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VOLUMENES POR CASQUETES CILINDRICOS

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VOLUMENES POR CASQUETES CILINDRICOS
Volumen de un solido de revolución
Lo podemos generar al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
Dividiendo en intervalos
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi, Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:


Regla general
El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:


El método de cálculo integral de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Definición
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la figura. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:
El método de
los

casquetes cilíndricos

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htm
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en una caja rectangular de escaso grosor
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htm
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros y después sumar los volúmenes de todos ellos.
Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htm
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x³ + 4x² − 3x + 1 y la vertical x = 3. Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x³ + 4x² − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la Animación 6 y por eso, la integral para el volumen es:


Demostrar, empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radio r en su abertura está dado por:

Solución. Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos (http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htm).

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) es:
puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).

Ahora bien, para aplicar el método que nos ocupa, consideremos que el cono está formado por una serie de casquetes cilíndricos, incrustados los unos dentro de los otros, cuyos radios varían de 0 a r y cuyas alturas varían de 0 a h. Naturalmente, la altura de cada cilindro está dada por la recta y = ( −h/r ) x + h. Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña (http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htm).

Debe ser claro entonces que un casquete cualquiera, de radio x, tiene como altura:
tal como se puede apreciar en la figura de abajo. Por lo tanto, el volumen del cono viene dado por la integral:
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