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우리 생활 속 프랙탈

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by

희훈 박

on 23 December 2013

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Transcript of 우리 생활 속 프랙탈

3)맹거스펀지

우리 생활 속 프랙탈
1. 프랙탈 정의


1) 시어핀스키 삼각형

2) 프랙탈 나무


Ⅰ. 서론
1. 연구 목적 및 문제 제기
2. 연구 방법
1) 연구 대상
2) 연구 방법
3) 연구 방향



Ⅱ. 본론
1. 프랙탈 정의
2. 다양한 프랙탈 모형들
1) 시어핀스키 삼각형
2) 프랙탈 나무
3) 맹거스펀지
3. 물을 통해 프랙탈 알아보기
1) 물의 순환
A) 물
B)구름
C)눈
D) 강
E) 바다
4. 일상생활 속 프랙탈
1) 프랙탈 23 (다케시 미야카와)
2) 거위 털
3) 프랙탈 가습기
5. 자연 속 프랙탈
6. 프랙탈 아트


목차
Ⅲ. 결론
1) 부원들의 후기



부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 구조를 말한다. 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것으로, 즉 ‘자기 유사성(self-similarity)’과 ‘순환성(recursiveness)’이라는 특징을 가지고 있다.
자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 모두 프랙탈이며, 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있다.


2. 다양한 프랙탈 모형들

제작과정
특징

시어핀스키 삼각형 3개를 이용하여 원래의 2배의 크기인 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있으므로, 이 도형의 하우스도르프 차원은 이다.


성질

● 시어핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 l이라 할 때, 과정2의 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 길이는 가 된다.

● 시어핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 S라 할 때, 두 번째 과정에서는 가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 이 된다.


제작방법
1. □ABCD를 그립니다.

2. □ABCD의 윗변(변AB)을 양끝
꼭짓점(A, B) 각각 60°,30° 회전시킵니다.

3. 회전시켜 만나는 점을 점E로 잡습니다.

4. 1~3번을 반복합니다.

물을 통해 프렉탈 알아보기
물 분자들 속 프랙탈

한 개의 물 분자는 수소원자 2개, 산소원자 1개로 이루어져 있지만, 액체 상태의 물은 수 많은 물 분자들이 모여서 이루어진 것이다. 즉, 수많은 분자들끼리 작은 구조를 이루며 프랙탈 구조를 형성한다.

구름 속 프랙탈 구조


구름에 대한 프랙탈 차원의 본격적인 연구로는 헨첼 (Hentschel) 과 프로카시아 (Procaccia) 의 연구 (1984년) 가 있다. 그들의 상대난류확산 이론에 의하면, 구름의 프랙탈 차원 D는 1.37~1.41 의 범위에 있다. 그들이 제기한 중심적인 문제는 '구름이 시간적으로 전체의 모습을 바꾸어 가면서도 보편적인 프랙탈 구조를 유지하는가' 였다. 구름은 분명히 시간의 흐름에 따른 변화가 일정하지 않다. 이것은 구름의 크기나 모양이 초기조건에 의존하지 않음을 의미한다.
이러한 수학적 모델의 개발로 구름의 프랙탈적인 모습을 컴퓨터로 시뮬레이션해서 볼 수 있게 되었다. 위에 두 번째 사진은 구름을 찍은 사진이 아니라 컴퓨터로 만들어낸 인공의 구름이다(상당히 비슷하다는 사실을 알 수 있다).

눈속의 프랙탈
- 물이 얼게 되면서 물은 눈으로 바뀌는 데 이때 눈 결정체는 의 형태를 이룬 모양으로 형성된다

강의 프랙탈
강마다 그 모양은 다르지만 같은 유역의 강줄기는 거의 같은 프랙탈 차원을 갖는다. 어디라고 정확히 꼬집어 말할 수는 없어도 '한강 유역과 같다', 또는 '나일강 유역의 풍경' 이라고 말할 수 있는 것은 직관적으로 프랙탈 차원이 표시하는 그 유역 특유의 형태를 말할 수 있기 때문이다. 즉 부분이 전체와 '같은' 자기닮음이 있음을 말하는 것이다.


바다의 프랙탈
물은 바다로 흘러가서 해변의 암석을 부딪히며 침식작용을 작용하기도 하는 데 대표적으로 물의 침식으로 형성된 ‘주상절리’가 있다.

이 주상절리는 육각기둥이 규칙적으로 배열된 것이 특징이다. 이렇듯 육각기둥이 규칙적으로 자기유사성 개념을 가지고 형성된 프랙탈 구조라는 사실을 찾아 낼 수 있다.

코흐곡선
코흐곡선이란?
프랙탈 도형의 일종으로 1904년 스웨덴 수학자 코르에 의해 발견
되었으며 정삼각형을 이용해 만든 눈꽃송이 모양의 프랙탈 모형이다.

자기유사성을 가지는 특징이 있다. 이 도형의 넓이는 처음 정삼각형의 8/5배, 즉 1.6배이며 이 비율은 사람이 가장 아름답게 느낀다는 황금비율이다

만드는 과정
1.선 하나를 그린다.
2.이 직선의 3등분한 선의 가운데
선분을 밑변으로 하는 삼각형을 그린다.

3.삼각형의 밑변을 지운다.
4.모든 직선 구간마다
(1)~(3) 까지 작업 반복
한다.
5. 4번을 반복한다
완성 (눈꽃모양)
물을통해 프랙탈 알아보기
일상 속 프랙탈
1) 프랙탈 23 (다케시 미야카와)

프랙탈과 가구를 합쳐 단순한 모양이면서도
공간 활용을 최대화 시킨 것이 이 가구의 특징이다.

2) 거위 털

거위 털을 현미경으로 확대해보면 듬성듬성한 구조가 반복되어 있다. 즉,거위털이 프랙탈 구조이기 때문에 공기를 많이 담을수 있어서 방한용품에 많이 사용 된다.


3) 프랙탈 가습기

프랙탈 가습기란 프랙탈이 끊임없이 자기유사성을 갖고 이어가는 성질을 이용해 만든 가습기이다.

전기가 필요하지 않다는 것이 가장 큰 장점이며 외관상 인테리어 구조로 사용할 수도 있는 다양한 장점들이 있다.

자연 속 프랙탈
번개
번개는 같은 길을 반복해서 계단을 이루듯이 방전한다. 불규칙해 보이지만, 전체적인 모습과 가지 하나하나가 비슷한 구조를 이루고 있다. 즉, 자기닮음의 프랙탈 구조를 가지고 있다.

단풍잎
나무
나무는 큰 가지가 나뉘어지면서 여러 가지가 생기고, 이 작은 가지에 또 여러 작은 가지들이 갈라진다. 나무는 저마다의 프랙탈 차원을 가지고 있다. 이런 나무의 프랙탈 형태는 물과 영양분의 운반을 전체에 고르게 보내는 역할을 한다.

뇌의 표면
뇌의 표면에는 여러 주름이 져있다. 커다란 주름에 다시 작은 주름들이 계속되어 나간다. 이런 뇌의 주름의 패턴은 여러 주름이 자기닮음의 형식으로 뻗어나간다는 점에서 프랙탈의 형식을 띄고 있다.

프랙탈 아트
일반적으로 붓으로 그리는 그림들과는 느낌이 많이 다른 것 같다. 컴퓨터로 그려낸 프랙탈 아트 작품들이다. 처음에 딱 보면 ‘이게 어떻게 프랙탈이야??’ 라는 말이 나올 수도 있을 것이다. 그러나 프랙탈과 과학적인 컴퓨터 기술이 만나면서 더 자세하고 섬세하게 표현할 수 있다는 특징을 가지고 있다.

위 그림처럼 프랙탈 아트는 컴퓨터 기술을 이용해 작업을 한다. 기본적인 모양의 반복을 이용해 처음 만드는 것과 같이 반복해 나가면서 작업을 진행하는 방법이다. 위의 작품뿐만 아니라 다른 작품들도 이와 같은 작업을 통해 다양한 프랙탈 아트들을 만들어낸다.

이번 보고서는 기본적인 프랙탈 설명과 자연이나 우리 생활 속에 사용되는 프랙탈에 대해 조사한 자료들을 팀원들과 협동하며 제작하였다.

기본적인 프랙탈 내용들을 포함해 ‘물’이라는 자연물을 기준으로 시간에 따라 변화하는 모습을 통해 프랙탈과 연결시켜 연구하다 보니 청중들에게도 이해가 잘될 것 같다. 또한 우리가 스스로 프랙탈에 대해 어떤 소주제로 연구해야 할까 고민을 많이 하면서 ‘주상절리’나 ‘프래탈가습기’ 등 새로운 프랙탈과 관련된 자료들을 발견하게 된 것 같아 각자 조원 스스로 많이 성장하게 된 기회가 되었던 것 같다.

결론
참고 문헌 및 사이트
● [네이버 지식백과]프랙탈 [fractal] (시사상식사전, 박문각)
● 네이버 캐스트
● 위키백과
● 네이버 이미지
● 김용운.김용국 저서, 도서출판 우성(308-0163), 1998, Page 109~123

시작에 앞서

1. 연구 목적 및 문제 제기

저희는 연구 목적으로 ‘프랙탈’ 이라는 차원 분열
도형을 정하였고 기존의 연구 보고서를 보게 되면
일반적으로 프랙탈에 대한 모형 사진과 설명만 있어
서 다수 지루해질 수 있다는 문제점이 있을 것 같아
저희 조는 자연 속 ‘물’ 이라는 소재를 이용해 설명하
였고 일상 속에서 볼 수 있는 다양한 소재들을 이용
하여서 어렵게 느껴지던 프랙탈에 대한 쉬운 이해를
제공하며 흥미를 이끌어내어 많은 사람들이 쉽게
공감하는 방향을 목적에 두고 연구를 시작하였습니다.


2. 연구 방법


1) 연구 대상
- 프랙탈이다, 프랙탈은 수학, 과학, 공학, 예술 등 많은 영역에서 이용되고 있으며 이것을 이용해 가구나 예술 등을 접목시켜 더욱더 다양한 영역에서 이용되고 있습니다.

2) 연구 방법
- 교구 제작을 통한 프랙탈에 대한 이해와 자료 수집을 통한 연구 활동

3) 연구 방향
- 프랙탈에 대해 일반적으로 몇 개의 모형들만 알고 자세한 원리나 이용되는 사례들에 대해 모른는 경우가 많은데 그래서 원리뿐만 아니라 자연현상이나 일상생활에서 볼 수 있는 프랙탈에 대한 예시와 그것에 대한 설명을 하는 방향으로 연구를 계획하였습니다.

1917년경 이것(시어핀스키삼각형)을 제시한 폴란드의 수학자 바츨라프
시어핀스키의 이름을 딴 것이다.

시어핀스키 삼각형은 불규칙적이라기보다는 오히려 규칙적인 알고리즘을 가지고 있다. 시어핀스키 삼각형의 특징은 엄밀한 자기 닮음이다.

완성된 시어핀스키 삼각형은, 위에 한 개, 아래에 두 개인, 세 개의 작은 삼각형 부분으로 분해할 수 있다. 각 부분은 원래 전체 모습과 똑같은 복제이며, 각 부분을 다시 세 개의 더 작은 삼각형으로 분해할 수 있고, 이 때의 더 작은 삼각형도 원래 모습과 자기 닮음 도형이라 한다.

피타고라스 나무
피타고라스의 정리를 만족하는 직각삼각형들을 반복하여 그려나가면 점점 그 형태가 커지면서 이름답게 변해 가는 나무 모양의 그림을 그릴 수 있다.

이 나무의 한 부분을 확대하여 관찰하면 전체의 모습과 닮은 모양을 하고 있는 것을 알 수 있다.
이와같이 어떤 모양이나 형태가 일정한 규칙을 가지고 '무한히' 반복되는 그림을 프랙탈이라고 한다.
맹거 스펀지는 오스트리아의 수학자 맹거가 고안한 프랙탈 도형이다. 맹거는 일반적인 공간에서의 차원론을 확립한 사람이기도 하다.

시어핀스키가 고안한 '시어핀스키 삼각형'이 2차원 공간인 삼각형에서부터 출발하는데 비하여 맹거 스펀지는 3차원 공간인 정육면체로부터 시작한다. 멩거 스펀지를 만드는 방법은 시어핀스키 삼각형을 만드는 방법과 유사하다.
맹거 스펀지 만들기
1. 먼저 정육면체를 27개의 작은 정육면체로 나눈다.

2. 1의 정육면체 중에서 중앙의 정육면체 한 개와 각 면의 중앙에 있는 정육면체 6개를 뺀다.

3. 2에서 남은 정육면체(20개)를 가지고 1,2의 과정을 반복한다.

4. 3의 과정을 계속 반복 한다.
이와 같은 방법을 무한히 되풀이 하면 도형의 각 구멍을 감싸는 겉넓이의 총합은 무한히 늘어나고, 전체 부피는 0에 가까워지는 신기한 도형을 얻게 되는데 이것을 맹거 스펀지라고 한다.

맹거 스펀지는 미끄러운 곡선보다는 종이를 불규칙하게 구긴듯한 입체에 더 가깝다. 따라서 맹거 스펀지의 차원은 2차원보다 크고, 3차원보다는 작다. 실제로 맹거 스펀지의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면2.7이 된다.
단풍잎의 외곽 라인을 전자 현미경으로 확대를 하게 되면 해당 단풍잎과 같은 모습의 형태가 나타나게 된다. 이는 다양한 형태의 단풍잎들에서 공통적으로 나타나고 있는
현상이며, 프랙탈 현상의 대표적인 예이다
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