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Integral indefinida y métodos de integracion

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Sergio Lugo Gutiérrez

on 12 April 2013

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Transcript of Integral indefinida y métodos de integracion

Ejemplo de integral directa Integral directa La integración directa es aplicable cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el resultado. La integración indefinida
es el proceso
de cálculo
de la
diferenciación inversa. Sustitución de variables Ejemplo de integracion por sustitucion Integración por partes Integral indefinida y métodos de integración Calculo integral Aplicamos directamente en la función las formulas necesarias para resolver la integral. Es necesario aprenderse las fórmulas de las integrales básicas, ya que para resolver algunas otras integrales existen otros métodos ayudándonos con estos. ∫(5x^4-6^2+3)dx Utilizamos esta formula ∫[f(x) ± g(x)]dx= ∫f(x)dx± ∫g(x)dx. Entonces quedaría así
∫5x^4- ∫6x^2+∫3dx
Después aplicamos la fórmula de ∫k f(x)dx=k* ∫f(x)dx para poder sacar las constantes y queda de la siguiente forma.

5∫x^4-6∫x^2+ 3∫dx
Luego usamos la fórmula de ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+c (n ≠ -1) que es la fórmula para la integral de una función elevada a la n. Entonces el ejemplo queda:

(5x^5/5)-((6x^3)/3)+3x+c Y por último simplificamos, 5 entre 5 se van y 6 entre 3 es igual a 2. Y este es el resultado final
x^5-2x^3+3x+c
Metodo de sustitución o también llamado por cambio de variable, hay una estrecha relación con la “regla de la cadena” en la derivada Debemos identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable para obtener una mas sencilla. El método se construye de d/dx (f(g(x)))=f^' (g(x))*g'(x) se aplica la integral en ambos lados y queda una estructura que usaremos como primer paso
∫f^' (g(x))*g^' (x)dx=f(g(x))+c
∫x^3 √(x^4+11) dx Debemos identificar la función u y obtener la derivada de esa función. La funcion identificada seria: u=x^4+11 y su derivda es:du=4x dxDespejamos u y dx
dx=du/4x
Y lo sustituimos en la integral junto con la función u. Cambiaremos la raíz de la función en la función elevada a la un medio.
∫x^3 u^(1/2) *du/4x
Entones sacamos las constantes y si la integral es mas sencilla entonces integramos
1/4 ∫4x^3 u^(1/2)
Y aplicamos la formula de ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+c (n ≠ -1)

1/4 (u^(3/2)/(3/2))+c Hacemos división de fracciones, multimplicamos y convertimos la función con exponente a raíz, y por ultimo simplificamos y sustituimos u por la función

1/6 √((x^4+11)^3 )+c Este es uno de los métodos mas usados para la resolución de una integral y se define por:

∫udv=uv- ∫vdu

Donde la segunda integral es mas sencilla de integrar, se aplica cuando se tiene:
-Una función algebraica por una función trascendente y no se pueda realizar por cambio de variable.
-Funciones que no existen formulas directas, como lo son las logarítmicas o inversas trigonométricas.
Las funciones logarítmicas, “arcos” y polinomicas se eligen como “u”.
Las funciones exponenciales y trigonometricas del tipo seno y coseno se eligen como “dv”.
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con solo un logaritmo o un “arco”, integramos por partes tomando dv=1.
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
Ejemplo de integrar por partes ∫xsenxdx Identificamos u y obtenemos su derivada
u=x du=dx Identificamos dv y obtenemos su integral
dv=senx dx v=∫sen dx= -cosx Entonces segun la formula:
∫xsenxdx=x(-cosx )- ∫-cosx dx Haciendo la multiplicacion
= -x cosx+ ∫cosx dx
=-x cosx+sen x+c
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