Cinemática 1D

Velociade Constante: Um caso particular
Cálculo de x(t) a partir de v(t)
Vettel no GP de Mônaco
Posição - 1D
Velocidade Média x Velocidade Instantânea
Introdução
Entender o movimento é uma das metas das leis da Física.
A mecânica estuda o movimento e as suas causas.
A sua descrição é feita pela
Cinemática
.
As suas causas são descritas pela
Dinâmica
.
Iniciamos com o movimento em 1D
CINEMÁTICA - 1D
Deslocamento e Velocidade média
Derivada
Conceitos Abordados:
Posição;
Movimento;
Trajetória;
Velocidade média;
Velocidade instantânea;
Aceleração média;
Aceleração instantânea.
Em cinemática, os conceitos de
tempo
e
posição
são
primitivos
. Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um
eixo orientado
, relativamente a um ponto de referência, geralmente tomado como a
origem
(
x=0
).
O
movimento
de um objeto consiste na mudança de sua posição com o decorrer do tempo.
Um conceito importante é o da
relatividade
do movimento: sua descrição depende do observador. Já a escolha da origem é
arbitrária
.
A
trajetória
é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo objeto que se movimenta.
O
deslocamento
unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (t - t ) é a diferença entre a posição final (x ) no instante t e a posição inicial (x ) no instante t , dado por:
1
2
1
1
2
2
A velocidade média é definida como:

(unidade:m/s)
Se (movimento no sentido de x
crescente
)
Se (movimento no sentido de x
decrescente
)
Exemplo:
Veloc. escalar média x Veloc. média
Aceleração
Exemplo numérico:
Vm?
de 0 a 5,0 s:
de 5,0 a 10,5 s:
todo intervalo:
8,0 m/s
10,9 m/s
9,5 m/s
A velocidade média nos dá informações sobre o movimento
em um intervalo de tempo
. Mas podemos querer saber a velocidade
em um dado instante
.
A velocidade instantânea é a
derivada
da posição em relação ao tempo.
Visualização Gráfica de uma Derivada
Derivadas Importantes
A velocidade escalar média é uma forma de descrever a "rapidez" com que um objeto se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e do sentido, sendo dada por:
Em muitas situações a velocidade escalar média é igual a velocidade média, entretanto, essas duas velocidades podem ser muito diferentes. Exemplo: partícula parte de O, descreve uma circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido um tempo T. Neste caso:
A velocidade escalar é o
módulo
da velocidade; ela é destituída de qualquer direção e sentido. (o velocímetro de um carro marca a velocidade escalar intantânea e
não
a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido do movimento).
Uma viagem de Maringá a Londrina é feita em média em 1 h. A distância entre estas cidades é de 100 km. Quais são a velocidade média e escalar média numa viagem de ida e volta à Londrina, com uma parada de 2 horas durante o percurso?
a) 50 km/h e 0 km/h
b) 0 km/h e 50 km/h
c) 100 km/h e 50 km/h
d) 50 km/h e 100 km/h
e) Nenhuma das alternativas acima
Velocidade Constante:
Note que x-x é a área sob a curva da velocidade constante em função do tempo
0
Quando a Velocidade não é Constante:
Dividimos o intervalo (t-t ) em um número grande N de pequenos intervalos de tempo.
0
Resumindo:
A
velocidade
é obtida
derivando-se
a posição em relação ao tempo;
geométricamente a velocidade é o

coeficiente angular da reta tangente

à curva da posição em função do tempo no instante considerado
.
O
deslocamento
é obtido pela
anti-derivada
(ou
integração
) da velocidade;
geométricamente o deslocamento é a

área sob a curva da velocidade

em função do tempo
.
Integrais Importantes
Qual desses cinco gráficos de coordenada versus tempo representa o movimento de uma partícula cujo módulo da velocidade está aumentando?

I
II
III
IV
V
Aceleração média
A aceleração média é dada por:

(unidade:m/s )
Exemplo:
acel. médias?
0s - 4s:
4s - 8s:
8s - 13s:
2
2,5m/s
2
0m/s
2
-0,4m/s
2
Aceleração Instantânea
Aceleração Constante:
Se a aceleração é constante:
Se t =0 e v(t )=v , a velocidade fica:
Note que nesse movimento a velocidade média é dada por:
Como , temos:
Resumo: Aceleração Constante:
Exemplo:
O movimento de uma partícula é descrito pela equação :
x = t - 4t +3 (x em m e t em s)
a) Fazer o gráfico de x(t)
b) Calcular v(t) e a(t) e fazer os gráficos correspondentes
2
v(t) = dx/dt=2t-4 (m/s)
a(t) = dv/dt=2 (m/s )
2
GP de Mônaco
Sebastian Vettel 2011
Distância percorrida e Velocidade escalar
Aceleração
Prof. Dr. Thiago Leandro de Souza
0
0
Exercícios
2- Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta.
3 - Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,50 s. Se você está dirigindo com um carro a 90 km/h e espirra, de quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente os olhos?
15 - (a) se a posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é x = 4 - 12t + 3t^2 (onde t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t=1s? (b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x? (c) qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante? (d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo? (e) Existe album instante no qual a velocidade se anula? (f) Existe algum instante após t=3s no qua a partícula está se movendo no sentido negativo de x?
19 - Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x; 2,4 s depois, a velocidade era de 30 m/s no sentido oposto. Qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s?
20 - A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=12t^2-2t^3, onde x está em métros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade, e c) a aceleração da partícula em t=3,0 s. d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante t=0)? (i) Determine a velocidade média da partícula entre t = 0 e t = 3,0 s.
36 - Em uma estrada