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DISTRIBUCION GAMMA Y EXPONENCIAL

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Andres Zambrano

on 1 August 2014

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Transcript of DISTRIBUCION GAMMA Y EXPONENCIAL

FUNCIONES
A pesar de ser un caso especial de la familia de distribuciones gamma, que se analizan por Karl Pearson en 1895, se tardó tres décadas y media para que la distribución exponencial apareciera por si sola en la literatura estática. Kondo (1931) se refirió a la distribución exponencial, mientras se discute la distribución muestral de la desviación estándar, como Tipo X de distribución de Pearson.

D. EXPONENCIAL EN R
FUNCION DE DENSIDAD
HISTORIA
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
La distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas, diferente a la distribución de Poisson, que describe las llegadas por unidad de tiempo.

La distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero.

Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.
Angela Cano
Brayan Cortes
Andrés Zambrano

DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL
KARL PEARSON
(1857-1936)
VALOR ESPERADO Y VARIANZA
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.

El tiempo que un medico dedica a una exploración.

El tiempo de servir una medicina en una farmacia.
SIMULACIÓN
La magnitud de los terremotos registrados en una región de Estados Unidos puede representarse mediante una función exponencial con media 2.4, de acuerdo con la escala de Richter, calcule la probabilidad de:

a) Rebase los 3.0 grados en la escala Richter.

b) Sea inferior a los 2.0 grados en la escala de Richter.

c) P(X <. x) = 1/5.

d) P(X > x) = 2/5.

X= magnitud, en grados, de la escala Richter.
P( X > 3.0)
[1] 0.2865048

- La probabilidad de rebase los 3.0 grados en la escala Richter, es: 0.2865048 = 28.65%
> pexp(3.0, rate=1/2.4, lower.tail = F)
a) Rebase los 3.0 grados en la escala Richter.
P(X < 2.0)


> pexp(2.0, rate=1/2.4, lower.tail = T)
[1] 0.5654018
-La probabilidad de que sea inferior a los 2.0 grados en la escala Richter, es:
0.5654018.=56.54%
b)
Sea inferior a los 2.0 grados en la escala de Richter.
P( X <. x) = 1/5
> qexp(1/5, rate=1/2.4, lower.tail = F)
[1] 3.862651


Por lo tanto, la magnitud, en grados, en la escala Richter que sea inferior para obtener una probabilidad de 1/5 es:
3.862651.


c)
P(X <. x) = 1/5.

Por lo tanto, la magnitud, en grados, en la escala Richter que se debe rebasar para obtener una probabilidad de 2/5 es:
1.225981.

d)
P(X > x) = 2/5.
P( X > x) = 2/5
> qexp(2/5, rate=1/2.4, lower.tail = T)
[1] 1.225981
x, q: Vector de cuantiles.

p: Vector de probabilidades.

rate: Vector de tasas. Hay que tener en cuenta que: rate = 1/Beta

lower.tail: Parámetro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabilidades son P[X < x], de lo contrario, P [X > x]

“La distribución Exponencial es un caso especial de la distribución Gamma.
Cuando en la distribución Gamma Lambda=1, se tiene la distribución exponencial. Esto significa que la suma de variables aleatorias independientes que tienen una distribución Exponencial Negativa, es a su vez una variable aleatoria con distribución Gamma.”
HISTORIA GAMMA
DISTRIBUCION GAMMA
Sirve de modelo para numerosos experimentos en donde interviene el tiempo.

Si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media , la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma
• Problemas de tráfico en líneas telefónicas.
• Tiempo de falla de un sistema de componentes, cada uno falla con frecuencia.
• Problemas de confiabilidad.
•La distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).

FUNCIONES
FUNCIÓN DE DENSIDAD
VALOR ESPERADOY VARIANZA
DISTRIBUCIÓN GAMMA EN R
• x, q:
Vector de cuantiles.
• p:
Vector de probabilidades.

• rate:
Alternativa para especificar el valor de escala (Scale). Por defecto, su valor es igual a 1.
• shape, scale:
Parámetros de la Distribución Gamma. Shape = a y Scale = s = 1/rate. Debe ser estrictamente positivo el parámetro Scale.
• lower.tail:
Parámetro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabilidades son P[X<x], de lo contrario, P [X > x].

SIMULACION EN R
En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribución Gamma de parámetros Lambda= 3 y Beta= 0.5.
a)
Insuficiente en un día cualquiera.
X: Abastecimiento de una planta de energía, en kW/hora, a una ciudad

Sigue una distribución Gamma, X ~ (3, 0.5)
a.
P( X > 10)

> pgamma(10, 3, rate=0.5, lower.tail = F)
[1] 0.1246520

La probabilidad de que sea insuficiente el suministro es:
0.1246520 = 12.46%

b)
Se consuman entre 3 y 8 millones de kW/hora.
P(3 <.X <.8)

> pgamma(8, 3, rate = 0.5, lower.tail = T) - pgamma(3, 3, rate = 0.5, lower.tail = T)

[1] 0.5707435

La probabilidad de que el suministro esté comprendido entre 3 y 8 kW/hora es:

0.5707435 = 57.07%
c)
Obtener el consumo necesario para una probabilidad de:
P(X <.x) = 0.9.
c.
Probabilidad de 0.9

> qgamma(0.9, 3, rate = 0.5, lower.tail = T)

[1] 10.64464

Para una probabilidad de 0.9, el consumo es: 10.64464 kW/hora

EJEMPLO
El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución
aproximadamente exponencial, con media 22 minutos.
1.
Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos.
2.
El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la
probabilidad de que una reparación cueste 4000 pts.?
3.
Para efectuar una programación, ¿cuanto tiempo se debe asignar a cada reparación
para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo
asignado sea solo de 0.1?

1. Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos.
2. El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción.
¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000 pts.?

X= Representa el tiempo de reparación (en minutos) de las máquinas.
Función de densidad
Parámetro de la distribución
Se observa que una reparación costara 4000 pesetas siempre que su duración sea superior a 30 minutos e inferior o igual a 60 minutos
EJEMPLO
En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros:
Lambda = 3 y Beta= 0.5.
La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora. Cuál es la probabilidad de que este abastecimiento sea:

1.
¿Insuficiente en un día cualquiera?
2.
¿Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?
3.
Encuentre E(x) y V(x).

1. ¿Insuficiente en un día cualquiera?
2. ¿Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?
3. Encuentre E(x) y V(x).
x= El consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora.
Rta: 12.46%
Rta; 57.1%
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Su aparición se debe cuando Leonard Euler (1707-1783) escribió una carta a Christian Goldbach (1960-1764) en el año 1729 en la que hacía referencia a una función. Posteriormente Adrian María Legendre (1725-1833) propuso llamar esta función gamma
LERONARD EULER
“En la academia de Petersburgo entre 1730 y 1731 Euler calculo miembros de series, mediante integrales determinadas que más tarde serán llamadas función beta y función gamma”.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN
¡PARA TENER EN CUENTA!
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