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DISEÑO FACTORIAL 2K

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on 4 October 2015

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DISEÑO FACTORIAL 2K

DISEÑO DE EXPERIMENTOS
TÉCNICA ESTADÍSTICA QUE
PERMITE IDENTIFICAR Y CUANTIFICAR LAS CAUSAS

DE UN EFECTO
DENTRO DE UN ESTUDIO EXPERIMENTAL.

SE
MANIPULAN
DELIBERADAMENTE
UNA O MAS VARIABLES VINCULADAS CON LAS CAUSAS
PARA MEDIR EL
EFECTO
QUE TIENEN EN OTRA VARIABLE DE INTERES.
EFECTO
ESTIMACIÓN EN DISEÑOS 2 k
Un modelo de regresión con k variables de la forma, puede utilizarse como estimación del problema:
DISEÑO 2K PARA K = 2 FACTORES
DISEÑO FACTORIAL
Son utilizados en experimentos en los que
intervienen varios factores
para estudiar el
efecto conjunto de estos sobre una variable de interes.

EJEMPLO DISEÑO 2 3
Una empresa embotelladora de refrescos esta interesada en obtener alturas de llenado mas uniformes de las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. Teóricamente la maquina de llenado llena cada botella a la altura del objetivo correcta, pero en la practica existe variación en torno a este objetivo, y a la embotelladora le gustaria entender mejor las fuentes de variabilidad y en ultima instancia reducirla.
Algoritmo de los signos
Se usa la ortogonalidad del diseño para simplificar la formula de los estimadores mínimo cuadráticos. De hecho es facil probar que estos pueden escribir como un múltiplo del producto escalar de dos vectores:
Ejemplo 2 3
En un diseño 2 3 el estimador del efecto de la interacción ABC viene dado por:
Es el mas sencillo de la serie.

Se consideran dos factores
A y B ambos con 2 niveles.

Nivel: alto y bajo del actor.

El diseño 2 2 puede ser representado geométricamente como un cuadrado con 4 ensayos.
Para el diseño 2k el efecto de una variable ( o interacción) es la diferencia entre la respuesta esperada que se obtiene en el nivel mas alto de la variable y la respuesta esperada en el nivel mas bajo de la misma.

- Es
el cambio de respuesta que produce un cambio en el nivel del factor.
-Es aquel en el cual se investigan
todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores
en cada
ensayo completo o réplica
del experimento.
-Proporciona el
menor número de ensayos
con los cuales se pueden estudiar
k factores
en un diseño factorial completo.
- Constituyen la base para otros diseños de gran valor práctico.
-Se puede tener
k factores
cada uno con
2 niveles
(pueden ser
cuantitativos
como el clima, presión o tiempo o
cualitativos
como dos maquinas, dos operadores, etc)

-Existen varios casos especiales del diseño factorial, el mas importante de todos ocurre cuando se tienen
k factores
cada uno de ellos en
dos niveles
(
2 2 es el factorial mas pequeño)
Variable de respuesta
= desviación promedio de la altura del lleado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones.
El estimador y la suma de cuadrados para cada efecto pueden calcularse con el algoritmo de signos.

El efecto de la interacción no parece tener un impacto tan grande sobre la desviación de la altura de llenado como los efectos princiales.

Los efectos principales dominan en realidad este proceso explicando mas del 87% de la variabilidad total, mientras que la interacción AB explica menos del 3%
Por medio de ANOVA, se puede confirmar la magnitud de los
efectos principales son altamente significativos
(todos los valores P son muy pequeños).

La interacción AB es significativa con un nivel del
10%

existe una ligera interacción entre la carbonatación y la presión
.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA INDÍGENA DE MÉXICO
DISEÑO DE EXPERIMENTOS

ANGÉLICA C. CASTRO FÉLIX SEPT 2015

-Debido que solo hay
dos niveles para cada factor
, l
a respuesta es

aproximadamente lineal
en el rango de los niveles elegidos de los factores.

-Una replica completa de tal diseño requiere
2 x 2 x 2 ...x 2 = 2k observaciones
y se conoce como diseño factorial 2k.
El espacio de condiciones experimentales que puede representarse mediante
un cubo,
para k= 3
o
pares cubos para K > 3



La forma de denotar los puntos es la misma que del diseño 2 2 (denotar los puntos experimentales se utiliza
minusculas correspondientes
a los factores que deban colocarse a
nivel alto
, el punto que corresponde a
todas las variables en nivel bajo se denota {1}
)

El orden estandar de un diseño 2 k puede hallarse duplicando el orden estandar de un 2 k-1
uno para el nivel bajo de la nueva variable seguido de otro para el nivel alto de la nueva variable
.
Nomenclatura de diseños 2k
Ejemplo para k=3 y k= 4
Las columnas ABC se obtienen multiplicando las columnas de A, B y C.
Replica
Si se toma mas de una replica entonces
se utiliza una tabla de análisis de varianza de k vías para determinar cuales efectos son significativos.

La suma de los cuadrados de cada variable tiene 1 grado de libertad y puede tomarse a partir del efecto mediante la formula:
El ingeniero del proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado:
% de carbonatación (A)
Presión de operación en el llenador (B)
Botellas producidas por minuto o rapidez de la línea (C)
Para fines del experimento el ingeniero puede controlar la carbonatación en dos niveles (25 y 30 psi) y dos niveles para la rapidez de la línea (200 y 250 bpm).
El ingeniero decide correr dos replicas de un diseño factorial 2 3 haciendo 24 corridas de manera aleatoria.
Los responsables del proceso decidieron correrlo con presión baja y velocidad de línea alta y reducir la variabilidad de la carbonatación controlando con mayor precisión la temperatura.

Se consiguio una reducción sustancial de la desviación de la altura del llenado del valor objetivo.
Si se dispone de solo una replica del experimento entonces la suma de cuadrado del error es nula y no es posible utilizar una tabla de analiss de varianza para determinar cuales efectos son significativos.

Si se supone que no hay ningun efecto significativo y que los errores cometidos en cada medición siguen una distribución normal con la media 0 y varianza entonces para todos los efectos:
Esto sugiere dos posibilidades para realizar el análisis:
a) Utilizar un gráfico cuantil - cuantil de efectos contra la distribución normal y considerar significativosl os que no esten sobre la línea.
b) Utilizar el estimador para calcular intervalos de confianza.

Ambas técnicas suponen pocos efectos significativos.
METODOLOGIA
1.- Identificar los factores que pueden influir en la variable respuesta y proponer un modelo.
2.- Realizar el experimento tomando las observaciones necesarias.
3.- Estimar los parametros del modelo.
4.- Contrastar los factores que influyen en la respuesta.
5.- Si los factores influyen en la respuesta, detectar donde radican las diferencias.
6.- Si algun factor no influye, simplificar el modelo y repetir los pasos anteriores.
7.- Realizar la diagnosis del modelo mediante el analisis de residuos.
INTERACCIÓN
Cuando el efecto de uno de lo factores no depende de los niveles del otro factor NO HAY INTERACCIÓN ENTRE LOS FACTORES.

Cuando ambos factores tienen dos niveles, el efecto de la interacción es la diferencia entre los promedios de las diagonales.
INTERACCIÓN
DOS FACTORES SIN INTERACCIÓN
Considerando dos factores:
El efecto principal del factor es la diferencia entre la respuesta promedio de a1 y a 2.
El efecto de uno de los factores no depende de los niveles del otro factor lo que indica que no hay interacción entre los factores. Cuando ambos factores tienen dos niveles, el efecto de interacción es la diferencia entre los promedios de las diagonales:
Rectas paralelas = falta de interacción
Rectas perpendiculares = interacción
Para comprobar la existencia de interacción, se puede considerar el gráfico de residuos frente a valores previstos de un modelo sin interacción.

La idea de este resultado es que los residuos contendran la influencia de todos aquellos efectos no considerados de forma explicita en el modelo.

Si la interacción es + y no ha sido incluida su efecto se vera en los residuos.

La forma de ver la interacción de los residuos es a traves de cierta curvatura en la nube de puntos del grafico de residuos frente a los valores previstos.

El motivo es que la interacción implica una relación no lineal entre los factores y la variable respuesta
; por lo tanto s
i hay interacción y el modelo no la incluye, los residuos tendrán una estructura no lineal no incluida en el modelo.
El efecto de A se obtiene como la diferencia entre el nivel alto del factor menos el nivel bajo (en cada caso en relación a los niveles del otro factor).


En general se trata de medir la importancia y el efecto de los factores que intervienen en terminos de la magnitud y del signo de los efectos anteriores.
Por medio de la suma de los cuadrados se pueden definir terminos de las estimas anteriores.
EJEMPLO DISEÑO 2K
Se trata de estudiar la influencia de dos factores:

Temperatura ( 1 ALTA o 0 BAJA)

Catalizador (1 SE USA o 0 NO SE USA)

En la variable respuesta: Dureza de un material cerámico.
DISEÑO 2 3
Supongamos que se tienen 3 factores binarios A, B y C. El número posible de combinaciones es 8, y con n replicaciones se tiene un total de 8n observaciones.

Para calcular los efectos se puede basar en la sig. tabla o matriz de diseño:
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