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METODO DE GAUSS

Con el objetivo de compartir un ejemplo real relacionado con la carrera de Ingeniería en Tecnologías Ambientales y el uso del Método de Gauss para resolver matrices.
by

M. Patricia Cuautle

on 24 August 2016

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Transcript of METODO DE GAUSS

METODO DE GAUSS
El propósito de este trabajo es la resolución del problema de balance de materia involucrando la solución de ecuaciones algebraicas lineales por el método de Gauss.
Los balances de materia y energía son una de las herramientas más importantes con las que cuenta en los procesos químicos y se utilizan para contabilizar los flujos de materia y energía entre un determinado proceso industrial y los alrededores o entre las distintas operaciones que lo integran.
EJEMPLO
Una solución que está compuesta por una mezcla de ácidos que contiene:
65% de ácido sulfúrico (H2SO4) ,
20% de ácido nítrico (HNO3) y el resto de agua, se produce al mezclar 3 corrientes acidas:
Corriente 1 = 10% HNO3, 60% H2SO4 y el resto agua.
Corriente 2 = 90% HNO3 y 10% H2O
Corriente 3 = 95% H2SO4 y el resto agua

INTRODUCCIÓN
OBJETIVO
FUNDAMENTO TEÓRICO
La eliminación de Gauss convierte un sistema de ecuaciones lineales cualquiera en uno triangular superior mediante una serie de etapas, cada una de las cuales se pueden utilizar las siguientes operaciones fundamentales.
a) Multiplicación
b) Adición
c) Permutación
El mezclador sirve para asegurar el contacto o colisión entre las sustancias para que se lleve a cabo la reacción química.
MEZCLADOR
¿Calcular la cantidad de cada una de estas corrientes para obtener 1000 ml de esta solución ácida?
MEZCLADOR
10% HNO3
60% H2SO4
30% H2O
90% HNO3
10% H2O
95% H2SO4
5% H2O
65% H2SO4
20%HNO3
15% H2O
C1
C2
C3
S
1000ml
Balance global
C1 + C2 + C3 = S S=1000
C1 + C2 + C3 = 1000 (
1
Balance parcial para el H2SO4
0,6x C1 + 0x C2 + 0,95x C3 = 0,65xs
0,6 C1 + 0,95 C3 = 650 (
2
Balance parcial para elHNO3
0,1x C1 + 0,9x C2 + 0x C3 = 0,20xs
0,1 C1 + 0,9 C2 = 200

(3
SISTEMA DE ECUACIONES
C1 + C2 + C3 = 1000
0,1 C1 + 0,95 C3 = 650
0,1 C1+ 0,9 C2 = 200

1 y 2
C1 + C2 + C3 = 1000 (x-0,95)
0,6 C1 + 0,95 C3 = 650

- 0,95C1 - 0,95C2 -0,95 C3 = -950
0,6 C1 + 0,95 C3 = 650

- 0,35C1 - 0,95C2 = -300
(4

3 y 4
0,1 C1 + 0,9 C2 = 200 (x0,35)
-0,32 C1 -0,95 C2 = -300 (x0,1)

0,035 C1 + 0,315 C2 = 70
-0,035 C1 - 0,095 C2 = -30
0,22 C2 = 40
C2= 40/0,22



C2= 181,82 ml
Reemplazamos C2 en la ecuación ( 3

0,1 C1 + 0,9 C2 = 200
0,1 C1 + 0,9(181,82) = 200
0,1 C1= 200 – 0,9 (181,82)
0,1 C1= 36.362
C1=36,36240/0,1

C1= 363,62 ml

Reemplazamos C1 y C2 en la ecuación (1

C1 + C2 + C3 = 1000
C3 = 1000 - C1 - C2
C3 = 1000 – 363,62 –181,82

C3= 454,56 ml


SISTEMA DE ECUACIONES

C1 + C2 + C3 = 1000
0,6C1 + 0C2 +0,95 C3= 650
0,1C1 + 0,9C2+0 C3 = 200

Resolvemos el sistema de ecuaciones por eliminación de gauss.

1 1 1 1000

0,6 0 0,95 650 a_21 (-0,6/1)

0,1 0,9 0 200 a_31 (-0.1/1)



1 1 1 1000

0 -0,6 0,35 50 a_32(-0,8/0,6)

0 0,8 -0,1 100


1 1 1 1000

0 -0,6 0,35 50

0 0 11/30 500/3


C1 + C2 + C3 = 1000 ( 1
-0,6C2 + 035 C3 = 50 ( 2
11/30 C3 = 500/3 ( 3

C3 = 500/3 = 5000/11
11/3
C3 = 454,5454


Reemplazamos C3 en ec. 2
-0,6C2= 50 – 0,35 (454,55)
C2= 181,82


Reemplazamos C3y C2 en ec. 1

C1= 1000 – C2 – C3

C1= 1000 – 181,82 – 454,55

C1= 363,64

GRACIAS POR SU ATENCION
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incognita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
1. Determine la primer columna
(a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la
columna es cero,
intercámbielo por un renglón
que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del
elemento delantero sumando
múltiplos adecuados
a los renglones debajo de el.
Algoritmo
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo
y repita el proceso comenzando en el paso 1.
Al termino del ciclo entre el paso 1 al 4
(es decir cuando se han barrido todos
los renglones), la matriz deberá tener
forma de escalón.
5. Comenzando con el ultimo
renglón no cero avance hacia arriba
para que en cada renglón tenga un 1
delantero y arriba de el queden solo ceros.
Para ello deberá sumar múltiplos
adecuados del renglón a los renglones
correspondientes.
Docente
I.Q. Martha Patricia Cuautle F.
Álgebra Lineal.
Ing. Tecnología Ambiental.
UnADMéxico
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