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Distribución Chi Cuadrado

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by

Ilicena Malek

on 30 September 2013

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Transcript of Distribución Chi Cuadrado

Notes
Ideas
Ideas
Ideas
Distribución Chi Cuadrado

Es una distribución cuadrática de la probabilidad que utiliza básicamente variables aleatorias continuas.
Uso de la Tabla
Ecuación para el uso de chi cuadrado
El estadístico chi cuadrado está dado por:
X² = (n - 1) s²
σ²

Ejemplo de la Prueba de Bondad de Ajuste
En un un grupo de enfermos que se quejaban de no dormir bien, se les dio somníferos y placebos y se obtuvieron los siguientes resultados. Nivel de significación 0.05.
Conclusion
¿Para qué utilizamos una prueba de chi cuadrado?
Propiedades de la Distribución Chi Cuadrado
La moda
La moda de cada distribución, es igual al grado de libertad menos dos, es decir, moda = (gl)-2 en la escala de X², donde el grado de libertad (gl) debe ser igual o mayor que 2. Por ejemplo, el máximo valor de Y, para la curva o distribución de Chi Cuadrado, con el grados de libertad gl=5; es donde la moda está en el punto de X²=3, es decir, la moda en la escala de X² es igual (5-2)=3.

¿En qué consiste?
La distribución chi cuadrado, consiste en establecer un espacio continuo delimitado por la suma de los cuadrados de n variables aleatorias que son independientes entre sí, espacio dentro del cual la variable X puede asumir cualquiera de los infinitos valores que lo conforman, y por tanto para establecer el valor aproximado de una variable X dentro de ese espacio se procede a incluir una estimación de sus posibles límites que están dados por los distintos «Grados de Libertad» que pueden existir entre las variables aleatorias analizadas que dan origen al referido espacio.
¿Qué nos permite calcular?
La Distribución Chi Cuadrado permite calcular la probabilidad existente para que una variable X, que tiene un determinado Grado de Libertad frente a otras variables del mismo conjunto, permanezca dentro de unos «límites ideales» previstos para X cuando tiene ese específico Grado de Libertad o independencia.
La fórmula matemática para calcular la probabilidad de que una variable X permanezca dentro del límite ideal correspondiente al respectivo Grado de Libertad es la siguiente:

¿Cómo se calcula?
En esta ecuación la letra k que aparece como un subíndice de la expresión χ2 indica el Grado de Libertad que se toma como límite para calcular la probabilidad de la variable aleatoria X.
El área
El área total bajo cada curva es 1 o 100%.
La Media
La media de una distribución X², es igual al número de grados de libertad.
Las curvas
Las curvas muestran una aproximación bastante rápida hacia la simetría, cuando el número de grados de libertad aumenta.
Nunca es Negativa
La Chi Cuadrada es obtenida de números al cuadrado. Por lo tanto nunca puede ser negativa.
Media, Varianza y Valor Modal
También se puede calcular la media, la varianza y el valor modal si utilizamos “n” (conocida como el tamaño de la muestra), de la siguiente manera: Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1) y El valor modal de su distribución se da haciendo esta resta (n-3)
¿Cuál es la Distribución de probabilidad de chi-cuadrado de una muestra de 10 de que x92 > 2.7?
gl= 10-1 = 9
P( x92 > 2.7) = 0.975 = 97.5%
Calcular la distribución de probabilidad de una variable estadística chi-cuadrado menor que 3.4, con 6 grados de libertad.
P( x62 < 3.4) = 1 - P( x62 > 3.4)

P = 0.7571
P( x62 > 3.4) = 0.7571
P( x62 < 3.4) = 1 - 0.7571 = 0.2429 = 24.29%

Se denota por X²


Tiene una distribución muestral que es una distribución chi cuadrada con gl=n-1 grados de libertad.
n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y σ2 la varianza de la población de donde se extrajo la muestra.
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar σ=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s²=2
X²=(n-1)s² = (17-1)(2) = 32
σ² (1)²
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Uso de Excel en Probabilidad
Prueba de Bondad de Ajuste
Su objetivo es determinar cuán bien se ajusta un conjunto de frecuencias observadas, a un conjunto esperado de éstas.
Hipótesis estadísticas de la prueba de Bondad de Ajuste
En la prueba se presentan las siguientes hipótesis estadísticas:
Ho: Fo=Fe
Ha: Fo≠Fe
...donde
Distribución Observada es (Fo)
y
Distribución Esperada es (Fe)
Condiciones
Ho se cumple
Si el valor calculado de Chi Cuadrado es igual o menor al valor de Chi cuadrado crítico, la Hipótesis nula (Ho) se cumple.
Ho se rechaza
Si el valor de Chi cuadrado calculado es mayor al valor de Ci cuadrado crítico, la hipótesis nula (Ho) se rechaza.
Primero debes completar la tabla de frecuencias observadas
Calcula las frecuencias Esperadas o Teóricas
La suma de las Frecuencias Observadas debe ser igual a la suma de las Frecuencias Esperadas
ΣFe = ΣFo
Procedimiento de la Prueba de Bondad de Ajuste
Calcular los grados de Libertad
Grados de Libertad
(Número de filas-1)(Número de columnas-1)
Calcular Chi Cuadrado
X²= (fo-fe)²/fe

Comparar los resultados y concluír.
Recuerda que si Chi cuadrado es menor o igual a Chi cuadrado crítico, se cumple Ho; y si es mayor, se rechaza la Ho.|
nos preguntamos...
¿Es lo mismo tomar Placebos que tomar somníferos?
Datos
Con somníferos, 44 pacientes duermen bien, y 10 pacientes duermen mal.
Con placebos, 81 pacientes duermen bien, y 35 pacientes duermen mal
Hipótesis
Ho: no es lo mismo tomar placebos que sonmíferos para lograr un buen descanso.
Ha: Es lo mismo tomar placebos o somníferos para lograr un buen descanso.
Completamos la Tabla de Frecuencias Observadas
Duermen bien Duermen mal TOTAL
Somníferos 44 10 54
Placebo 81 35 116
TOTAL 125 45 170
Calculamos Frecuencias Teóricas
ʄe = (total de filas x total de columnas)/total
ʄe1 Duermen bien con somníferos
(125x54)/170= 39.71
ʄe2 Duermen mal con somníferos
(45x54)/170= 14.29
ʄe3 Duermen bien con placebos
(116x125)/170=85.29
ʄe4 Duermen mal con placebos
(45x116)/170= 30.71

Σʄe = 39, 71+85, 29+14, 29+30, 71= 170
Calcular el valor de Chi cuadrado
X²= (Valor observado - Valor teórico)²/Valor Teórico
(44-39.71)²/39.71
+ (81-85.29)²/85.29
+ (10-14.29)²/14.29
+ (35-30.71)²/30.71
= 2.57
Calcular Grados de Libertad
Grados de libertad
=(núm. de filas -1)(núm. de columnas -1)
=(2-1)(2-1)
=1
Ahora
Vemos la tabla.
Recordemos ue el nivel de significancia es 0.05 y los grados de libertad, 1.
el valor que buscamos en la tabla es 3.84
Comparamos, y el valor calculado es 2.57; en la tabla, 3.84.
Conclusión: Ho (no es lo mismo usar somníferos que placebos).
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