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PRUEBA DE HIPÓTESIS

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by

karla perez

on 28 April 2015

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Transcript of PRUEBA DE HIPÓTESIS

ELABORACIÓN DE LA HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA
Prueba de una hipótesis de investigación
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Prueba de la validez de una información
Prueba en situaciones de toma de decisión
La hipótesis de investigación es verdadera si los datos
muéstrales contradicen la hipótesis nula.
Un fabricante se le suele dar el beneficio de la duda y se establece como hipótesis nula. Si se rechaza la hipótesis nula se concluye que su dicho es falso.
Este tipo de situaciones se presentan cuando la persona que debe tomar una decisión tiene que elegir entre dos líneas de acción, una relacionada con la hipótesis nula y otra con la hipótesis alternativa.

Este tipo de prueba de hipótesis se emplea en el
procedimiento de control de calidad conocido como muestreo de aceptación de lotes.
En las pruebas de hipótesis para la media poblacional, μ0 denota el valor hipotético y para la prueba de hipótesis hay que escoger una de las formas siguientes.
EJEMPLO
El gerente de un negocio de venta de automóviles está pensando en un nuevo plan de bonificaciones, con objeto de incrementar el volumen de ventas. Al presente, el volumen medio de ventas es 14 automóviles por mes. El gerente desea realizar un estudio para ver si el plan de bonificaciones incrementa el volumen de ventas. Para recolectar los datos una muestra de vendedores venderá durante un mes bajo el nuevo plan de bonificaciones.

a. Dé las hipótesis nula y alternativa más adecuadas para este estudio.

b. Comente la conclusión resultante en el caso en que H0 no pueda rechazarse.

c. Comente la conclusión que se obtendrá si H0 puede rechazarse.
Debido a los costos y al tiempo de adaptación de la producción, un director de fabricación antes de implantar un nuevo método de fabricación, debe convencer al gerente de que ese nuevo método de fabricación reducirá los costos. El costo medio del actual método de producción es $220 por hora. En un estudio se medirá el costo del nuevo método durante un periodo muestral de producción

a. Dé las hipótesis nula y alternativa más adecuadas para este estudio.

Media poblacional: conocida
Prueba de una cola
Prueba de dos colas
Resumen y recomendaciones prácticas
Relación entre estimación por intervalo y prueba de hipótesis

En las pruebas de hipótesis la forma general de una prueba de dos colas es la siguiente:

La U.S. Golf Association, USGA, establece reglas que deben satisfacer los fabricantes de
equipos de golf si quieren que sus productos se acepten en los eventos de USGA. MaxFlight emplea
procesos de fabricación de alta tecnología para producir pelotas de golf que tienen una distancia
media de recorrido de 295 yardas. Sin embargo, algunas veces el proceso se desajusta y
se producen pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido diferente a 295 yardas.
Cuando la distancia media es menor que 295 yardas, a la empresa le preocupa perder clientes
porque las pelotas de golf no proporcionen la distancia anunciada. Cuando la distancia es mayor
que 295 yardas, las pelotas de MaxFlight pueden ser rechazadas por la USGA por exceder los estándares
respecto de distancia de vuelo y carrera.
El programa de control de calidad de MaxFlight consiste en tomar muestras periódicas de 50
pelotas de golf y vigilar el proceso de fabricación. Con cada muestra se realiza una prueba de hipótesis
para determinar si el proceso se ha desajustado. Para elaborar las hipótesis nula y alternativa,
se empieza por suponer que el proceso está funcionando correctamente; es decir, las
pelotas de golf que se están produciendo alcanzan una distancia media de 295 yardas. Ésta es la
suposición que establece en la hipótesis nula. La hipótesis alternativa es que la distancia media
no es 295 yardas.

Como el valor hipotético es μ0 295, las hipótesis nula y alternativa en el caso
de la prueba de hipótesis de MaxFlight son las siguientes:





Si la media muestral es significativamente menor que 295 yardas o significativamente
mayor que 295 yardas, se rechazará H0. En este caso, se tomarán medidas para ajustar el proceso
de fabricación. Por otro lado, si no se desvía una cantidad significativa de la media hipotética
μ0 295, H0 no se rechazará y no se tomará medida alguna para ajustar el proceso de fabricación
El equipo de control de calidad elige α 0.05 como nivel de significancia para esta prueba.
Datos de pruebas previas realizadas sabiendo que el proceso está ajustado indican que se puede suponer que la desviación estándar se conoce y que su valor es σ 12. Por ende, como el tamaño de la muestra n 50, el error estándar de es.


Suponga que se toma una muestra de 50 pelotas de golf y que la media muestral es 297.6
yardas. Esta media muestral favorece la conclusión de que la media poblacional es mayor que
295 yardas. ¿Este valor de es suficientemente mayor que 295 para hacer que se rechace H0 a
un nivel de significancia de 0.05?
Método del valor-p
Recuerde que el valor-p es la probabilidad que se usa para determinar si se rechaza la hipótesis nula. En una prueba de dos colas, los valores del estadístico de prueba en ambas colas, proporcionan evidencias contra la hipótesis nula. En una prueba de dos colas, el valor-p es la probabilidad de obtener un valor para el estadístico de prueba tan improbable o más
improbable que el obtenido con la muestra.

Primero se calcula el valor del estadístico de prueba. En el caso en que se conoce σ, el estadístico de prueba z es la variable aleatoria normal estándar. Empleando la ecuación (9.1) con 297.6, el valor del estadístico de prueba es

Ahora, para calcular el valor-p hay que hallar la probabilidad de obtener, para el estadístico de prueba, un valor por lo menos tan improbable como z 1.53. Es claro que los valores z 1.53 son por lo menos tan improbables. Pero como ésta es una prueba de dos colas, los valores z1.53 también son por lo menos tan improbables como el valor del estadístico de prueba obtenido con la muestra.

Como la curva normal es simétrica, se calcula la probabilidad hallando el área bajo la curva normal a la derecha de z 1.53 y duplicándola. La tabla de la distribución normal estándar indica
que el área a la izquierda de z 1.53 es 0.9370. Entonces el área bajo la curva normal a la derecha de z 1.53 es 1.0000 0.9370 0.0630. Duplicando esta cantidad, se encuentra que el valor-p en la prueba de hipótesis de dos colas de MaxFlight es valor-p 2(0.0630) 0.1260. Ahora se compara el valor-p con el nivel de significancia para ver si se rechaza la hipótesis nula. Como el nivel de significancia es 0.05, no se rechaza la hipótesis nula porque el valor-p es 0.1260 0.05. Como no se rechaza la hipótesis nula, no es necesario tomar medidas para ajustar el proceso de fabricación de MaxFlight.
Método del valor crítico.

Media poblacional: σ conocida
O el caso σ conocida se refiere a aplicaciones en las que se cuenta con datos históricos o con alguna información que permita obtener buenas estimaciones de la desviación estándar poblacional antes de tomar la muestra.
O Se considera que se conoce la desviación estándar poblacional.
Prueba de una cola
O Prueba de una cola: Prueba de hipótesis en la que debido a un valor del estadístico de prueba en una de las colas de la distribución maestral se rechaza la hipótesis nula.
Se puede dar de dos formas:

Ejemplo. La Federal Trade Commission, FTC, realiza periódicamente estudios estadísticos con objeto de comprobar las afirmaciones de los fabricantes acerca de sus productos. Por ejemplo, en la etiqueta de una lata grande de Hilltop Coffee dice que la lata contiene 3 libras de café. La FTC sabe que el proceso de producción de Hilltop no permite llenar las latas con 3 libras exactas de café por lata, incluso si la media poblacional del peso de llenado de todas las latas es de 3 libras por lata. Sin embargo, mientras la media poblacional del peso de llenado sea por lo menos 3 libras por lata, los derechos del consumidor estarán protegidos.
• Por tanto, la FTC interpreta que la información de la etiqueta de una lata grande de café Hilltop tiene una media poblacional del peso de llenado de por lo menos 3 libras por lata.



Prueba de hipótesis de cola inferior.
Paso hipótesis nula y alternativa
Primero se deben dar las hipótesis nulas y alternativas para la prueba.
hipótesis nula de la prueba: Si la media poblacional del peso de llenado es por lo menos 3 libras por lata, lo que afirma Hilltop correcto.
Hipótesis alternativa: si la media poblacional del peso de llenada es menor de 3 libras por lata.
Si μ denota la media poblacional del peso de llenado:







μo=3.
Si los datos muéstrales indican que Ho no se puede rechazar, las evidencias estadísticas no conducirán a concluir que ha habido una violación en lo que se afirma en la etiqueta.
Si se rechaza Ho : se concluirá que la hipótesis alternativa Ha : μ = 3 es verdadera. La falta de peso y un cargo por violación a lo que se establece en la etiqueta estará justificada.


Paso 2: nivel de significancia
-Suponga que se selecciona una muestra de 36 latas de café y se calcula la media muestral como una estimación de la media poblacional μ. Si el valor de la media muestral es menor que 3 libras, los resultados muestrales despertarán dudas sobre lo que establece la hipótesis nula. Lo que se busca saber es cuánto menor que 3 libras tiene que ser para declarar que la diferencia es significativa y se esté dispuesto a correr el riesgo de cometer un error tipo I al acusar indebidamente a Hilltop de una violación de lo que establece en la etiqueta. Aquí el factor clave es el valor elegido como nivel de significancia por quien tomará la decisión.
: nivel de significancia.
En el caso del café Hilltop, el director del programa de pruebas de la FTC afirma: “Si la empresa satisface sus especificaciones de peso en μ=3, no tomaré ninguna medida en su contra. Pero, estoy dispuesto a asumir un riesgo de 1% de cometer tal error”. De acuerdo con lo dicho por el director, el nivel de significancia en esta prueba de hipótesis se establece en :0.01. Así, la prueba de hipótesis deberá diseñarse de manera que la probabilidad de cometer un error tipo I cuando μ=3 sea 0.01.

Paso 3: Estadístico de prueba
En el estudio de Hilltop Coffee, la desviación estándar puede considerarse conocida, siendo su valor σ=0.18. Estas pruebas muestran, también, que puede considerarse que la población de los pesos de llenado tiene una distribución normal.
o Se sabe que si la población de la que se toma la muestra tiene una distribución normal, la distribución muestral de x¯ también es normal. En consecuencia, en el estudio de Hilltop Coffee, la distribución muestral de x¯ será una distribución normal. Con un valor conocido de σ=0.18 y un tamaño de muestra de n=36

Como la distribución muestral de x¯ está distribuida normalmente, la distribución muestral de:






es una distribución normal estándar.

o Z= -1: El valor de X es una desviación estándar menor que el valor hipotético de la media.
o Para hallar la probabilidad que corresponde a cualquier valor de z en la cola inferior se usa la tabla de probabilidad normal estándar. El área en la cola inferior para z= -3.00 es 0.0013.
o La probabilidad de obtener un valor de x¯ que sea 3 o más errores estándar menor que la media poblacional hipotética μO = 3 también es 0.0013.

Se emplea la variable aleatoria normal estándar z como estadístico de prueba para determinar si x¯ se desvía lo
Suficiente del valor hipotético de μ como para justificar el rechazo de la hipótesis nula.

¿Qué tan pequeño debe ser el estadístico de prueba z para que se decida rechazar la hipótesis nula?

Método del valor p.
Se usa el valor del estadístico de prueba z para calcular una probabilidad llamada valor-p.

Un valor-p es una probabilidad que aporta una medida de una evidencia suministrada por la muestra contra la hipótesis nula. Valores-p pequeño indican una evidencia mayor contra la hipótesis nula. Se usa para determinar si la hipótesis nula debe ser rechazada.

En una prueba de la cola inferior, el valor-p es la probabili-
dad de conseguir un valor del estadístico de prueba tan pequeño o menor que el obtenido con la muestra.
o calcular el valor-p en una prueba de la cola inferior, en el caso σ conocida:
1. se halla el área bajo la curva normal estándar a la izquierda del estadístico de prueba.
2. Una vez calculado el valor-p se decide si es lo suficientemente pequeño para rechazar la hipótesis nula.

EJEMPLO DEL VALOR-P EN LA PRUEBA DE COLA INFERIOR.
Se calcula el valor-p para la prueba de la cola inferior del estudio de Hilltop Coffee.
Suponga que en la muestra de las 36 latas de café, la media obtenida es x¯= 2.92 libras. ¿Es x¯=2.92 lo suficientemente pequeña para que se rechace la hipótesis nula? Como es una prueba de la cola inferior, el valor-p es el área bajo la curva normal estándar a la izquierda del estadístico de prueba. Usando x¯= 2.92, σ=0.18 y n=36, se calcula el valor del estadístico de prueba z.

El director del programa de pruebas de la FTC eligió como nivel de significancia 0.01. Elegir = 0.01 significa que él está dispuesto a tolerar una probabilidad de 0.01 de rechazar la hipótesis nula cuando sea verdadera como igualdad (μO =3).
La muestra de 36 latas de Hilltop Coffee dio como resultado un valor-p= 0.0038, lo que significa que la probabilidad de obtener x¯= 2.92 o menor, si la hipótesis nula es verdadera considerada como igualdad, es 0.0038. Como 0.0038 es menor que =0.01, se rechaza HO. De manera que para el nivel de significancia 0.01 se encontraron evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula.

ERRORES TIPO I Y TIPO II
La hipótesis nula y alternativa son afirmaciones opuestas acerca de la población
Lo ideal es que la prueba
de hipótesis lleve a la aceptación de Ho cuando Ho sea verdadera y al rechazo de Ho cuando Ha sea verdadera
ERRORES Y CONCLUSIONES EN LAS PRUEBAS DE HIPÓESIS
Por desgracia, las conclusiones correctas no siempre son posibles. Como la prueba de hipótesis se basa en una información muestral debe tenerse en cuenta que existe la posibilidad de error.
Si Ho es verdadera, la conclusión es correcta. Pero, si Ha es verdadera se comete un error de tipo II; es decir, se acepta Ho cuando es falsa.
Si Ho es verdadera se comete un error de tipo I; es decir, se rechaza Ho cuando es verdadera. Pero si Ha es verdadera, es correcto rechazar Ho.
Método del valor crítico.
En el método del valor crítico primero se determina un valor para el estadístico de prueba llamado valor crítico.
el valor crítico es el mayor valor del estadístico de prueba que hará que se rechace la hipótesis nula.
En el caso σ conocida, la distribución muestral del estadístico de prueba z es la distribución normal estándar. Por tanto, el valor crítico es el valor del estadístico de prueba que corresponde a un área =0.01 en la cola inferior de la distribución normal estándar. En la tabla de probabilidad normal estándar aparece que z= -2.33 proporciona un área de 0.01 en la cola inferior.

Recuerde la ilustración de la prueba de hipótesis vista en la sección 9.1 en la cual un grupo de investigación elaboraba un nuevo sistema de inyección de combustible con objeto de aumentar
el rendimiento combustible en un determinado modelo de automóvil. Como con el sistema
actual el rendimiento promedio es 24 millas por galón, la prueba de hipótesis se formuló como
sigue.
En esta aplicación, el error tipo I de rechazar H0 cuando es verdadera corresponde a la afirmación de los investigadores de que el nuevo sistema mejora el rendimiento (μ > 24) cuando en realidad el nuevo sistema no es nada mejor que el actual. En cambio, el error tipo II de aceptar Ho cuando es falsa corresponde a la conclusión de los investigadores de que el nuevo sistema no
es mejor que el actual (μ < 24) cuando en realidad el nuevo sistema sí mejora el rendimiento.
_
En esta prueba de hipótesis del rendimiento, la hipótesis nula es Ho: μ < 24. Admita que la hipótesis nula es verdadera como una igualdad; es decir μ = 24. A la probabilidad de cometer un error tipo I cuando la hipótesis nula es verdadera como igualdad se le conoce como nivel de significancia.
_
Por tanto en la prueba de hipótesis del rendimiento de combustible, el nivel de significancia es la probabilidad de rechazar Ho: μ < 24 cuando μ = 24. Dada la importancia de este concepto se redacta otra vez la definición de nivel de significancia.
_
NIVEL DE SIGNIFICANCIA

El nivel de significancia es la probabilidad de cometer un error tipo I cuado la hipótesis
nula es verdadera como igualdad.
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