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TIPOS DE FUNCIONES Y APLICACIONES

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by

Sergio Danilo Cruz Paz

on 13 May 2015

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Transcript of TIPOS DE FUNCIONES Y APLICACIONES

TIPOS DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES
x
y
Función Lineal
Función Cuadratica
Función Logarítmica
Función Exponencial
Veamos algunos ejemplos
En Arquitectura
Otros ejemplos Arquitectónicos

Concha Acústica
Cubiertas de bóvedas parabólicas
En la actualidad las
bóvedas parabólicas
ofrecen a los
arquitectos los más
variados tipos de
cubiertas de techo.
PUENTES
ILUMINACIÓN
FUENTES Y AGUA
DEPORTES
OTROS EJEMPLOS: FAROS Y FAROLES
f(x)=mx+b
Ejercicio:
Construya las gráficas de las siguientes funciones exponenciales:
1. y = 3

2. y = (1/2)

3. y = e
x
x
x
PROBLEMA
La población de cierta nación desarrollada se sabe que está dada (en millones de habitantes) por la fórmula:
P = 15e
0.02t
en donde "t" es el número de años transcurridos a partir de 1990.
Determine la población en 2010 , y la población proyectada para 2020 , suponiendo que la fórmula tiene validez hasta entonces.
PROBLEMA
Si inviertes Q. 1500 en una cuenta bancaria que proporciona 23 % de interés anual a plazo fijo de 5 años.
¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?
PROBLEMA
En enero del 2015 se compró un automóvil en Q. 100000.
Si cada año disminuye 13 % su valor inicial.
¿Cuanto valdrá en el año 2024?
y = ab
x
EJEMPLOS
y = log x
a
LOGARITMOS
LOGARITMO de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.
Ejemplo:
5
=
25
2
número
base
logaritmo
En el ejemplo anterior, el logaritmo de 25 es 2, porque 2 es el exponente a que hay que elevar la base 5 para que dé 25. Y se escribe de la siguiente manera:
BASE
Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos.
log
25
=
2
5
logaritmo
base
número
OTROS EJEMPLOS
EJERCICIO
SISTEMAS DE LOGARITMOS
El número de sistemas de logaritmos es ilimitado, pero generalmente los más usados son dos:
1. El sistema de logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es 10.
2. El sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número "e".
........
PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS
1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
2. Los números negativos no tienen logaritmo.
3. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1.
4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero.
5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
6. Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Ejemplo:
Sean 4 y 8 los factores.

Si calculamos el logaritmo de base 2 de cada uno tenemos:

log 4 = 2
porque
2 = 4

log 8 = 3
porque
2 = 8

luego, tenemos:
log (AxB)=log A+log B
2
2
2
3
log (4x8) = log 4 + log 8
log (4x8) = 2 + 3 2 = 32
5
porque
LOGARITMO DE UN COCIENTE
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
log = log A - log B
A
___
B
Ejemplo:
Sean 32 el dividendo, y 4 el divisor.
Si calculamos el logaritmo de base 2 de cada uno tenemos:
log 32 = 5
porque
2 = 32
log 4 = 2
porque
2 = 4

2
2
5
2
luego, tenemos:
log = log 32 - log 4
32
__
4
log 8 = 5 - 2 2 = 8
2
3
porque
LOGARITMO DE UNA POTENCIA
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
log A = n (log A)
n
Ejemplo:
Si tenemos que A = 4 n= 3 y la base del sistema es 2.


El logaritmo de A es:


log 4 = 2 2 = 4
2
2
porque
luego, tenemos:
log 4 = 3 (2) 2 = 64
3
4 = 64
3
porque
6
2
LOGARITMO DE UNA RAÍZ
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el indice de la raíz.
log =
log A
____
n
A
n
Ejemplo:
Si A= 64 y n = 2 y la base del sistema es 2 .
El logaritmo de A es:
log 64 = 6 2 = 64
2
6
luego, tenemos:
2
64
= 8
log = 2 = 8
64
2
2
6
__
2
3
EJEMPLO DE APLICACIONES
EJEMPLO:

Problema No. 1 (Crecimiento de la población)
En 1980, la población de cierta ciudad era de 2 millones de habitantes y estaba creciendo a una tasa del 5% anual.
¿Cuándo rebasará la población la marca de los 5 millones, suponiendo que la tasa de crecimiento es constante?
EJEMPLO
Problema No. 2 (Inversiones)
La suma de $ 100 se invierte a un interés compuesto anual del 6 %.

¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a $ 150 ?
Aplicaciones de funciones logarítmicas
Ejemplo de aplicación
x desde -3 a 1
f(x) = 3x +5x-9
2
x desde -0.5 a 1
f(x) = -5x + 2x + 4
2
EJEMPLO:
Dada f(x) = 2x -5x +1, Calcule el valor de f cuando x=a, x=3, x=-2 y x= -1/2; es decir,
determine:
f(a)
f(3)
f(-2)
f(- 1/2)
2
PROBLEMA
Función de costo
Una compañia ha determinado que el costo de producir x unidades de su producto por semana esta dado por:
C(x)= 5000 + 6x + 0.002x
2
Evalue el costo de producir:
a. 1000 unidades por semana.
b. 2500 unidades por semana.
c. Ninguna unidad.
PROBLEMA
(Fisiología)
En una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo "t" (medido en horas) y dada por:
A (t)= 3.9 + 0.2t - 0.1t
Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre:
a. Al principio de la prueba.
b. 1 hora después.
c. 2 1/2 horas después de iniciada.
2
PROBLEMA
(Crecimiento de la población)
La población del planeta al inicio de 1976 era de 4 mil millones. Si la tasa de crecimiento continua al 2 % anual.
¿Cuál será la población en el año 2026?
* Con los datos anteriores, calcule la población en el año 2076.
PROBLEMA
(Crecimiento de utilidades)
Las utilidades de cierta compañia se han incrementado a un promedio del 12 % por año entre 2010 y 2015.
En este último año, tenían
$ 5.2 millones.
Suponiendo que este crecimiento continúa, calcule las utilidades en 2020.
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