

...
Marketing:

Connaître la proportion de la clientèle qui a un contrat avec Bell

Connaître la proportion de gens qui prennent pour les Titans et dans quels groupes d'âge ils se distribuent (public cible)

...
Estimation d'une proportion par intervalle de confiance
Santé publique:

Connaître la proportion de gens qui n'auront pas le cancer du poumon s'ils cessent de fumer avant 25 ans. 30 ans.?

Connaître la proportion de gens qui bénéficieront d'un nouveau traitement pharmacologique

...
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