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LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO

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by

Daniel Ricaurte Aguas

on 10 June 2015

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Transcript of LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO

La normal a la superficie A forma un ángulo con el campo eléctrico uniforme y se nota que el número de líneas que cruzan el área A es igual al número de líneas que atraviesan el área proyectada
A
’ que es perpendicular al campo

De acuerdo a la figura:

Entonces:


Hemos estudiado hasta ahora la manera de realizar el cálculo del campo eléctrico utilizando la Ley de Coulomb

A continuación detallaremos un método alternativo para calcular campos eléctricos, el cual es consecuencia de la ley mencionada y se utiliza en distribuciones de carga altamente simétricas

Consideramos un campo eléctrico uniforme cuyas líneas de campo cruzan a través de una superficie rectangular de área A, la cual es perpendicular al campo

Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo, entonces podemos concluir que el número de líneas que cruzan el área es proporcional a EA

Del anterior resultado se infiere que el flujo tiene un máximo valor si la superficie es perpendicular al campo (la normal a la superficie es paralela al campo ) y un mínimo valor cuando la superficie es paralela al campo (la normal a la superficie es perpendicular al campo )


El producto de la intensidad de campo eléctrico E y la superficie A perpendicular al campo recibe el nombre de flujo eléctrico ,entonces:


FLUJO ELÉCTRICO: Se representa por el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan algunas superficies

Si la superficie atravesada encierra alguna carga neta (distinta de cero), el número de líneas de campo que la atraviesan es proporcional a la carga neta encerrada en la superficie (Ley de Gauss)

(1)
Notamos que en el SI las unidades del flujo eléctrico son:
Supongamos ahora que la superficie no es perpendicular al campo; en este caso tenemos que el flujo eléctrico es menor que el hallado por la expresión (1)

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO
En casos más generales, el campo eléctrico puede variar sobre la superficie considerada, por lo tanto el resultado (2) sólo se podrá aplicar sobre un pequeño elemento de área

Imaginemos una superficie arbitraria que ha sido dividida en una gran cantidad de elementos pequeños de área ,donde la variación del campo eléctrico sobre el elemento puede ignorarse si dicho elemento es muy pequeño

Definimos un vector
cuya magnitud representa el área del i-ésimo elemento y cuya dirección se define perpendicular a la superficie (ver figura), el flujo eléctrico a través de este elemento es


Si sumamos las contribuciones de todos los elementos, obtenemos el flujo total a través de la superficie. Si hacemos el área tan pequeña como sea posible, es decir, el número de elementos tiende a ser infinito y la suma se transforma en una integral, así se tiene en general que:

Uno de los temas de interés es calcular el flujo a través de una superficie cerrada (aquella que divide al espacio en una región interior y otra exterior de modo que no nos podemos mover de una región a otra sin cruzar la superficie)

Consideremos la superficie cerrada ilustrada. Notamos que los vectores apuntan en diferentes direcciones en cada elemento de superficie

En cada punto estos vectores son normales a la superficie y apuntan hacia afuera

El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número neto de líneas que abandonan la superficie (número neto significa: el número de líneas que salen menos el número de líneas que entran a la superficie)
El flujo neto a través de una superficie cerrada está dado por:

Donde En es la componente del campo eléctrico normal a la superficie y el subíndice c representa una superficie cerrada

La evaluación del campo eléctrico a través de una superficie cerrada puede ser algo muy complicado, sin embargo si el campo es normal a la superficie en cada punto y su magnitud es constante, el cálculo se simplifica

A continuación procederemos a deducir y formalizar de manera concreta la Ley de Gauss para el campo eléctrico:
Suponga una carga puntual positiva
q
situada en el centro de una esfera de radio
r
como se ilustra en la figura, es evidente que el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie de la esfera tiene la misma magnitud equivalente a y las líneas de campo son radiales y hacia afuera (perpendiculares a la superficie en cada punto)

Lo anterior significa que el campo es paralelo a los elementos de área, por lo tanto:
El flujo neto a través de la esfera (superficie gaussiana) es:

Conociendo
E
y el área de una esfera de radio
r
nos queda que el flujo neto es:
Recordando la definición de
k
, podemos escribir la expresión anterior de la forma:

Notamos que independiente del valor de
r
, el flujo neto a través de la superficie cerrada (esfera) es proporcional a la carga
q
dentro de la superficie

A continuación generalizaremos el resultado anterior:

Consideremos varias superficies cerradas que rodean a una carga +
q
,

Para
S
1 se tiene que el flujo está dado por la expresión ya que se trata de una superficie esférica

La gráfica nos muestra que el número de líneas que atraviesan a
S
1,
S
2 y
S
3 es el mismo, por tanto podemos concluir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de ésta, de hecho “el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que encierra a una carga puntual
q
está dado por ”

Supongamos ahora una carga puntual localizada en el exterior de la superficie cerrada de forma arbitraria:

Se observa que algunas líneas de campo eléctrico entran a la superficie y otras salen de ella (también hay otras que no entran), sin embargo el número de líneas que entran es igual al número de líneas que sale, por lo tanto concluimos que el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada que no rodea a ninguna carga es cero
Ahora extendamos todo lo anterior a un sistema de muchas cargas discretas o a una distribución continua de carga:
Recordemos que el campo producido por muchas cargas es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada carga (principio de superposición), esto significa que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada se puede expresar como:

Consideremos el sistema de cargas mostrado en la siguiente figura

La superficie
S
rodea a
q
1, por tanto el flujo a través de ella es: la superficie
S
’ rodea a
q
2 y
q
3, luego el flujo a través de ella es:

Además se observa que S’’ no rodea a ninguna carga, por lo tanto el flujo a través de ella es cero

La Ley de Gauss generaliza todo lo anteriormente analizado y de forma concreta establece que “el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie dividida por ”

En principio la Ley de Gauss se puede usar para calcular el campo eléctrico de un sistema de cargas o de una distribución continua de carga, sin embargo en la práctica, la técnica es útil sólo en un número limitado de situaciones donde haya un alto grado de simetría
Debe elegirse con sumo cuidado la superficie gaussiana que rodea a la distribución de carga para facilitar el cálculo de la integral, es de notar que esta superficie es matemática e hipotética y no necesita coincidir con cualquier superficie física real
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