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Método de Horner

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by

Andre Durán

on 27 May 2014

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Transcript of Método de Horner

Método de Horner

Para llevar a cabo el procedimiento, definimos una nueva secuencia de constantes como se muestra a continuación:
Aplicación
El algoritmo de Horner se usa a menudo para convertir entre distintos sistemas numéricos posicionales,en cuyo caso x es la base del sistema numérico, y los coeficientes ai son los dígitos de la representación del número dado en la base x - y puede usarse también si x es una matriz, en cuyo caso la carga computacional se reduce aún más.
Método de Horner
Dado el polinomio
Entonces es el valor de .

Para ver como funciona esto, nótese que el polinomio puede escribirse de la forma:
Eficiencia
La evaluación usando la forma monomial del polinomio de grado-n requiere al menos n sumas y (n2+n)/2 multiplicaciones, si las potencias se calculan mediante la repetición de multiplicaciones. El algoritmo de Horner sólo requiere n sumas y n multiplicaciones.

Cuando x es una matriz, el algoritmo de Horner no es óptimo.
Método de Horner para evaluar polinomios en Matlab
Método de Horner para evaluar Derivadas en Matlab
Para evaluar un polinomio


e implementarlo en un código necesitamos varios parámetros:
Grado del polinomio p(x)
Los coeficientes (El número de coeficienes sera mayor en 1 al grado del polinomio).
El valor de x a evaluarse.
Método de Horner implementado
en un Script.
Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada.

Donde
Diferenciando respecto a x:
y:
El algoritmo siguiente calcula p(Xo) y p'(Xo), usando el método de Horner.
Metodo de horner para evaluar la derivada de un polinomio
1.- Método de Bisección
Es un método trascendental y acotado, donde se encuentra un punto c entre la mitad de el intervalo dado, posteriormente este c se reemplaza por un a ó b según corresponda.
Formula de Iteración:
c = a+b/2
Este método es utilizado cuando la raíz se encuentra dentro del intervalo dado, cuando la derivada de esta función no tiene cambios de signo y cuando la función es continua.
Algoritmo de Cambio de Signo
1.-
Si f(a) * f(c) > 0. En este caso se cambia el punto c por a.
2.-
Si f(a) * f(c) < 0. En este caso se cambia el punto c por b.
Después de evaluar esto se continua con la formula de iteración.
Ejercicio:
Hallar una de las raíces de la función f(x) = x^3 - x - 1 en el intervalo [1 , 2].
Raíces de Polinomios con Métodos Numéricos


Trascendental:
son los que permiten hallar una sola raíz.
No Trascendental:
son los que permiten hallar todas las raíces reales.
Acotados:
necesitan de un intervalo para encontrar una raíz.
No Acotados:
tienen un valor inicial y a partir de este valor se basa la raíz.
Para programar en Matlab
1.- Se pide la función que debe ser un polinomio.
2.- Se pide el intervalo.
3.- Se pide el error.
4.- Se pide el numero de iteraciones máximas a realizar.
5.- Se comprueba que f(a)*f(b)<0. Si no se cumple se produce un error y se reingresa el intervalo.
6.- Se implementa el algoritmo.
La raíz es c = 1.32
¿Cómo hallar el punto c?
Para eso nos basamos en el concepto de pendientes, donde:
Método no acotado ó método Newton-Raphson.
Metodo de la falsa posición
En este método nuestro objetivo es acercarnos al valor mas cercano de la raiz a encontrar, por medio de pendientes mas y mas cercanas la misma.
Es decir empezamos con nuestro limites
a
y
b
de siempre, hallamos la pendiente entre
f(b)
y
f(a)
, el punto de corte de esta pendiente denominado
c
, dicho punto será nuestro nuevo limite
a
y repetiremos los pasos hasta acercarnos lo mas posible al error establecido.
Ejemplo:
Determinar por el método de la falsa posición una raíz para la función propuesta:
Al igual que en los métodos anteriores, llenamos la tabla anterior con todos los datos que sean necesarios y aplicamos el cambio de signo correspondiente en cada caso.
Quedándonos finalmente la raiz pedida: c = 1,3235
Consiste en construir tangentes alrededor de la función de la cual buscamos la raíz, al igual que en métodos anteriores, estableceremos limites iniciales
a
y
b
, con la construcción de las tangentes, los nuevos limites serán
x3
,
x2
y así sucesivamente.
¿Cómo determinar los nuevos límites?
Nos basamos en la definición de la tangente, tomando en cuenta el ángulo theta existente entre una de estas lineas y el eje de coordenadas x.
Tomando en cuenta que la tangente de la función, es la derivada de la misma.
Asi como en métodos anteriores iremos intercalando los nuevos límites obtenidos con la fórmula para hallar x1.
Ejemplo:
Determinar por el método de la falsa posición una raíz para la función propuesta:
Al igual que en los métodos anteriores, llenamos la tabla anterior con todos los datos que sean necesarios, la única diferencia en este caso con los anteriores, es que el nuevo x1 hallado toma el lugar del x0 anterior..
Quedándonos finalmente la raíz pedida: c = 1,3235
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